解析清华保送考试的试题和答案

解析清华保送考试的试题和答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______第一题已知集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|ax=1}。若B⊆A，求实数a的取值范围。第二题设函数f(x)=|x-1|+|x+2|。(1)求函数f(x)的最小值；(2)若关于x的方程|x-1|+|x+2|=k有三个不同的实数解，求实数k的值。第三题已知数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n。若a_3=5，S_5=25，求：(1)数列{a_n}的通项公式；(2)若b_n=(a_n+1)/a_n，求证：数列{b_n}从第k项起单调递增。第四题在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知a=3，b=√7，C=π/3。(1)求边c的长；(2)求△ABC的面积。第五题已知函数g(x)=e^x-mx^2(m为实数)，定义F(x)=g'(x)-2x，其中e是自然对数的底数。(1)求函数F(x)的表达式；(2)讨论函数F(x)的单调性；(3)若对于任意x∈(-∞,1]，都有F(x)≥ln(1+k)恒成立，求实数k的最大值。第六题已知函数f(x)=x³-3x+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对于任意x∈(-1,2)，都有|f(x)|≤2。第七题在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B在y轴上，且AB=2。点P是以AB为直径的圆上的动点。设∠APB的角平分线交x轴于点Q。(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设点M(x₀,y₀)(x₀≠0)在直线l:y=x上，直线PM交曲线C于另一点P₁。若直线l与线段P₁Q总是相交，求x₀的取值范围。第八题已知函数h(x)=√(x^2+px+q)(p,q为实数)，定义域为[1,3]。(1)求实数p,q的取值范围；(2)若函数h(x)在区间[1,3]上的最小值为1，最大值为2√2，求p,q的具体值。第九题已知f(x)=x²+ax+b，a,b为实数。设方程f(x)=0在区间(1,3)内有实数根。(1)求实数a,b满足的条件；(2)若f(x)=x有两个不同的实数根，且其中一个根在(1,2)内，另一个根在(2,3)内，求实数a,b的取值范围。第十题已知正数a,b满足a+b=4。(1)求ab的最小值；(2)设函数g(x)=(a-1)x+(b-1)lnx，求函数g(x)在区间(0,1]上的最大值。第十一题已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+(n+1)c_n^2(n∈N*)。(1)求证：数列{c_n}是单调递增数列；(2)设T_n=c_1+c_2+...+c_n，求证：T_n>n^(n+1)。第十二题在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=1。点E是棱PC上一点，点F是棱PD上一点。(1)求证：平面AEF⊥平面PCD；(2)求三棱锥EFB-PCD的体积。第十三题已知函数φ(x)=∫_0^xe^t(1-t)dt(e是自然对数的底数)。(1)求函数φ(x)的表达式；(2)求函数φ(x)的极值；(3)若函数φ(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点，求实数m的取值范围。第十四题设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=(1+1/a_n)^(a_n)(n∈N*)。(1)求证：数列{a_n}是有界数列；(2)求极限lim_(n→∞)a_n。第十五题已知点A(0,a)(a>0)，点B在x轴正半轴上，且AB=1。点P是以AB为直径的圆上的动点。设直线AP与直线x=2交于点C。(1)求点P的轨迹D的方程；(2)设直线l过点(1,0)，且与曲线D交于不同的两点M,N。若|MN|=√10，求直线l的方程。试卷答案第一题解：A={x|x≤1或x≥2}。若B=∅，则a=0，满足B⊆A。若B≠∅，则a≠0，B={1/a}。要使B⊆A，需1/a≤1或1/a≥2，即a≥1或a≤1/2。综上，a∈(-∞,1/2]∪[1,+∞)。第二题解：f(x)=|x-1|+|x+2|=π(x≤-2);-x+3(-2<x<1);x+2(x≥1)。(1)当x∈(-2,1)时，f(x)∈(2,3);当x=-2时，f(x)=3;当x=1时，f(x)=2。故f(x)的最小值为2。(2)方程|x-1|+|x+2|=k有三个不同实数解，说明直线y=k与f(x)的图像有且只有三个交点。由图像可知，当k=3时，直线y=k与f(x)的图像恰好有三个交点(x=-2,y=3;x=-1/2,y=3;x=1,y=2)。故k=3。第三题解：(1)设数列{a_n}的公差为d。由a_3=5，S_5=25，得(5+d)*3+5d/2=25。解得d=2。故a_1=3。所以a_n=3+2(n-1)=2n+1。(2)证明：b_n=(a_n+1)/a_n=(2n+2)/(2n+1)=1+1/(2n+1)。故b_{n+1}-b_n=[1+1/(2(n+1)+1)]-[1+1/(2n+1)]=(2n+1-2n-3)/(2(2n+1)(2n+3))=-2/(2(2n+1)(2n+3))<0(n∈N*)。所以数列{b_n}是单调递增数列。第四题解：(1)根据余弦定理，c²=a²+b²-2ab*cosC=3²+(√7)²-2*3*√7*cos(π/3)=9+7-3√7=16-3√7。所以c=√(16-3√7)。(2)△ABC的面积S=(1/2)*ab*sinC=(1/2)*3*√7*sin(π/3)=(3√7*√3)/4。第五题解：(1)g'(x)=e^x-2mx。所以F(x)=g'(x)-2x=e^x-2mx-2x。(2)F'(x)=e^x-2m-2。令F'(x)=0，得e^x=2m+2，即x=ln(2m+2)。当m≥0时，2m+2≥2，e^x≥2，此时F'(x)=e^x-2≥0，F(x)在R上单调递增。当m<0时，2m+2<2，e^x<2，此时F'(x)=e^x-2m-2<0，F(x)在(-∞,ln(2m+2))上单调递减；F'(x)=e^x-2m-2>0，F(x)在(ln(2m+2),+∞)上单调递增。(3)由(2)知，当m≥0时，F(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以F(x)在(-∞,1]上的最小值为F(1)=e-2m-2。要使F(x)≥ln(1+k)在(-∞,1]上恒成立，需e-2m-2≥ln(1+k)，即m≤(e-ln(1+k)-2)/2。因为m可以取任意非负实数，所以k的最大值即为(e-2-2)/2=e/2-2。第六题解：(1)f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1或x=1。当x∈(-∞,-1)时，f'(x)>0，f(x)在(-∞,-1)上单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，f(x)在(-1,1)上单调递减；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增。(2)证明：令h(x)=x³-3x+2。h'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。由(1)知，h(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。又h(-1)=1，h(1)=0。当x∈(-∞,-1)时，h(x)>h(-1)=1，即x³-3x+2>1，所以|f(x)|=|x³-3x+2|>1。当x∈(-1,1)时，h(x)<h(-1)=1且h(x)>h(1)=0，即0<x³-3x+2<1，所以|f(x)|=|x³-3x+2|<1。当x∈(1,2)时，h(x)在(1,+∞)上单调递增，且h(1)=0，h(2)=2³-3*2+2=2，即0<x³-3x+2<2，所以|f(x)|=|x³-3x+2|<2。当x=1时，|f(1)|=0。综上，对于任意x∈(-1,2)，都有|f(x)|≤2。第七题解：(1)设点P(x,y)，点B(0,b)。因为AB=2，所以b=2。由AB=2，得A(1,0)，B(0,2)。圆心C是AB中点(1/2,1)，半径r=AC/2=√5/2。所以点P的轨迹C的方程为(x-1/2)²+(y-1)²=5/4。(2)将直线l:y=x代入(x-1/2)²+(y-1)²=5/4，得x²-x+1/4+x²-2x+1=5/4，即2x²-3x=0。解得x=0或x=3/2。当x=0时，y=0，M(0,0)。此时直线PM的斜率k=y₀/(-x₀)，直线PM的方程为y=y₀/(x₀)*(-x)。直线l与线段P₁Q的交点情况取决于P₁的位置，但无论P₁如何变化，当P₁与Q重合时，直线l与线段P₁Q相交。当x=3/2时，y=3/2，M(3/2,3/2)。此时直线PM的斜率k=y₀/(-x₀)，直线PM的方程为y=y₀/(x₀)*(-x)。直线l与线段P₁Q总是相交，说明当P₁与Q不重合时，直线l与线段P₁Q也相交。设直线PM与x轴交于点(x₀,0)。由|MN|=√10，得√(x₀²+y₀²)=√10。因为M在l上，所以x₀=y₀。故x₀²=10。因为x₀≠0，所以x₀=√10或x₀=-√10。故x₀的取值范围是(-√10,0)∪(0,√10)。第八题解：(1)因为函数h(x)的定义域为[1,3]，所以x^2+px+q≥0对x∈[1,3]恒成立。令f(x)=x^2+px+q。因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，所以对称轴x=-p/2两侧的函数值均大于等于0。需满足f(1)≥0，f(3)≥0，且-p/2≤1或-p/2≥3。即1+p+q≥0，9+3p+q≥0，且p≤-2或p≥6。综上，实数p,q的取值范围是{(p,q)|p≤-2或p≥6，且1+p+q≥0，9+3p+q≥0}。(2)因为函数h(x)在区间[1,3]上的最小值为1，最大值为2√2，所以f(1)=1+p+q=1，f(3)=9+3p+q=2√2。解得p=-3√2-4，q=2√2+3。第九题解：(1)方程f(x)=0在区间(1,3)内有实数根，等价于f(1)f(3)<0或f(1)=0且f(3)>0或f(3)=0且f(1)>0。即(1+a+b)(9+3a+b)<0或(1+a+b)=0且(9+3a+b)>0或(9+3a+b)=0且(1+a+b)>0。化简得(a+b+1)(3a+b+9)<0或a+b+1=0且3a+b+9>0或3a+b+9=0且a+b+1>0。即(a+1)(b+1)(3a+9)(b+9)<0或a+b+1=0且3a+b>-9或3a+b=-9且a+b>-1。(2)f(x)=x有两个不同的实数根，且其中一个根在(1,2)内，另一个根在(2,3)内，等价于方程x²+ax+b=x有两个不同的实数根，且一个根在(1,2)内，另一个根在(2,3)内。即方程x²+(a-1)x+b=0有两个不同的实数根x₁,x₂，满足1<x₁<2且2<x₂<3。由韦达定理，x₁+x₂=1-a，x₁x₂=b。所以2<1-a<4，即-3<a<0。且2<b<6。由(1)知，a+b+1=0或3a+b+9=0。若a+b+1=0，则b=-a-1。代入2<-a-1<6，得-7<a<-3。因为-3<a<0，所以无解。若3a+b+9=0，则b=-3a-9。代入2<-3a-9<6，得-5<a<-4/3。因为-3<a<0，所以-4/3<a<0。此时b=-3a-9∈(-3,3)。故实数a,b的取值范围是(-4/3,0)×(-3,3)。第十题解：(1)由均值不等式，ab=(a+b)/2*b=2*b*b/2≥2*√(2*b*b/2)=2*√(b^2/2)=2*b/√2=√2*b。因为a+b=4，所以ab≤√2*(4-a)。当且仅当a=b=2时，等号成立。所以ab的最小值为√2。(2)g(x)=(a-1)x+(b-1)lnx。因为a+b=4，所以g(x)=(3-x)x+(1-x)lnx=3x-x^2+(1-x)lnx。定义h(x)=g(x)-(3x-x^2)=(1-x)lnx。求函数g(x)在区间(0,1]上的最大值等价于求函数h(x)在区间(0,1]上的最大值，再减去(3x-x^2)在区间(0,1]上的最大值。h'(x)=-lnx+1/x。令h'(x)=0，得-lnx+1/x=0，即lnx=1/x。因为x∈(0,1]，所以lnx<0，1/x>1。故方程lnx=1/x在(0,1]上无解。当x∈(0,1]时，lnx<0，1/x>1，所以h'(x)=-lnx+1/x>0。所以h(x)在(0,1]上单调递增。故h(x)在(0,1]上的最大值为h(1)=(1-1)ln1=0。又3x-x^2=-(x-3/2)^2+9/4，在x∈(0,1]上单调递减，其最大值为3*1-1^2=2。所以函数g(x)在区间(0,1]上的最大值为0+2=2。第十一题解：(1)证明：当n=1时，c_2=c_1+2*c_1^2=1+2*1^2=3>c_1=1。所以当n=1时，c_n<c_{n+1}。假设当n=k(k≥1)时，c_k>c_{k-1}成立。则c_{k+1}=c_k+(k+1)c_k^2>c_{k-1}+(k+1)c_{k-1}^2≥c_{k-1}+k*c_{k-1}^2=c_k。所以当n=k+1时，c_n<c_{n+1}也成立。由数学归纳法知，数列{c_n}是单调递增数列。(2)证明：由(1)知，c_n>c_{n-1}>...>c_1=1。所以对于任意n≥1，有c_n≥1+c_2-c_1=1+3-1=3。所以T_n=c_1+c_2+...+c_n≥1+3+...+3n=1+3n^2。要证T_n>n^(n+1)，只需证1+3n^2>n^(n+1)。令f(n)=n^(n+1)-3n^2-1。只需证f(n)<0对所有n≥1成立。f(1)=1^(1+1)-3*1^2-1=1-3-1=-3<0。当n≥2时，n^(n+1)是增长非常快的指数函数，而3n^2是二次函数，1是常数。显然n^(n+1)增长远快于3n^2+1。可以计算f(2)=2^(2+1)-3*2^2-1=8-12-1=-5<0，f(3)=3^(3+1)-3*3^2-1=81-27-1=53>0。所以f(n)<0对n=1,2成立，对n≥3不成立。所以T_n>n^(n+1)不恒成立。此题条件可能需要修正或结论可能需要修改。如果结论改为T_n>n^(n+1)对n≥3成立，则需进一步验证。这里按原题结论，无法证明。第十二题解：(1)证明：取AD中点G，连接PG,CG。因为底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AD=2，所以AG⊥AD，AG⊥DG，AG⊥平面PCD。又AG⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PCD。(2)解：因为平面AEF⊥平面PCD，平面AEF∩平面PCD=EF，PG⊥平面PCD，所以PG⊥EF。又PA=AD=2，PG=√(AG²+PG²)=√(1²+(√2)²)=√3。所以三棱锥EFB-PCD的体积V=(1/3)*S_{△EFB}*PG=(1/3)*(1/2)*AB*EF*PG=(1/3)*(1/2)*1*√7*√3=√(21)/6。第十三题解：(1)φ'(x)=e^x(1-x)。令φ'(x)=0，得x=1。当x∈(-∞,1)时，φ'(x)>0，φ(x)在(-∞,1)上单调递增；当x∈(1,+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)在(1,+∞)上单调递减。所以φ(x)在x=1处取得极大值，也是最大值φ(1)=∫_0^1e^t(1-t)dt=e-1。故φ(x)的表达式为φ(x)=e^x(1-x)+C(x≠1)，且lim_(x→1)φ(x)=φ(1)=e-1，所以C=1-e。故φ(x)=e^x(1-x)+1-e(x∈R)。(2)令ψ(x)=φ(x)-m=e^x(1-x)+1-e-m。求函数φ(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点，等价于方程ψ(x)=0有两个不同的实数解。ψ'(x)=e^x(1-x)-e^x=-xe^x。令ψ'(x)=0，得x=0。当x∈(-∞,0)时，ψ'(x)>0，ψ(x)在(-∞,0)上单调递增；当x∈(0,+∞)时，ψ'(x)<0，ψ(x)在(0,+∞)上单调递减。所以ψ(x)在x=0处取得极大值ψ(0)=1-e-m。要使ψ(x)=0有两个不同的实数解，需ψ(0)>0，即1-e-m>0，解得m<1-e。又lim_(x→-∞)ψ(x)=-∞，lim_(x→+∞)ψ(x)=-∞。故实数m的取值范围是(-∞,1-e)。第十四题解：(1)证明：因为a_1=1>0，且a_{n+1}=(1+1/a_n)^(a_n)≥0(n∈N*)，所以数列{a_n}的各项均为正数。当n=1时，a_2=(1+1/a_1)^(a_1)=2^1=2。当n≥2时，a_{n+1}=(1+1/a_n)^(a_n)=[1+1/(a_n^(n-1))]^(a_n^(n-1))*(1+1/a_n)^(a_n-a_n^(n-1))。因为1+1/(a_n^(n-1))>1，(1+1/a_n)^(a_n-a_n^(n-1))趋于1(当n趋于无穷大时)。所以a_{n+1}主要由[1+1/(a_n^(n-1))]^(a_n^(n-1))控制。令b_n=a_n^(n-1)，b_1=1，b_{n+1}=[1+1/b_n]^(b_n)。因为b_n>0，所以b_{n+1}=[1+1/b_n]^(b_n)≥1。当b_n>1时，[1+1/b_n]<2，b_{n+1}=[1+1/b_n]^(b_n)<2^b_n。当b_n≤1时，b_{n+1}≥1。无论b_n大小，b_{n+1}总是正数且b_{n+1}≥1。所以数列{b_n=a_n^(n-1)}是有界数列(b_n≤2^(n-1))。又a_n=b_n^(1/(n-1))，所以数列{a_n}是有界数列。(2)证明：因为数列{a_n}是有界数列，且a_{n+1}=(1+1/a_n)^(a_n)≥1(n∈N*)，所以数列{a_n}是单调递增数列。又由(1)知，数列{a_n}是有界单调递增数列，所以数列{a_n}收敛。设lim_(n→∞)a_n=A。因为a_{n+1}=(1+1/a_n)^(a_n)，令n→∞，得A=(1+1/A)^A。当A>0时，A=e^(A*ln(1+1/A))。因为1+1/A>1，ln(1+1/A)>0，所以A>e^0=1。若A≥e，则A=e^(A*ln(1+1/A))≥e^(e*0)=e。若A<e，则A=e^(A*ln(1+1/A))<e^(e*1)=e^e。矛盾。所以A≥e。若A>e，则A=e^(A*ln(1+1/A))>e^(e*1)=e^e。矛盾。所以A=e。故lim_(n→∞)a_n=e。第十五题解：(1)设点P(x,y)，点B(0,b)。因为AB=1，所以b=√(x²+y²)=1。所以点P的轨迹D是以A(0,1)、B(0,-1)为端点的圆，圆心为O(0,0)，半径为1。即(x-0)²+(y-0)²=1²。但需去掉与x轴的交点，即(x-0)²+(y-0)²=1且y≠0。所以点P的轨迹D的方程为x²+y²=1(y≠0)。(2)设直线l过点(1,0)，且与曲线D交于不同的两点M,N。因为M,N在圆x²+y²=1(y≠0)上，所以M,N满足x²+y²=1。若直线l的斜率不存在，则l垂直于x轴，方程为x=1。此时M(1,√(1-1²)=0)，N(1,-√(1-1²)=0)，|MN|=0≠√10。若直线l的斜率存在，设l:y=k(x-1)。联立方程组x²+y²=1(y≠0)和y=k(x-1)，得x²+k²(x-1)²=1。即(1+k²)x²-2k²x+k²-1=0。设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)。由韦达定理，x₁+x₂=2k²/(1+k²)，x₁x₂=(k²-1)/(1+k²)。因为l与线段P₁Q总是相交，说明直线l的斜率k存在且直线l与线段P₁Q的交点与P₁的位置无关。这意味着直线l与圆x²+y²=1(y≠0)的交点M,N满足|MN|=√10。|MN|²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=(x₁-x₂)²+k²(x₁-x₂)²=(1+k²)(x₁-x₂)²=(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=(1+k²)[(4k⁴)/(1+k²)²-4(k²-1)/(1+k²)]=(1+k²)[(4k⁴-4k²+4)/(1+k²)²]=4(k²-1+1)/(1+k²)²=4k²/(1+k²)²。要使|MN|=√10，需4k²/(1+k²)²=10。解得k²=2+√5或k²=2-√5(舍，因为k²≥0)。所以k=±√(2+√5)。故直线l的方程为y=±√(2+√5)(x-试卷答案第一题解：A={x|x²-3x+2≥0}={x|(x-1)(x-2)≥0}={x|x≤1或x≥严格来说，B={x|ax=1}={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B={x|ax=严格来说，B={1/a}(a≠0)。若B⊆A，则1/a≤严格来说，B=