2027届浙江省杭州市建兰中学数学九年级第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2027届浙江省杭州市建兰中学数学九年级第一学期期末教学质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知与相切于点，点在上.求证：.证明：连接并延长，交于点，连接．∵与相切于点，∴，∴．∵@是的直径，∴（直径所对的圆周角是90°），∴，∴◎.∵，∴▲（同弧所对的※相等），∴．下列选项中，回答正确的是（）A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表圆心角2．△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线 B．三条中线C．三条角平分线 D．三条高3．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A．q<16 B．q>16C．q≤4 D．q≥44．如图，将一边长AB为4的矩形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若EF＝2，则矩形的面积为（）A．32 B．28 C．30 D．365．方程x(x-1)＝2(x-1)2的解为（）A．1 B．2 C．1和2 D．1和-26．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”，小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（）A． B． C． D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是()A． B．3 C． D．28．在△中，=90°，=4，那么的长是（）．A．5 B．6 C．8 D．99．已知甲、乙两地相距100（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（t）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）．A． B． C． D．10．已知x=-1是方程2x2+ax-5=0的一个根，则a的值为（）A．-3 B．-4 C．3 D．711．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（）A．5% B．20% C．15% D．10%12．“割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）．A．1 B．3 C．3.1 D．3.14二、填空题（每题4分，共24分）13．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上，一条平行于x轴的直线截此抛物线于M、N两点，那么线段MN的长度随直线向上平移而变_____．（填“大”或“小”）14．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．15．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．16．若，则的值为_____．17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于点D，求图中阴影部分的面积为_____．18．已知x＝﹣1是方程x2﹣2mx﹣3＝0的一个根，则该方程的另一个根为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，直线经过点，与轴交于点，且，.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出关于的不等式的解集.20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC（1）求证：PA＝PC；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若BC＝8，，求DE的长．21．（8分）如图，抛物线的图象经过点，顶点的纵坐标为，与轴交于两点.（1）求抛物线的解析式.（2）连接为线段上一点，当时，求点的坐标.22．（10分）随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡的坡角为，水平线.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到，参考数据：，，)．23．（10分）如图，二次函数（其中）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线CD交二次函数图像于点D．（1）当m2时，求A、B两点的坐标；（2）过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，使得BAEDAB．求点E的坐标（用含m的式子表示）；（3）在第（2）问的条件下，二次函数的顶点为F，过点C、F作直线与x轴于点G，试求出GF、AD、AE的长度为三边长的三角形的面积（用含m的式子表示）．24．（10分）如图，矩形的对角线与相交于点．延长到点，使，连结．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，请直接写出平行四边形的周长．25．（12分）如图，某中学准备建一个面积为300m2的矩形花园，它的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是50m，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25米）26．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+1．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及余角的性质判定即可．【详解】解：由证明过程可知：A：@代表AE，故选项错误；B：由同角的余角相等可知：◎代表，故选项正确；C和D：由同弧所对的圆周角相等可得▲代表∠E，※代表圆周角，故选项错误；故选B.本题考查了切线的性质，圆周角定理，余角的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键．2、A【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，故选：A．本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.3、A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选A.4、A【分析】连接BD交EF于O，由折叠的性质可推出BD⊥EF，BO＝DO，然后证明△EDO≌△FBO，得到OE＝OF，设BC＝x，利用勾股定理求BO，再根据△BOF∽△BCD，列出比例式求出x，即可求矩形面积．【详解】解：连接BD交EF于O，如图所示：∵折叠纸片使点D与点B重合，折痕为EF，∴BD⊥EF，BO＝DO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠EDO=∠FBO在△EDO和△FBO中，∵∠EDO=∠FBO，DO=BO，∠EOD=∠FOB=90°∴△EDO≌△FBO（ASA）∴OE＝OF＝EF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠BCD＝90°，设BC＝x，BD＝＝，∴BO＝，∵∠BOF＝∠C＝90°，∠CBD＝∠OBF，∴△BOF∽△BCD，∴＝，即：＝，解得：x＝8，∴BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝4×8＝32，故选：A．本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．5、C【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】x（x-1）=2（x-1）2，x（x-1）-2（x-1）2=0，（x-1）（x-2x+2）=0，即（x-1）（-x+2）=0，∴x-1=0或-x+2=0，解得：x=1或x=2，故选：C．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．6、B【分析】画树状图得出所有情况数和遇到两次红灯的情况数，根据概率公式即可得答案．【详解】根据题意画树状图如下：共有8种等情况数，其中遇到两次红灯的有3种，则遇到两次红灯的概率是，故选：B．本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到遇两次红灯的情况数是解题关键．7、D【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可.【详解】设BC=x，则AB=3x，由勾股定理得，AC=，tanB===，故选D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．8、B【分析】根据余弦值等于邻边比斜边即可得到答案.【详解】在△中，=90°，=4，，∵,∴,∴AB=6，故选：B.此题考查三角函数，熟记余弦值的边的比的关系是解题的关键.9、C【分析】根据题意写出t与v的关系式判断即可.【详解】根据题意写出t与v的关系式为，故选C.本题是对反比例函数解析式和图像的考查，准确写出解析式并判断其图像是解决本题的关键.10、A【解析】把x=-1代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：把x=-1代入方程得：2-a-5=0，

解得：a=-1．

故选A．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．11、D【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，解这个方程即可求解．【详解】设定期一年的利率是x，根据题意得：一年时：5000（1+x），取出3000后剩：5000（1+x）﹣3000，同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），即方程为[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，解得：x1＝10%，x2＝﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．故选：D．此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和=本金×(1+利率×期数），难度一般．12、B【分析】先求出，进而得出，根据这个圆的内接正十二边形的面积为进行求解．【详解】∵是圆的内接正十二边形，∴，∵，∴，∴这个圆的内接正十二边形的面积为，故选B．本题考查正十二边形的面积计算，先求出是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、大【解析】因为二次函数的开口向上,所以点M,N向上平移时,距离对称轴的距离越大,即MN的长度随直线向上平移而变大,故答案为:大.14、3:2【解析】因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为:3:2.15、20°．【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．【详解】解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．故答案为：20°本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．16、．【解析】根据比例的合比性质变形得：【详解】∵，∴故答案为：.本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．17、1【分析】连接AD，由图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面积．【详解】解：连接AD，

∵AB＝BC＝2，∠A＝90°，∴∠C＝∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，∴BD＝AD＝，∴由BD，AD组成的两个弓形面积相等，∴阴影部分的面积就等于△ABD的面积，∴S△ABD＝AD•BD＝××＝1．故答案为：1．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．18、1【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：﹣x＝﹣1，∴x＝1，故答案为：1．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）y=-．y=x-1．（1）x＜2．【解析】分析：（1）根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.详解：（1）∵，点A（5，2），点B（2，3），

∴

又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，

∴点C的坐标为（2，-1），点D的坐标为（-1，3）．

∵点在反比例函数y=的图象上，

∴

∴反比例函数的表达式为

将A（5，2）、B（2，-1）代入y=kx+b，

，解得：∴一次函数的表达式为．

（1）将代入，整理得：

∵

∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．

观察图形，可知：当x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，

∴不等式＞kx+b的解集为x＜2．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．20、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1．【分析】（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出PA＝PC；（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PD是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，（2）证明：由（1）知：PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，∵，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝﹣a，a＝1，∴DE＝1．本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.21、（1）或；（2）【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）当△AOC∽△AEB时，===，求出yE=，即可求出点E坐标.【详解】解：（1）由题可列方程组：，解得：，∴抛物线解析式为：或；（2）由题，∠AOC=90°，AC=，AB=4，设直线AC的解析式为：y=kx+b，则，解得，∴直线AC的解析式为：y=-2x-2，

当△AOC∽△AEB时，===，∵S△AOC=1，∴S△AEB=，∴AB×|yE|=，AB=4，则yE=，则点E（，）.本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等．22、2.6米．【分析】根据锐角三角函数关系得出CF以及DF的长，进而得出DE的长即可得出答案．【详解】过点D作DE⊥AB于点E，延长CD交AB于点F．在△ACF中，∠ACF=90°，∠CAF=20°，AC=12，

∴，∴(m)，∴(m)，在△DFE中，，

又∵DE⊥AB，

∴，

∴，∴(m)，答:地下停车库坡道入口限制高度约为2.6m．本题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．23、（1），；（2）；（3）【分析】（1）求图象与x轴交点，即函数y值为零，解一元二次方程即可;（2）过作轴，过作轴，先求出D点坐标为，设E点为，即可列等式求m的值得E点坐标；（3）由直线的方程：，得G点坐标，再用m的表达式分别表达GF、AD、AE即可.【详解】（1）当时，，∵图象与x轴分别交于点A、B∴时，∴，（2）∵，轴∴过作轴，过作轴∵∴设E∴（3）以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形.理由如下：二次函数的顶点为F,则F的坐标为(−m,4)，过点F作FH⊥x轴于点H.∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴=，∵OC=3，HF=4，OH=m，∴，∴OG=3m.∴，∴∴、、能构成直角三角形面积是所以、、能构成直角三角形面积是此题考查二次函数综合题，解题关键在于掌握二次函数图象的问题转换.24、（1）见解析；（2）1．【分析】（1）因为，所以，利用一组对边平行且相等即可证明；（2）利用矩形