2026-2027年天津市北师大版高二数学上册第8章综合测试卷

2026-2027年天津市北师大版高二数学上册第8章综合测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高二数学上册第8章中，函数f(x)=ln(x+√(x^2+1))的定义域为（）A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,+∞)D.(-√2,√2)解析：函数f(x)=ln(x+√(x^2+1))的定义域需满足x+√(x^2+1)>0。由于√(x^2+1)始终大于等于|x|，因此x+√(x^2+1)恒大于0，故定义域为全体实数。选项C正确。其他选项均存在错误，A选项将定义域人为割裂，B选项错误地限定了区间范围，D选项仅涵盖了部分实数。本题考查对复合函数定义域的求解能力，需掌握对数函数的定义域要求及根式函数的性质。2.根据第8章内容，若函数g(x)=a^x+b(a>0,a≠1)的图像经过点(1,3)，且其反函数的图像经过点(3,1)，则实数a+b的值为（）A.4B.5C.6D.7解析：由函数g(x)经过点(1,3)可得a+b=3。反函数的图像经过点(3,1)意味着g(x)的图像经过点(1,3)，这与前述条件一致。将a+b=3代入选项验证，仅当a=2,b=1时满足a>0,a≠1的条件。故a+b=3，选项均不符合。此处命题存在设计缺陷，正确答案应为3，但选项设置不符合题意。3.在研究指数函数性质时，若函数h(x)=2^(kx)+1在(0,+∞)上单调递减，则实数k的取值范围是（）A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)解析：函数h(x)单调递减需满足kx<0在(0,+∞)上恒成立，即k<0。选项B(-1,0)符合条件。其他选项均存在错误，A选项(-∞,-1)过于绝对，C选项(0,1)与k<0矛盾，D选项(1,+∞)与k<0矛盾。本题考查指数函数单调性的判定方法，需掌握底数与指数对单调性的影响规律。4.已知函数f(x)=3^x-2^x，若存在实数m使得f(m)=2，则m的取值个数为（）A.0B.1C.2D.无数个解析：令t=2^x，则f(x)=t^3/8-t/4。由f(m)=2可得t^3/8-t/4=2，即t^3-2t-16=0。因t=2^x>0，需解正实数根的个数。构造函数g(t)=t^3-2t-16，求导g'(t)=3t^2-2，令g'(t)=0得t=√(2/3)。函数在(0,√(2/3))上单调递减，在(√(2/3),+∞)上单调递增。计算g(0)=-16，g(√(2/3))<0，g(4)=0，故存在唯一正实数根。选项B正确。5.若函数p(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+\infty)解析：函数p(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(1,2)上单调递增且a>1。二次函数x^2-3x+2在(1,2)上单调递增，故a>1。选项B(1,2)与a>1矛盾，选项C(2,4)与a>1矛盾，选项D(4,+\infty)符合条件。选项A(0,1)与a>1矛盾。本题考查对数函数单调性的综合应用，需掌握复合函数单调性的判定定理。6.已知函数q(x)=log_2(2^x-1)，则下列结论正确的是（）A.q(x)是奇函数B.q(x)是偶函数C.q(x)既是奇函数又是偶函数D.q(x)既不是奇函数也不是偶函数解析：函数定义域为(0,+∞)。计算q(-x)=log_2(2^-x-1)≠-log_2(2^x-1)=-q(x)，且q(-x)≠q(x)，故q(x)既不是奇函数也不是偶函数。选项D正确。本题考查对数函数的奇偶性判定，需掌握奇偶性的定义及对数函数的性质。7.若函数r(x)=a^x+log_a(1-x)在(-1,1)上连续，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.[1,+\infty)D.(0,1)∪(1,+\infty)解析：函数r(x)在(-1,1)上连续需满足两部分分别在(-1,1)上连续。a^x在(-1,1)上始终连续，log_a(1-x)需满足1-x>0且1-x≠1，即x∈(-1,0)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。选项A正确。其他选项均存在错误，B选项(1,2)与a<1矛盾，C选项[1,+\infty)与a<1矛盾，D选项(1,+\infty)与a<1矛盾。8.已知函数s(x)=2^x-1与t(x)=log_2(1+x)的图像关于某条直线对称，则该直线的方程是（）A.y=xB.y=-xC.y=x+1D.y=-x+1解析：设对称轴方程为y=kx+b。由对称性可得s(x)与t(x)关于y=kx+b对称。取特殊点(0,0)与(1,1)，代入对称关系可得k=1,b=0，故对称轴为y=x。选项A正确。其他选项均不符合对称关系。本题考查函数图像对称性的应用，需掌握对称点坐标关系。9.若函数u(x)=log_a(2x-1)在(1/2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+\infty)D.(0,1)∪(1,+\infty)解析：函数u(x)单调递增需满足2x-1>0且a>1。对数函数在a>1时单调递增，故a>1。选项B(1,2)与a>1矛盾，选项C(2,+\infty)符合条件。选项A(0,1)与a>1矛盾，选项D(0,1)∪(1,+\infty)与a>1矛盾。本题考查对数函数单调性的综合应用，需掌握复合函数单调性的判定定理。10.已知函数v(x)=a^x+log_a(3-x)，若v(x)在(0,3)上连续，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.[1,+\infty)D.(0,1)∪(1,+\infty)解析：函数v(x)在(0,3)上连续需满足两部分分别在(0,3)上连续。a^x在(0,3)上始终连续，log_a(3-x)需满足3-x>0且3-x≠1，即x∈(0,2)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。选项A正确。其他选项均存在错误，B选项(1,2)与a<1矛盾，C选项[1,+\infty)与a<1矛盾，D选项(1,+\infty)与a<1矛盾。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数w(x)=log_3(2x-1)在(1/2,1)上单调递减，则实数x的取值范围是__________。解析：函数w(x)单调递减需满足2x-1>0且3>1。对数函数在底数大于1时单调递增，故w(x)在(1/2,1)上单调递增。此处命题存在矛盾，正确表述应为w(x)在(1/2,1)上单调递增。2.已知函数x(x)=2^x-1与y(x)=log_2(1+x)的图像关于某条直线对称，则该直线的方程是__________。解析：设对称轴方程为y=kx+b。由对称性可得x(x)与y(x)关于y=kx+b对称。取特殊点(0,0)与(1,1)，代入对称关系可得k=1,b=0，故对称轴为y=x。3.若函数z(x)=log_a(x^2-2x+1)在(-∞,1)上单调递减，则实数a的取值范围是__________。解析：函数z(x)单调递减需满足x^2-2x+1在(-∞,1)上单调递减且a>1。二次函数x^2-2x+1在(-∞,1)上单调递减，故a>1。4.已知函数m(x)=a^x+log_a(1-x)在(0,1)上连续，则实数a的取值范围是__________。解析：函数m(x)在(0,1)上连续需满足两部分分别在(0,1)上连续。a^x在(0,1)上始终连续，log_a(1-x)需满足1-x>0且1-x≠1，即x∈(0,1)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。5.若函数n(x)=log_2(x^2-3x+2)在(2,3)上单调递增，则实数x的取值范围是__________。解析：函数n(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(2,3)上单调递增且2>1。二次函数x^2-3x+2在(2,3)上单调递增，故x∈(2,3)。6.已知函数p(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是__________。解析：函数p(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(1,2)上单调递增且a>1。二次函数x^2-3x+2在(1,2)上单调递增，故a>1。7.若函数q(x)=log_2(2^x-1)在(0,+∞)上单调递增，则实数x的取值范围是__________。解析：函数q(x)单调递增需满足2^x-1>0且2>1。指数函数2^x-1在(0,+∞)上始终大于0，故x∈(0,+∞)。8.已知函数r(x)=a^x+log_a(1-x)在(-1,1)上连续，则实数a的取值范围是__________。解析：函数r(x)在(-1,1)上连续需满足两部分分别在(-1,1)上连续。a^x在(-1,1)上始终连续，log_a(1-x)需满足1-x>0且1-x≠1，即x∈(-1,0)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。9.若函数s(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是__________。解析：函数s(x)单调递减需满足x^2-3x+2在(1,2)上单调递减且0<a<1。二次函数x^2-3x+2在(1,2)上单调递减，故0<a<1。10.已知函数t(x)=log_2(x^2-3x+2)在(2,3)上单调递增，则实数a的取值范围是__________。解析：函数t(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(2,3)上单调递增且2>1。二次函数x^2-3x+2在(2,3)上单调递增，故a>1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数u(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是(1,+\infty)。解析：错误。函数u(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(1,2)上单调递增且a>1。二次函数x^2-3x+2在(1,2)上单调递增，故a>1。但选项(1,+\infty)与a>1矛盾。2.已知函数v(x)=a^x+log_a(1-x)在(0,1)上连续，则实数a的取值范围是(0,1)。解析：正确。函数v(x)在(0,1)上连续需满足两部分分别在(0,1)上连续。a^x在(0,1)上始终连续，log_a(1-x)需满足1-x>0且1-x≠1，即x∈(0,1)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。3.若函数w(x)=log_3(2x-1)在(1/2,1)上单调递减，则实数x的取值范围是(1/2,1)。解析：错误。函数w(x)单调递减需满足2x-1>0且3>1。对数函数在底数大于1时单调递增，故w(x)在(1/2,1)上单调递增。4.已知函数x(x)=2^x-1与y(x)=log_2(1+x)的图像关于某条直线对称，则该直线的方程是y=x。解析：正确。设对称轴方程为y=kx+b。由对称性可得x(x)与y(x)关于y=kx+b对称。取特殊点(0,0)与(1,1)，代入对称关系可得k=1,b=0，故对称轴为y=x。5.若函数z(x)=log_a(x^2-2x+1)在(-∞,1)上单调递减，则实数a的取值范围是(0,1)。解析：错误。函数z(x)单调递减需满足x^2-2x+1在(-∞,1)上单调递减且a>1。二次函数x^2-2x+1在(-∞,1)上单调递减，故a>1。6.已知函数m(x)=a^x+log_a(1-x)在(0,1)上连续，则实数a的取值范围是[1,+\infty)。解析：错误。函数m(x)在(0,1)上连续需满足两部分分别在(0,1)上连续。a^x在(0,1)上始终连续，log_a(1-x)需满足1-x>0且1-x≠1，即x∈(0,1)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。7.若函数n(x)=log_2(x^2-3x+2)在(2,3)上单调递增，则实数x的取值范围是(2,3)。解析：正确。函数n(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(2,3)上单调递增且2>1。二次函数x^2-3x+2在(2,3)上单调递增，故x∈(2,3)。8.已知函数p(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是(0,1)。解析：错误。函数p(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(1,2)上单调递增且a>1。二次函数x^2-3x+2在(1,2)上单调递增，故a>1。9.若函数q(x)=log_2(2^x-1)在(0,+∞)上单调递增，则实数x的取值范围是(0,+∞)。解析：正确。函数q(x)单调递增需满足2^x-1>0且2>1。指数函数2^x-1在(0,+∞)上始终大于0，故x∈(0,+∞)。10.已知函数r(x)=a^x+log_a(1-x)在(-1,1)上连续，则实数a的取值范围是(0,1)。解析：正确。函数r(x)在(-1,1)上连续需满足两部分分别在(-1,1)上连续。a^x在(-1,1)上始终连续，log_a(1-x)需满足1-x>0且1-x≠1，即x∈(-1,0)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)=a^x+log_a(1-x)在(0,1)上连续，求实数a的取值范围。解析：函数f(x)在(0,1)上连续需满足两部分分别在(0,1)上连续。a^x在(0,1)上始终连续，log_a(1-x)需满足1-x>0且1-x≠1，即x∈(0,1)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。2.若函数g(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递增，求实数a的取值范围。解析：函数g(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(1,2)上单调递增且a>1。二次函数x^2-3x+2在(1,2)上单调递增，故a>1。3.已知函数h(x)=log_2(x^2-3x+2)在(2,3)上单调递增，求实数x的取值范围。解析：函数h(x)单调递增需满足x^2-3x+2在(2,3)上单调递增且2>1。二次函数x^2-3x+2在(2,3)上单调递增，故x∈(2,3)。4.若函数k(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递减，求实数a的取值范围。解析：函数k(x)单调递减需满足x^2-3x+2在(1,2)上单调递减且0<a<1。二次函数x^2-3x+2在(1,2)上单调递减，故0<a<1。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)=a^x+log_a(1-x)在(0,1)上连续，求实数a的取值范围。案例背景：某城市人口增长模型为f(t)=a^t+log_a(1-t)，其中t表示时间（0≤t≤1），人口增长需满足函数在(0,1)上连续。求该城市人口增长模型中实数a的取值范围。解析：函数f(t)在(0,1)上连续需满足两部分分别在(0,1)上连续。a^t在(0,1)上始终连续，log_a(1-t)需满足1-t>0且1-t≠1，即t∈(0,1)。对数函数在(0,1)上连续，故a∈(0,1)。2.若函数g(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递增，求实数a的取值范围。案例背景：某企业产品销售模型为g(s)=log_a(s^2-3s+2)，其中s表示销售量（1≤s≤2），产品销售需满足函数在(1,2)上单调递增。求该企业产品销售模型中实数a的取值范围。解析：函数g(s)单调递增需满足s^2-3s+2在(1,2)上单调递增且a>1。二次函数s^2-3s+2在(1,2)上单调递增，故a>1。3.已知函数h(x)=log_2(x^2-3x+2)在(2,3)上单调递增，求实数x的取值范围。案例背景：某学校课程安排模型为h(t)=log_2(t^2-3t+2)，其中t表示时间（2≤t≤3），课程安排需满足函数在(2,3)上单调递增。求该学校课程安排模型中实数x的取值范围。解析：函数h(t)单调递增需满足t^2-3t+2在(2,3)上单调递增且2>1。二次函数t^2-3t+2在(2,3)上单调递增，故x∈(2,3)。4.若函数k(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递减，求实数a的取值范围。案例背景：某金融机构投资模型为k(r)=log_a(r^2-3r+2)，其中r表示利率（1≤r≤2），投资收益需满足函数在(1,2)上单调递减。求该金融机构投资模型中实数a的取值范围。解析：函数k(r)单调递减需满足r^2-3r+2在(1,2)上单调递减且0<a<1。二次函数r^2-3r+2在(1,2)上单调递减，故0<a<1。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.无正确选项3.B4.B5.D6.D7.A8.A9.C10.A二、填空题1.无正确答案12.y=x13.a>11