2027高考数学一轮讲义含答案

2027高考数学轮讲义知识・思想知识梳理精选真题优质模拟方法・能力2027届高考数学题型突破(上)第一章集合、逻辑与不等式.1第一节集合1题型1:集合及其表示方法.2题型2:集合间关系与计数问题.3题型3:集合的计算.5第二节常用逻辑用语.7题型1:充分必要条件的判断.7题型2:命题的否定.8第三节不等式的性质.9题型1:比较代数式大小.9题型2:不等式的性质.9题型3:求代数式的取值范围.10第四节二次方程、函数与不等式.11题型1:不含参的二次不等式.11题型2:含参的二次不等式.11题型3:二次函数.12题型4:二次恒成立与存在性问题.13题型5:二次方程根的分布.14第五节常见不等式的解法.15题型1:分式不等式.16题型2:高次不等式.16题型3:绝对值不等式.17题型4:绝对值三角不等式.18第六节基本不等式19题型1:一正二定三相等.19题型2:基本不等式基础用法.19题型3:配凑法.20题型4:基本不等式解决恒成立问题.21题型5:和、积、平方和.21题型6:"1"的秒用.22题型7:齐次化.22题型8:多次使用不等式.23题型9:换元法.23题型10:减元法.23题型11:三角换元.24题型12:因式分解.24题型13:取等条件.24题型14:三元不等式.25题型15:柯西不等式.26题型16:权方和不等式.26第二章函数.27第一节函数三要素.27题型1:函数的定义.28题型2:具体函数定义域.29题型3:抽象函数定义域.29题型4:定义域求参.29题型5:直接法求解析式.30题型6:换元法求解析式.30题型7:待定系数法求解析式.30题型8:方程组法求解析式.30题型9:赋值法求解析式.30题型10:对称法求解析式.31题型11:递推法求解析式.31题型12:解析式中的定值.32题型13:解析式的特征.32题型14:二次函数的值域.33题型15:单调性法求值域.33题型16:换元法求值域.33题型17:三角换元求值域.34题型18:数形结合求值域.34题型19:分式值域:一次/一次.35题型20:分式值域:二次/一次.35题型21:分式值域:一次/二次.35题型22:分式值域:二次/二次.35题型23:分式值域:三次/四次.35题型24:值域的单减特征.36题型25:值域的对称.36第二节指对幂函数37题型1:指数对数公式运算.39题型2:实际应用中的指对运算.40题型3:指对幂图像.42题型4:指对幂函数性质.45题型5:对数等高线.46第三节比较大小.47题型1:粗略估计范围.47题型2:绝对值大小.47题型3:中间量法.47题型4:同指或同底单调性法.48题型5:图像法.48题型6:对数取倒数法.48题型7:糖水不等式法.48题型8:对数作商变同底.49题型9:特殊函数同构法.49题型10:构造函数.50题型11:增速比较.50题型12:泰勒公式估值.50题型13:取极限.51题型14:赋值法.51第四节单调性与奇偶性.53题型1:函数单调性的判断.55题型2:函数单调性的证明.55题型3:复合函数单调性.56题型4:分段函数单调性.56题型5:利用单调性解不等式.57题型6:抽象函数单调性.57题型7:常见的奇偶函数.58题型8:利用奇偶性求解析式.60题型9:奇常函数.60题型10:单调性与奇偶性解不等式.61题型11:抽象函数奇偶性.62第五节对称性与周期性.63题型1:两类对称性的区分.64题型2:对称性的判断.64题型3:对称性的证明.65题型4:利用对称性确定图像.65题型5:利用对称性解不等式.66题型6:函数周期性的判断.67题型7:周期性中的数形结合.68第六节函数的综合性质.69题型1:轴、心、周期三者关系.70题型2:涉及导数的周期对称问题.72题型3:两个函数混合型.72题型4:抽象函数模型.73题型5:抽象函数赋值.74第七节函数的图像与零点.75题型1:基本作图能力.76题型2:特殊点识图.76题型3:判断最值大小确定图像.77题型4:利用单调性判断图像.77题型5:利用极值点位置精确图像.78题型6:极限看图.79题型7:曲直分离作图.80题型8:V型图的应用80题型9:零点概念与方程的根.81题型10:共零点问题.82题型11:零点转化为图像交点.83题型12:嵌套零点.85第八节特殊函数.87题型1:反函数与不动点、稳定点.88题型2:取大取小函数.89题型3:高斯函数(取整函数).90题型4:狄利克雷函数.91题型5:平口单峰函数.91题型6:双曲函数.92第三章导数93第一节导数计算与切线.93题型1:导数定义.95题型2:导数计算.95题型3:切线之在点问题.96题型4:切线之过点问题.97题型5:公切线.98题型6:切线求距离100第二节导数与单调性101题型1:不含参单调性.102题型2:含参单调性的讨论103题型3:单调性求参104第三节导数与极值、最值.105题型1:函数的极值问题105题型2:函数的最值问题.107第四节导数与函数构造.109题型1:原导关系构造110题型2:指对同构111第五节一元三次函数113题型1:三次函数的图像.114题型2:三次函数的对称性.114题型3:三次函数的零点.115题型4:三次方程韦达定理.115题型5:三次函数的切线.116第六节零点问题.119题型1:零点转化为交点.119题型2:单调性讨论+零点存在性定理120题型3:分段讨论.123题型4:隐零点.124第七节恒成立求参125题型1:参变分离法.125题型2:分类讨论法.126题型3:端点效应.127题型4:极点效应.129题型5:探路减少讨论范围.130题型6:已知极值求参.131题型7:任意与存在问题.132第八节不等式证明133题型1:直接证明.133题型2:简单变形再证明134题型3:满参放缩135题型4:常用放缩手段136题型5:凹凸反转137第九节双变量问题139题型1:同构转化.139题型2:韦达减元.140题型3:极值点偏移之对称化构造.141题型4:比值或差值换元143题型5:切割线夹144第十节导数跨章节结合.145题型1:导数与数列.145题型2:导数与三角.147第四章三角函数与解三角形149第一节三角基本功149题型1:角的推广与弧度制.151题型2:三角函数定义152题型3:三角函数线.152题型4:同角三角函数基本关系.153题型5:齐次化切153题型6:三者关系154题型7:对偶式154题型8:诱导公式.155第二节三角恒等变换157题型1:两角和差公式158题型2:二倍角公式160题型3:辅助角公式161题型4:万能公式162题型5:三角恒等变换163题型6:配凑角164题型7:三倍角公式165题型8:正切恒等式165题型9:积化和差与和差化积.166第三节三角函数图像与性质167题型1:五点法作图.169题型2:平移伸缩变换.169题型3:由图像求解析式.171题型4:简化图像.173题型5:周期性174题型6:单调性.174题型7:奇偶性与对称性.175题型8:零点.177题型9:最值与值域.177第四节三角函数综合性问题179题型1:ω的取值范围.179题型2:三角函数性质综合182题型3:图像的深度理解.184第五节正余弦定理185题型1:正弦定理、余弦定理与面积公式.186题型2:多个三角形.189题型3:判断三角形个数.191题型4:判断三角形形状.192题型5:射影定理.193题型6:解三角形中的恒等变换.194题型7:解三角形的实际应用.196第六节解三角形最值范围与几种“线”问题.197题型1:利用基本不等式求最值.198题型2:一角一函数.200题型3:中线问题.203题型4:角平分线.205题型5:高线.207题型6:几等位线.207题型7:中垂线.208第五章平面向量与复数.209第一节平面向量的线性运算209题型1:向量的线性运算.211题型2:共线定理与等和线.214第二节平面向量的数量积.216题型1:公式法.216题型2:坐标法.217题型3:基底法.219题型4:投影法.220题型5:极化恒等式.222第三节向量四心与隐圆问题.223题型1:奔驰定理.224题型2:向量四心的性质.225题型3:隐圆.226第四节复数227题型1:复数的概念与运算.228题型2:复数的几何意义.229题型3:复数根的问题.230题型4:复数的三角形式.231第六章数列第一节等差数列与等比数列233题型1:等差数列基本量运算.234题型2:等差数列的性质.236题型3:等比数列基本量运算.239题型4:等比数列的性质.241题型5:等差等比综合问题.243第二节数列求通项245题型1:an与Sn题型2:累加法247题型3:累乘法.247题型4:常见的构造.248第三节数列求和.249题型1:分组求和法.250题型2:倒序相加法.251题型3:绝对值分段求和.251题型4:错位相减法.252题型5:裂项相消法254第四节数列综合运用257题型1:斐波那契数列.258题型2:数列的单调性.259题型3:数列的奇偶项之和积问题.262题型4:数列的奇偶项之分段问题.263题型5:数列的奇偶项之带有−1题型6:数列的增减项.265题型7:数列的公共项.266题型8:数列放缩.267第一章集合、逻辑与不等式第一节集合【知识精要】集合的定义一般地，把研究对象统称元素;把一些元素组成的总体叫做集合集合的性质确定性，互异性，无序性元素与集合的关系a∈Aa属于集合常用数集符号正整数集:N*或N+(不含0)自然数集:N(含有0)整数集:Z(正整数、负整数、零)有理数集:Q(无限不循环为无理数,无限循环为有理数)实数集:R(包括有理数和无理数)复数集:C(包括实数和虚数)质数(素数):只能被1和本身整除的正整数,最小的素数为2合数:除了能被1和本身整除外，还能被其他数整除的数，最小的合数是4互质:互质是公约数只有1的两个正整数eg:1和2互质,4和集合的表示列举法:①数集:{a,b,c}②点集:{a,集合间的基本关系集合间关系:⊆, ⊇, =, ⫋, ⊋.(包含于，包含，等于，真包含)①子集(若∀x∈A,都有x∈B,则A⊆B);【⌀⊆A】②集合相等(若A⊆B,且B⊆A,则A=B集合的子集个数若集合A中有n个元素，则集合A的①所有子集个数为2n⋅ ∵Cn0+Cn1+集合的基本运算①并集:A∪B={x∣x∈A，或x∈B}②交集:A∩B={x∣德摩根律①∁UA容斥原理①cardA∪B=card【典例分析】题型1:集合及其表示方法题1.(2013・大纲版)设集合A={1,2,3},A.3B.4C.5D.6题2.(2013・山东)已知集合A={0,1,2}，则集合BA.1B.3C.5D.9题3.(2018・新课标II)已知集合A=x,y∣x2A.4B.5C.8D.9题4.(2013・江西)若集合A=x∈R∣A.4B.2C.0D.0或4题5.(2008・江西)定义集合运算:A*B={z∣z=xy，x∈A，y∈B}.设A={1，2}A.0B.2C.3D.6题6.(2010北京)已知集合Sn=X∣X=x1,x2,⋯,xn,xi∈{0,1},i=1,2,⋯,n(1)当n=5时，设A=0,1,0,0(2)证明:∀A,B,C∈Sn，有(3)证明:∀A,题型2:集合间关系与计数问题题7.(2026・上海)已知集合A={2,4},B={2,题8.(2023・新高考II)设集合A={0,−a}，B={1,a−2，A.2B.1C.23题9.(2010・天津)设集合A={xx−a∣<1，x∈R}，B={xx−b∣>2，A.a+bB.a+b题10.(2015・上海)设集合P1=x∣x2+ax+1>A.对任意a,P1是P2的子集，对任意b,QB.对任意a,P1是P2的子集，存在b，使得Q1C.存在a,P1不是P2的子集,对任意b,QD.存在a,P1不是P2的子集，存在b,使得Q1题11.(2013・江苏)集合{−1,题12.(2020・全国)若集合A共有5个元素，则A的真子集的个数为()A.32B.31C.16D.15题13.(2012・全国)设集合M含有10个元素，那么M的真子集中，至少含有8个元素的共有()A.56个B.55个C.46个D.45个题14.(2012・湖北)已知集合A=x∣x2−3x+2=0A.1B.2C.3D.4题15.(2011・浙江)设a,b,c为实数，fx=x+ax2+bx+cA.{S}=1且{T}=0 B.{S}=1且{T}=1 题16.(2014・福建)若集合{a,①a=1；②b≠1；③c=2；④d题17.(2015・湖北)已知集合A=x,y∣x2+y2≤1,A.77B.49C.45D.30题18.(2013・重庆)对正整数n，记In={1,2(1)求集合P7(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.求n的最大值，使Pn题型3:集合的运算题19.(2017・江苏)已知集合A={1,2}，B={a，a2+3题20.(2020・新课标II)已知集合A={xx∣<3，x∈Z}，B={A.⌀B.{−3,−2,题21.(2020新课标III)已知集合A={x,y∣x,A.2B.3C.4D.6题22.(2015・陕西)设集合M=x∣x2A.0,1B.(0,题23.(2014・山东)设集合A={xx−1∣<2}A.0,2B.1,3题24.(2026新高考I)已知集合A=sin7π6,cosA.−32,−12B.题25.(2021·乙卷)已知集合S={s∣s=2n+1，n∈Z}，A.⌀B.SC.TD.Z题26.(2023·甲卷)设集合A={x∣x=3k+1，k∈Z}，B={xA.{x∣C.{x∣题27.(2020新高考II)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%题28.(2019・新课标III)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8题29.(2013・上海)设常数a∈R，集合A={x∣x−1x−aA.−∞,2B.(−∞,2]C.题30.(2012・大纲版)已知集合A={1,3,m}，B={1,mA.0或3B.0或3C.1或3D.1或3题31.(2011北京)已知集合P=x∣x2≤1,M={aA.(−∞,−1]B.[1,+∞)题32.(2024・九省联考)已知集合A={−2,0,2,4}，B={第二节常用逻辑用语【知识精要】充分必要条件推导关系①若p⇒q且q⇏p,则p是②若p⇏q且q⇒p,则p是③若p⇒q且q⇒p，则p是④若p⇏q且q⇏p，则p是大小关系(设p,q包含的对象分别组成集合①若A⊆B，则p是q②若B⊆A，则p是q③若A⫋B，则p是q④若B⫋A，则p是q⑤若A=B，则p是q全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给等,用∀表示全称命题p:∀x∈M,存在量词存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等,用3表示特称命题p:∃x0∈M【典例分析】题型1:充分必要条件的判断题1.(2013・山东)给定两个命题p,q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题2.(2015・湖南)设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件题3.(2015・安徽)设p:1<x<2,q:2xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题4.(2019・浙江)若a>0,b>0，则“a+A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题5.(2025・北京)已知函数fx的定义域为D，则“fx的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈DA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题6.(2026・北京)设数列an,bn是无穷数列,则“存在常数M,使an≤MA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题7.(2015・浙江)设A,B是有限集,定义:dA,B=cardA∪B−cardA命题①:对任意有限集A,B,A=B命题②:对任意有限集AA.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立题型2:命题的否定题8.(2015・新课标I)设命题p:∃n∈N，n2>2A.∀n∈N,n2题9.(2016・浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*A.∀x∈R, ∃n∈N*C.∃x∈R,∃n∈N*,使得题10.(2024・新高考II)已知命题p:∀x∈R,x+A.p和q都是真命题B.¬p和qC.p和¬q都是真命题D.¬p和¬第三节不等式的性质【知识精要】对称性a传递性a同向可加性a可乘性a同向同正可乘性a可乘方性a>b>0⇒an>可开方性a可倒性a最值性质α糖水不等式若a>b>0【典例分析】题型1:比较代数式大小题1.(2010・上海)已知a1,a2∈0,1，记M=a1a2，A.M<NB.M>N题2.比较aabb与题型2:不等式的性质题3.(2020・海南适应性测试)某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中,一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生题4.(2026・重庆七校联盟第一次联考)若a,b,A.若a>b,则ac2>bc2C.若a<b<c<0,则ba>题5.生活经验告诉我们:a克糖水中有b克糖a>0,b>0,且a>b,若再添加m克糖m>0后,糖水会更甜.于是得出一个不等式:A.若a>b>0B.logC.若a,b,c为△D.若a,b,c为△题型3:求代数式的取值范围题6.(2010・江苏)设实数x,y满足3≤xy2题7.(2026・河南Top20名校调研)已知3<a<10，A.12<ba<10题8.(2024・九省联考)以maxM表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1,已知b≥第四节二次方程、函数与不等式【知识精要】Δ=Δ>Δ=Δ<y=ax2+bx+cax2xx无实根ax2x{Rax2x0⌀二次不等式恒成立处理方法考虑方向①Δ②分二次函数根的分布问题考虑方向①【典例分析】题型1:不含参的二次不等式题1.下列说法正确的是()A.不等式x2−12x+20>0B.不等式x2−5x+C.不等式9x2−6xD.不等式−2x2+题型2:含参的二次不等式题2.(2013・重庆)关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(xA.52B.72C.15题3.(2012・江苏)已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的值域为[0,+∞)，若关于题4.(2008・安徽)a<0是方程axA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题5.(2009・天津)若关于x的不等式2x−12<ax2题6.(1)若不等式1+ax2+a−1x(2)解关于x的不等式ax题7.(2002・广东)已知a>0，函数(1)当b>0时，若对任意x∈R都有fx≤(2)当b>1时,证明:对任意x∈0,(3)当0<b≤1时,讨论:对任意题型3:二次函数题8.(2017・浙江)若函数fx=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关题9.(2015・陕西)对二次函数fx=ax2A.-1是fx的零点B.1是fxC.3是fx的极值D.点2,8在曲线题10.已知函数fx=−x2+ax−a4+12题11.已知二次函数fx=x2−4x+4题12.2009⋅江西设函数fx=ax2+bx+ca<A.-2B.-4C.-8D.不能确定题型4:二次恒成立与存在性问题题13.(2012・福建)已知关于x的不等式x2−ax+2a>0在题14.(2007・山东)当x∈1,2时，不等式x2+题15.(2012・上海)若不等式x2−kx+k−1>0题16.设函数fx(1)若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实数(2)若不等式fx≥−2对于实数a∈−1题17.已知关于x的不等式2x−(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R(2)若不等式对于x∈1,+∞恒成立，求(3)若不等式对于m∈−2,2题型5:二次方程根的分布题18.(2014・江苏)已知函数fx=x2+mx−1，若对于任意x∈m题19.如果方程x2+m−1x+m2−2A.−2,2B.−2题20.(2011・重庆)设m,k为整数，方程mx2−kx+2=0A.-8B.8C.12D.13第五节常见不等式的解法【知识精要】分式不等式ffxgx≥ffxgx≤fxgx≥绝对值不等式f−ffx≥cf−ffx≥gxffax两根−ba高次不等式穿根引线法最高次项系数为正从右上开始穿最高次项系数为负从右下开始穿奇穿偶不穿奇偶指的是某个因式的次数.x{x∣x≥4或2x{x∣x≤−1或x绝对值三角不等式绝对值三角不等式aa取等条件abab综合形式【典例分析】题型1:分式不等式题1.(2015・上海)不等式2−3xxA.−∞,34C.−∞,23题2.(2025·新高考II)不等式x−4xA.{x∣−2≤x≤题3.(2021・上海)不等式2x+5题4.(2021・上海)不等式x+1题5.(2009・湖北)已知关于x的不等式ax−1x+1<0的解集题型2:高次不等式题6.(2010・大纲版II)不等式x2−xA.{x∣x<−2或x>C.{x∣−2<x<1或题7.(2010・大纲版1)不等式x−2题8.2008⋅山东不等式x+A.−3,12B.−题9.解下列不等式:(1)x3−(2)xx−(3)xx题型3:绝对值不等式题10.(2008・山东)若不等式3x−b<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则题11.(2013・江西)在实数范围内，不等式x−2题12.(2011广东)不等式x+1题13.解下列含绝对值的不等式:(1)2x−(2)2x+题14.(2010・江西)不等式x−2xA.0,2B.−∞,0C.题型4:绝对值三角不等式题15.(2014・安徽)若函数fx=x+1+2x+aA.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8题16.(2015・重庆)若函数fx=x+1+2题17.(2014・重庆)若不等式2x−1+x+2≥a2+题18.(2014・辽宁)已知定义在0,1上的非常数函数f①f0=②对所有x,y∈0,1，且若对所有x,y∈0,1,A.12B.14C.1题19.(2022・浙江)已知a,b∈R，若对任意x∈RA.a≤1,b≥3题20.(2015・上海)已知函数fx=sinx.若存在x1,x2,⋯,xm满足0第六节基本不等式【知识精要】重要不等式a2+b2≥2ab，当且仅当基本不等式a+b2≥aba,b和与积的关系当a,b∈R积与平方和的关系当a,b∈R时，a+b2≤和与平方和的关系当a>0,b>0时，a2+不等式链2三元不等式a柯西二元式设a,b,c,d∈R+权方和二元式设a,b,x,y∈R+,则a2【典例分析】题型1:一正二定三相等题1.(2026・天津)设x≠0,则x+A.10B.9C.8D.6题2.(2021・乙卷)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+题3.已知x>0A.x2−x的最大值为1B.2C.x2+5x2+4题型2:基本不等式基础用法题4.(2026・上海)已知a2+4b2=题5.(2024・上海)已知ab=1,4a2+9b2的最小值为_____.题6.(2023・上海)已知正实数a题7.(1999・全国)若正数a,b满足ab=a+b题8.(2010・浙江)若正实数x，y满足2x+y+6=xy题9.(2015・湖南)若实数a,b满足1a+2b=A.22B.2C.2题10.(2018・天津)已知a,b∈R，且a−3b题型3:配凑法题11.(2021・上海)已知函数fx=3x+a3题12.(2004・湖北)已知x≥52，则fA.最大值54B.最小值54C.最大值1D.题13.记max{a,b}表示实数a,b中的较大的数,已知x,A.22B.3C.4题型4:基本不等式解决恒成立问题题14.(2013・上海)设常数a>0，若9x+a2x≥a+1题15.(2006・陕西)已知不等式x+y1x+ay≥9对任意正实数A.2B.4C.6D.8题16.(2010・山东)若对任意x>0,xx2题型5:和积平方和题17.(2020新高考I)已知a>0,b>0A.a2+b2≥1题18.(2010・安徽)若a>0,b>0,a+b=2①ab≤1②a+b③a2+④a3+⑤1a题19.(2015・重庆)设a,b>0,a题20.(2011・浙江)若实数x，y满足x2+y2+xy题21.(2011・浙江)设x，y为实数，若4x2+y2+题型6:“1”的妙用题22.2025⋅上海设a,b题23.(2012新江)若正数x,y满足x+3y=5xyA.245B.28题24.(2008・湖南)设0<x<1，则A.24B.25C.26D.1题25.(2014・重庆)若log43a+4b=log2A.6+23B.7+题26.(2020・天津)已知a>0,b>0，且ab题27.(2019・天津)设x>0,y>0题28.2019⋅天津设x>0,y题型7:齐次化题29.已知a>0,b>0题型8:多次使用基本不等式题30.(2021・天津)已知a>0,b>0题31.(2017・天津)若a,b∈R，ab>0题32.2010⋅四川设a>b>A.1B.2C.3D.4题33.2010⋅四川设a>b>c>A.2B.4C.25题型9:换元法题34.实数a,b满足a>0,b>A.4B.6C.32D.题35.(2011・重庆)若实数a,b,c满足2a+题型10:减元法题36.(2020・江苏)已知5x2y2+y4=题37.已知x>0,y>0,A.22B.13C.26题型11:三角换元题38.(2005・福建)设a,b∈R,a2A.−22B.D.−题39.(2022・新高考II)若x,y满足xA.x+y≤1B.x题型12:因式分解题40.已知x,y为实数，且x2−2y题型13:取等条件题41.(2007・北京)如果正数a,b,c，d满足A.ab≤c+d且等号成立时B.ab≥c+d且等号成立时C.ab≤c+d且等号成立时D.ab≥c+d且等号成立时题42.(2014・浙江)已知实数a,b,c满足a+b题43.(2013・天津)设a+b=2,b>0，则当题44.(2013・山东)设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2A.0B.98D.9题型14:三元不等式题45.(2001・北京)已知sin2α+sin2β+sin2γ=1题46.记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数.A.12题型15:柯西不等式题47.(2018・江苏)若x,y,z为实数，且x+2y题48.(2014・陕西)设a,b,m,n∈R，且题49.(2014・辽宁)对于c>0，当非零实数a,b满足4a2−2ab+4题型16:权方和不等式题50.已知x是一个锐角,那么8sinx第二章函数第一节函数三要素【知识精要】函数定义设A,B是两个非空的数集,如果按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素fx和它对应，那么称f:A→B为从集合A到集合函数的定义域(自变量)约束条件分式的分母不能为零对数的真数大于零根号下被开方数大于等于零零指数幂底数不为零函数的解析式(对应法则)直接法换元法待定系数法常用方法方程组法赋值法对称法递推法定值法函数的值域(因变量)二次函数利用基本不等式单调性法换元法常用方法三角换元数形结合法分式函数的值域有界性法导数法【典例分析】题型1:函数的定义题1.(2025新北京)已知函数fx的定义域为D，则“fx的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈DA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题2.(2018・上海)设D是含数1的有限实数集,fx是定义在D上的函数,若fx的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合,则在以下各项中,fA.3B.32C.3题3.下列函数的图像绕坐标原点沿逆时针旋转π4后得到的曲线仍为一个函数的图像的有(A.fx=C.fx=ln题4.(2015・浙江)存在函数fx满足，对任意x∈RA.fsin2x=sinxB.f题5.(2026・温州一模)已知点A2,0，B0,2，Pm,n在曲线x=1−y2A.m=fαB.α=题型2:具体函数定义域题6.(2013・山东)函数fx=1A.−3,C.−∞,−3∪(−题7.(2014・山东)函数fx=1A.0,1C.0,1题8.(2015・湖北)函数fx=4A.2,3B.2,4题型3:抽象函数定义域题9.(2013・大纲版)已知函数fx的定义域为−1,0，则函数A.−1,1B.−1题10.(2008・江西)若函数y=fx的定义域是0,2，则函数A.0,1B.[0,题11.2006⋅湖北设fx=lg2A.−4,C.−2,−题型4:定义域求参题12.(2007・重庆)若函数fx=2x2−2ax+a−题13.已知函数y=lga2−1x2+a+题型5:直接法求解析式题14.(2014・陕西)已知fx=x1+x,x≥0，若f1x=f题型6:换元法求解析式题15.(2004新北)已知f1−x1+x=A.fx=C.fx=题型7:待定系数法求解析式题16.(2005・江苏)已知a,b为常数，若fx=x题17.已知fx是二次函数，且满足f0=1，fx+题型8:方程组法求解析式题18.fx的定义域为0,+∞,满足2fx−f1xA.1+423B.1题19.(2011・湖北)若定义在R上的偶函数fx和奇函数gx满足fx+gA.ex−e−xB.题型9:赋值法求解析式题20.(2024・九省联考)已知函数fx的定义域为R，且f12≠0A.f−1C.函数fx−12是偶函数D.函数题型10:对称法求解析式题21.(2018・新课标III)下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=A.y=ln1−xB.y题22.已知函数y=x2+x与y=gx的图象关于点题23.(2014・大纲版)函数y=fx的图象与函数y=gx的图象关于直线x+A.y=gxB.y=题24.(2015・新课标I)设函数y=fx的图象与y=2x+a的图象关于y=−A.-1B.1C.2D.4题型11:递推法求解析式题25.(2013・安徽)定义在R上的函数fx满足fx+1=2fx.若当0≤x≤1时.题26.(2019・新课标II)设函数fx的定义域为R，满足fx+1=2fx，且当x∈(0，1]时，fx=x(xA.(−∞,94]B.−∞,7题型12:解析式中的定值题27.设y=fx在定义域0,+∞上是单调函数,当x∈0,+∞时,都有fA.2B.3C.32D.题28.已知函数fx是定义在R上的单调增函数,且满足对任意的实数x都有ffx−3x=A.2B.4C.8D.12题29.fx为定义在0,+∞上的单调函数,对∀x∈0,+∞,都有ffx−log2x=6A.1B.2C.3D.4题型13:解析式的特征题30.(课本题)探究是否存在函数fx,gx(1)定义域相同，值域相同，但对应关系不同；(2)值域相同，对应关系相同，但定义域不同.题31.已知函数fx=x21题32.设定在R上的函数fx满足:ftanx=1题33.(2014・四川)已知fx=ln1+x−ln①f−x②f③f其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②题型14:二次函数的值域题34.(2008・重庆)已知函数y=1−x+x+3的最大值为M，最小值为A.14B.12C.2题35.(1991新南、云南、海南)设函数fx=x2+x+12的定义域是题36.(2009・江西)设函数fx=ax2+bx+ca<0的定义域为A.-2B.-4C.-8D.不能确定题型15:单调性法求值域题37.函数y=x−A.0,12B.(−∞,1题38.(2007・重庆)函数fx=题型16:换元法求值域题39.函数y=2x题40.(2014・重庆)函数fx=题41.(2008・重庆)函数fx=sinA.−14,14B.题42.(2013・新课标I)若函数fx=1−x2x2+ax题型17:三角换元求值域题43题44.y=题45.若x,y满足3x2+2题型18:数形结合求值域题46.(2009・海南)用min{a,b,c}表示a,b,cA.7B.6C.5D.4题47.fx题48.求函数y=sin题49.求y=3题型19:分式值域一次题50.求函数y=2x题51.求函数y=2题52.求函数y=4题53.求函数y=2题型20:分式值域二次题54.求函数y=x题55.求函数y=2题型21:分式值域二次题56.(2014・全国)函数fx=xA.22B.2+14题57.求函数y=x题型22:分式值域二次题58.求函数y=2题59.函数y=1−A.13,3B.13题60.求函数y=2题61.(2022・全国甲卷节选)求函数y=4题型23:分式值域三次题62.(2019・新课标II节选)求函数y=k题型24:值域的单减特征题63.(2015・山东)已知函数fx=ax+ba>0题64.(2004・江苏)设函数fx=−x1+xx∈R，区间M=a,ba<b，集合A.0个B.3个C.2个D.无数多个题型25:值域的对称题65.(2022・上海)设函数fx满足fx=f11+x对任意x∈[0，+∞)都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的第二节指对幂函数【知识精要】指数运算1.若xn=a,则x叫做a的n次方根n>1,n∈N*(1)当n为奇数时，2.根式的性质:13.正数的正分数与负分数指数幂的意义:a>0,m,n∈N4.正数的指数幂的运算性质:a>0,b>0,m,n对数运算1.如果ax=Na>0,且a≠1,那么数x叫做以2.简记:log10N=lgN3.常用数值:14.指对恒等式:a5.对数的运算性质a>0,且a≠1,M>0函数名称幂函数定义形如y=x图象yyyyy定义域RRR[{值域R[R[{奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性↑x∈(−∞,0↑xx∈0函数名称指数函数定义形如y=a图象a0定义域R值域0过定点图象过定点0,1,即当x=0渐近线y=0即x奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数a变化对图象影响a越大,开口越靠近y轴a越小,开口越靠近y轴函数名称对数函数定义形如y=log图象a0定义域0值域R过定点图象过定点1,0,即当x=1奇偶性非奇非偶单调性在0,+∞在0,+∞a变化对图象影响a越大,开口越靠近x轴a越小,开口越靠近x轴【典例分析】题型1:指数、对数公式计算题1.(2007・山东)给出下列三个等式:fxy=fx+fy，fA.fx=3xB.f题2.(2012・港澳台)设a+b+c=A.34B.23C.1题3.(2022・天津)化简2logA.1B.54D.5题4.(2015・安徽)lg5题5.(2015・浙江)若a=log43题6.2014⋅题7.(2020新课标I)设alog34=2A.116B.19C.1题8.(2021・天津)若2a=5b=A.-1B.lg7C.1D.题9.(2013・浙江)已知x,yA.2lgx+lgy=2题10.(2022・浙江)已知2a=5，log83A.25B.5C.259D.题11.(2024·甲卷)已知a>1，1log8a题12.(2016・浙江)已知a>b>1，若logab+logba=52题13.(2012・上海)方程4x−题14.(2015・上海)方程log29题15.(2026・福州模拟)已知3a=4b=6c，若A.0B.1C.2D.3题型2:实际应用中的指对运算题16.(2025・北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从A.2hB.4hC.20hD.40h题17.(2020新课标III)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数It(t的单位:天)的Logistic模型:It=K1+e−0.23t−53,其中K为最大确诊病例数.A.60B.63C.66D.69题18.(2023・新高考I)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20× lgpp0,其中常数声源与声源的距离/声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,A.p1≥p2B.p题19.(2020新高考I)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型:It=ert描述累计感染病例数It随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天题20.(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2 −m1=52lgE1E2,其中星等为A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.题21.(2017・北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN(参考数据:lg3A.1033B.1053C.10题22.(2015・四川)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:°C)满足函数关系y=e2.718⋯为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0∘C的保鲜时间是192小时，在22∘C的保鲜时间是48小时,则该食品在A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时题23.(2026・滁州二模)规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时h)之间的函数关系式为:Pt=P0e−kt(e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量)，过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的1625，要使污染物的含量不超过初始值的A.10hB.20hC.30hD.40h题型3:指对幂图像题24.若四个幂函数y=xa,y=xA.d>c>b>a题25.(2013・上海)函数fx=xA.B.C.D.题26.(2011・陕西)函数y=x13的图象是()题27.(2012・四川)函数A.B.C.D.A.B.C.D.题28.(2014・山东)已知函数y=logax+c(a,A.a>1,c>1题29.(2014・福建)若函数y=logaA.B.C.D.题30.(2019・浙江)在同一直角坐标系中，函数y=1aA.B.C.D.题31.若a∈12,2,3,则函数fA.B.C.D.题型4:指对幂函数性质题32.设a>1，在下列函数中，图象经过定点1,A.y=xaB.y=题33.幂函数fx=m2−4m+4xm题34.已知指数函数y=fx,对数函数y=gx和幂函数y=hx的图象都过P题35.幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间0,1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A1,0,B0,1,连结AB,线段ABA.0B.1C.12题36.(2025・上海)设a>0,s∈R.A.a>1，且s>0B.aC.0<a<1，且s>0题37.2022⋅北京已知函数fx=11+A.f−x+fx=题38.(2024·北京)已知x1,y1，x2,yA.log2yC.log2y题39.已知幂函数fx的图象经过点18,24,Px1,y1,Qx2,A.若幂函数的图象经过点18,2B.若函数fx=x−23，则fC.幂函数fx=xaα>0D.若函数fx=x，则对于任意的x1，x2∈[0题41.已知函数y=loga1−ax在1,A.1,2B.1,2题42.已知函数fx=lgxA.当a=0时，fxB.fx的定义域为R，则实数a的取值范围是C.fx的值域为R，则实数a的取值范围是D.若fx在区间2,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是题43.已知函数fx=2x−1,A.a<0C.2−a题型5:对数等高线题44.(2010・大纲版Ⅰ)已知函数fx=lgx，若0<a<b，且A.22,+∞B.[22题45.设函数fx=x2,x≤1log2x−1,xA.3B.4C.5D.16题46.已知函数fx=log2x,0<x<42cosπ2x,4≤A.0<tC.x1+x2题47.(2012翱南)已知两条直线l1:y=m和l2:y=82m+1m>0,l1与函数y=log2x的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=log2A.162B.82C.8第三节比较大小【典例分析】题型1:粗略估计范围题1.(2022・天津)设a=20.7,b=1A.a<b<cB.c题2.(2021・天津)设a=log2A.a<b<cB.c题3.(2009・黑龙江)设a=lgeA.a>b>cB.c题型2:绝对值大小题4.(2019・新课标III)设fx是定义域为R的偶函数，且在0,+∞A.flog3C.f2−题5.(2026・天津)已知函数fx=lnx，若a=f20.3，b=f30.3，c=f3A.a<b<cB.b题型3:中间量法题6.(2021新高考II)已知a=log5A.c<b<aB.b题7.(2020新课标III)设a=logA.a<c<bB.a题8.(2026合肥二模)设2a=3A.a>b>cB.a题型4:同指或同底单调性法题9.(2010・安徽)设a=3525,bA.a>c>bB.a题10.(2016・新课标III)已知a=243，b=4A.b<a<cB.a题11.(2010・大纲版1)设a=logA.a<b<cB.b题12.(2016・新课标I)若a>bA.ac<bcB.a题13.(2013・新课标II)设a=logA.c>b>aB.b题型5:图像法题14.设正实数a,b,c分别满足a⋅2aA.a>b>cB.b题15.(2007・天津)设a,b,c均为正数，且2a=logA.a<c<bB.b题型6:对数取倒数法题16.(2018・新课标III)设a=log0.2A.a+b<ab<0题型7:糖水不等式法题17.(2021・港澳台)已知a>b>A.logbaB.log2b2a题型8:对数作商变同底题18.(2020新课标III)已知55<84，134<85.设a=log5A.a<b<cB.b题型9:特殊函数同构法题19.(2014·湖北)π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数.(1)求函数fx=(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，(3)将e3，3e，eπ，πe，3π，题20.若a=ln3A.a<b<cB.c题21.下列四个命题e①ln5<5ln2;②ln其中真命题序号为_____.题22.(2017・新课标I)设x、y、z为正数，且2x=A.2x<3y<5zB.5z题23.(2021・八省联考)已知a<5且ae5=5ea，b<4且beA.c<b<aB.b题24.(2020新课标I)若2a+logA.a>2bB.a<2b题型10:构造函数题25.(2022・甲卷)已知9m=10，a=10mA.a>0>bB.a题26.(2026・合肥一六八最后一卷)已知a=e−32，b=ln8A.a>b>cB.c题型11:增速比较题27.2021⋅乙2A.a<b<cB.b题28.设a=ln1.1,A.a<b<c<dB.题型12:泰勒公式估值题29.(2026·T8联考)已知x=1.3A.y<z<xB.x题30.(2022·新高考I)设a=0.1e0.1，b=1A.a<b<cB.c题31.(2022・甲卷)已知a=31A.c>b>aB.b题型13:取极限题32.(2023·四省联考)已知a，b，c满足a=log52b+A.a−cC.a−c题型14:赋值法题33.(2020・山东适应性测试)若a>b>c>1A.logabC.logbc题34.2025⋅新高考I若实数x,y,z满足A.x>y>zB.x第四节函数的单调性与奇偶性【知识精要】单调性定义定义:对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1①当x1<x2时,都有fx1<fx2②当x1<x2时,都有fx1>fx2单调性定义的变式①fx1−fx2②fx1−fx2常用性质设fx,gx具有单调性,常数k>0①nfx，kfx，fx+c②kfx，−kfx与③fx，gx是增(减)函数，则Fx=fx④fx，gx都是恒正的增(减)函数，则Fx=fx复合函数单调性y=fgx为y增增减减t增减增减y增减减增分段函数单调性fx=gx,xgfx=gx,xg奇偶性定义先看定义域是否关于原点对称,再比较f−x与f①偶函数:对于函数fx的定义域内任意一个x，都有②奇函数:对于函数fx的定义域内任意一个x，都有常用结论①奇函数fx的定义域若包括0,则必有f②奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.③fx+f−x为偶，fx④奇函数:y=fx,⑤若fx=ax3+bx2+cx+d是偶函数，则奇次项系数a⑥奇常函数:fx=奇函数常用奇函数模型解析式拓展幂函数yy对勾函数yy飘带函数yy正弦型函数yy正切型函数yy双曲正弦函数yy双曲正切函数yy反双曲正弦函数yy反双曲正切函数yy阶梯函数yy常用偶函数模型解析式拓展常数函数yy=0幂函数y=xa(y余弦型函数yy绝对值函数yy双曲余弦函数yy平底锅函数yy对数型函数yy【典例分析】题型1:函数单调性的判断题1.下列函数中,在区间0,+∞上单调递增的是(A.fx=C.fx=2.(2017・山东)若函数exfxe=2.71828⋯是自然对数的底数)在fx的定义域上单调递增，则称函数fx具有A.fx=2−xB.3.若函数fx在0,+∞上满足:∀x1,x2∈0,+∞,当x1≠xA.fx=C.fx=4.(2011・重庆)下列区间中，函数fx=lgA.(−∞,1]B.−1,5.2008⋅湖南已知函数(1)若a>0，则f(2)若fx在区间(0,1]6.2005⋅湖北)在y=2x,y=log2x,A.0个B.1个C.2个D.3个题型2:函数单调性的证明7.(2014・上海)如果存在非零常数c，对于函数y=fx定义域R上的任意x，都有fx+c>fx(1)求证:若y=fxx∈R(2)若函数gx=ax3+bx2是“8.(2006・上海)已知函数y=x+ax有如下性质:如果常数a>0，那么该函数在(1)如果函数y=x+2bxx>0在(0(2)设常数c∈1,4，求函数(3)当n是正整数时,研究函数gx=题型3:复合函数单调性9.(2017・新课标II)函数fx=lnxA.−∞,−2B.−∞,−1C.110.(2014・天津)函数fx=logA.0,+∞B.−∞,0C.211.(2023・新高考I)设函数fx=2xx−aA.(−∞,−2]B.−2,12.函数fx=log13x2A.a<−1B.a≤013.(2010・天津)设函数fx=x−1x，对任意x∈[1,+∞)14.(2006・天津)如果函数y=axax−3a2−1A.0,23B.33题型4:分段函数单调性15.(2024・新高考I)已知函数为fx=−x2−2ax−a,xA.(−∞,0]B.−1,16.(2006・北京)已知fx=3a−1x+4a,x≤A.0,1B.0,117.设函数fx=−x2+4x+4,18.已知函数fx=ax2−x−14,A.14,12B.119.已知函数fx=a−x,x<−11−2ax+3aA.0,14B.0,题型5:利用单调性解不等式20.已知函数fx=lnx+2x,若f21.若fx=1x+222.(2017新课标III)设函数fx=x+1,x≤0223.已知函数fx的定义域为R,图象恒过1,1点,对任意x1<x2,都有fA.0,+∞B.C.−∞,0∪题型6:抽象函数单调性24.设定义在R上的函数fx满足:①当x<0时，fx<1A.f0=1B.fx为减函数25.(2026・佛山一模)已知函数fx的定义域为R，对任意正实数t，函数y=fx+t−A.f0<C.若f1=1,f2026题型7:常见的奇偶函数26.(2026・宁夏模拟)已知函数fx的定义域为R，则下列函数一定为奇函数的是(A.fx+f−xB.27.(2024・天津)下列函数是偶函数的为()A.y=ex−x228.(2021新高考I)已知函数fx=x3a29.(2023・乙卷)已知fx=xexA.-2B.-1C.1D.230.(2026・徐州模拟)若函数fx=ax+A.1331.(2026・南开中学第五次质检)函数fx=x−ax2x+1是定义在R上的偶函数，则fA.34log2332.(2026・呼和浩特一模)已知函数fx=x+25−A.20B.50C.70D.9033.(2023·甲卷)若fx=x−134.(2026・合肥一模)已知函数fx=2x−1A.π6B.π3C.2π35.(2020新课标II)设函数fx=ln2x+1A.是偶函数,且在12,+∞单调递增B.是奇函数,且在−C.是偶函数,且在−∞,−12单调递增D.是奇函数,且在−∞,−36.(2005・山东)下列函数既是奇函数，又在区间−1,1A.fx=sinC.fx=37.(2023·新高考II)若fx=x+aA.-1B.0C.1238.(2015・新课标I)若函数fx=xlnx39.(2005・江西)若函数fx=logax40.(1994・全国)定义在−∞,+∞上的任意函数fx都可表示成一个奇函数gx和一个偶函数hx之和.如果fA.gB.gC.gD.g41.(2014・湖南)若fx=lne3x+42.若存在实数m,使得函数fx=ln2ex43.(2022・乙卷)若fx=lna+11−x+44.(2026・武汉三调)若存在正实数a,使得函数fx=3ex−1exA.1B.2C.3D.4题型8:利用奇偶性求解析式45.(2019・新课标II)已知fx是奇函数，且当x<0时，fx=−eax.若46.(2019・新课标II)设fx为奇函数，且当x≥0时，fx=ex−1A.e−x−1B.e47.(2016・新课标III)已知fx为偶函数,当x≤0时,fx=e−x−148.(2024・港澳台)已知偶函数fx的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，fx=A.x2+2xB.x249.(2022・港澳台)设f