初中九年级数学《确定圆的条件》教学设计（北师大版九年级下册3.5导学案）

初中九年级数学《确定圆的条件》教学设计（北师大版九年级下册3.5导学案）一、教学设计的整体构想圆是初中平面几何的最后一座高峰，而"确定圆的条件"这一节，恰是登临这座高峰的索道起点。学生在七年级认识了圆的基本要素，在本章前三节中已经研究了圆的轴对称性、垂径定理、圆心角与圆周角，此刻摆在他们面前的是一个带有"存在性"与"唯一性"双重色彩的几何问题：要知道几个条件、什么样的条件，才能把圆唯一地确定下来。这节课上承作图技能与圆的定义，下启圆周角定理的推论、三角形外接圆与内心、圆内接四边形等一系列核心内容，是整个圆这一章的枢纽性课时。北师大版教材在这一节的编排上颇有深意：它从"经过一点""经过两点""经过三点"三个递进的作圆问题入手，让学生在动手尝试中发现"不共线的三点确定一个圆"这一结论，再顺势引出三角形外接圆与外心的概念。这种"由作图活动生成定理"的编排路径，与我从教二十余年来一直倡导的"让几何结论在学生的圆规尖下长出来"的理念高度契合。因此，本课的教学设计坚持以"作图试验—猜想归纳—推理论证—应用迁移"为主线，把定理的发现过程还给学生，把思维的生长过程留在课堂。本课面向北师大版九年级下册3.5节，课型定位为一节"导学案引领下的问题驱动探究课"，课时安排一课时（45分钟）。导学案在课前发至学生手中，承担"预学任务单、课堂探究单、达标检测单"三重功能；课堂上教师退居"问题设计者"与"思维助产士"的位置，让学生在问题的阶梯上逐级攀登。二、学情分析九年级学生已经具备较为扎实的几何基础：他们熟悉线段垂直平分线的性质与判定，掌握用尺规作线段的垂直平分线和角平分线，理解"两点确定一条直线"这一类"确定性"表述的数学含义，也积累了一定的分类讨论经验。这些是学习本课的直接起点。但困难同样显而易见。其一，学生对"存在性与唯一性"这类元数学问题缺乏体验，容易把"能画出圆"等同于"能确定圆"，忽视"数量"与"位置"两个维度；其二，反证法在本章刚刚露面，学生对"三点共线时无法作圆"的论证仍需教师搭建脚手架；其三，从"经过三点的圆"到"三角形的外接圆"，名称的切换背后是从"图形"到"图形关系"的视角转换，部分学生会在"圆的外接三角形"与"三角形的内接圆"之间产生混淆，这一混淆往往延续到后续学习。基于以上判断，本课把"作图活动中的充分体验"放在第一优先级，把"语言的精确建构"放在第二优先级，把"反证与分类的思想渗透"作为暗线贯穿始终。三、学习目标（一）经历"经过一点、两点、三点作圆"的探究过程，理解确定一个圆所需条件的几何意义，掌握"不在同一直线上的三个点确定一个圆"这一结论，能用文字语言、图形语言、符号语言三种方式表述。（二）能用尺规作出经过不共线三点的圆，理解作法的依据是线段垂直平分线的性质，初步体会"圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小"这一分类意识。（三）理解三角形外接圆、三角形外心、圆的内接三角形三个概念，知道锐角、直角、钝角三角形外心的位置特征（分别在三角形内部、斜边中点、外部），能解释其原因。（四）在探究"三点共线能否作圆"的过程中，初步感受反证思想；在解决实际情境问题（如复原残破圆形玻璃、确定考古现场圆形祭坛的圆心）中，体会数学模型的工具价值，发展几何直观、逻辑推理与数学建模素养。以上目标对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段"图形与几何"领域提出的要求：探索并证明与圆有关的基本事实，理解垂径定理及其推论所依托的圆的对称性，能利用圆的有关性质解决简单的实际问题，重点养成几何直观与推理能力的素养表现。四、教学重点与难点教学重点：不在同一直线上的三个点确定一个圆；三角形外接圆的概念及其作图。教学难点：对"确定"二字的理解（存在性与唯一性）；三点共线情形的推理论证；外心位置与三角形形状关系的解释。五、教学方法与课前准备教法上以问题驱动法、活动探究法为主，以启发讲授法为辅；学法上以自主作图、小组互查、班内展示为主。课前准备包括：导学案人手一份、圆规直尺铅笔、圆形纸片、多媒体课件（含残破圆镜复原的动画）、一枚从正中剪去约三分之一弧段的圆纸板模型，以及若干张标注了三个点、两条相交直线、一条直线的半透明操作卡。导学案在课前一天下发，包含三个预习问题：其一，射击运动员常说"准星、缺口、目标三点一线"，那么平面上三点能否决定一个圆？其二，过平面内一个点能作几条直线？过两个点呢？类比猜想：过平面内一个点能作几个圆？过两个点呢？其三，复习用尺规作线段垂直平分线的步骤，并思考垂直平分线上的点到线段两端距离有何关系。第三问是本课作图与论证的共同基石，预习时必须扎实。六、教学过程设计本课教学过程分为"情境唤醒—分级探究—归纳定理—范式作图—概念生成—性质思辨—应用迁移—小结测评"八个环节，预设用时45分钟。（一）情境唤醒：一块碎掉的圆形玻璃（约4分钟）上课伊始，教师出示那张残缺圆纸板模型，并以生活情境引入：家里一块圆形玻璃桌面不小心被碰碎，只保留下来不到一半的一块碎片，形状接近一段圆弧。爸爸说要照着原样去玻璃店配一块，玻璃师傅却说"只要碎片上还留有一小段圆弧，我就能复原出整块圆的大小"。教师设问：玻璃师傅的底气从何而来？如果让你拿着这块碎片去复原整圆，你需要确定圆的什么要素？请学生独立思考一分钟，再与同桌交流。学生的第一反应通常是"先找到圆心，再量出半径"。教师追问：圆心在哪里？它藏在碎片之外，既不标注也无痕迹，凭什么把它找出来？由此揭示本课的核心课题——确定圆的条件。这一情境承担着双重使命：其一，制造认知冲突，"是的，只要一段弧就能复原整圆"与学生的直觉之间形成张力；其二，埋下伏笔，情境问题的完整解答必须留到课的末尾，形成首尾呼应。（二）分级探究之一：经过一个点的圆（约3分钟）课件呈现问题1：平面上有一已知点A，能作多少个圆，使圆经过点A？学生动手操作后几乎立即得出结论：无数个。教师请两位学生在白板的实物投影下演示：把圆规尖放在任意位置，以该点到A的距离为半径作圆即可。教师板书要点：经过一个点，圆心可以在平面内任意位置（不能是点A本身），半径随之而定，所以圆的位置与大小都不确定。追问：在这无数个圆中，最小的圆半径可以有多小？最大的呢？学生在追问中体会"连续性"——半径可以任意小、任意大。教师顺势点出本课的一个分析框架：一个圆由圆心（位置）和半径（大小）两方面确定；研究"确定圆的条件"，就是看给定的条件能把圆心和半径约束到什么程度。这一框架是整节课的方法论骨架，后续每一次探究都要回到"圆心被约束了吗？约束到什么程度了？"这两个问题上。（三）分级探究之二：经过两个点的圆（约6分钟）课件呈现问题2：平面上有已知点A、B（A≠B），能作多少个圆，使圆同时经过A、B？学生分组动手。多数小组很快发现：圆心不能随便放了，但只要把圆心取在线段AB的垂直平分线上任意一点，以该点到A的距离为半径，所作的圆就同时经过A、B。垂直平分线上有无数个点，所以这样的圆仍有无数个。此处的关键追问是"为什么圆心必须落在AB的垂直平分线上"。引导学生从反方向论证：因为圆经过A、B两点，所以OA=OB=r，即圆心O到线段AB两端的距离相等；根据线段垂直平分线性质的逆命题，到线段两端距离相等的点必在线段的垂直平分线上，所以O必在AB的垂直平分线上。一来一往，性质与判定两个方向都被激活。教师板书第二个结论：经过两点的圆有无数个，但圆心被"约束"到了AB的垂直平分线上；若再给定半径（不小于AB的一半），圆的个数可确定。此处插问一句：若要求半径恰好等于AB，圆心有几种取法？学生发现此时垂直平分线上有两点到A的距离等于AB，对应的圆有两个，这是一种特殊的对称性体验，教师点到为止。接着在探究单上安排一个一分钟快思：若想用它来解释生活中"用一根绳子和两根钉子在地上画椭圆"的画法与本问题有何不同？少数思维活跃的学生会指出椭圆画法是"到两定点距离之和为定值"，本问题是"到两点距离相等"。这个对比一闪而过，作用是防止概念泛化，让"到两点距离相等"这一量关系精准落位。（四）分级探究之三：经过三个点的圆（约10分钟）这是本课的高潮环节。课件呈现问题3：平面上有不在同一条直线上的三个点A、B、C，能作多少个圆，使圆同时经过A、B、C？先作预测投票：圆规支在这里，猜一猜答案是"无数个""恰好一个"还是"一个也没有"。预测之后再动手。学生画出三点，连AB、BC，分别作这两条线段的垂直平分线，两线相交于一点O，以O为圆心、OA为半径作圆，圆恰好同时穿过A、B、C三点。论证链条由师生共同完成，教师引导学生自己说出每一步的理由：圆经过A、B，所以圆心O在AB的垂直平分线上；圆又经过B、C，所以圆心O也在BC的垂直平分线上；两条垂直平分线不平行（因为AB与BC不平行，三点不共线保证了这一点），它们必有且仅有一个交点O；OA=OB（O在AB的垂直平分线上），OB=OC（O在BC的垂直平分线上），故OA=OB=OC，以O为圆心、OA为半径的圆经过A、B、C三点，且这样的圆只能有一个。至此，定理的完整论证已经诞生。教师再安排一个"反向检验"：如果A、B、C三点在同一条直线上呢？学生尝试后发现AB的垂直平分线与BC的垂直平分线是两条互相平行的直线（亦可同向垂直于同一直线，故平行），永不相交，圆心无立足之地，能经过三点的圆一个也画不出来。这个"反面证据"强化了定理中"不在同一直线上"这七个字的分量，也给了学生一次朴素的反证体验——假设这样的圆存在，圆心就要同时落在两条平行线上，矛盾。师生共同提炼定理，用三种语言表述：文字语言：不在同一直线上的三个点确定一个圆。图形语言：三个不共线的点，两条垂直平分线的交点是圆心，交点到任一点的距离是半径。符号语言：若OA=OB且OC=OB严格地源于O为AB、BC垂直平分线的交点，则⊙O经过A、B、C，且唯一。教师提醒学生对比"两点确定一条直线"：直线由两点定，圆由不共线的三点定；一个"两"一个"三"，一个"任意"一个"不共线"，两句话放在一起读，几何中"确定性"问题的味道就出来了。（五）范式作图与操作规范（约5分钟）学生按探究单上的规范步骤独立完成一次完整作图：已知△ABC（取一个钝角三角形，顶点处标字母），作出经过A、B、C三点的圆。步骤：作AB的垂直平分线m；作BC的垂直平分线n；m与n交于O；以O为圆心、OA为半径作圆。教师巡视，重点纠正两处常见错误：其一，垂直平分线只画了一小段就把圆规尖放上去了，导致交点没找准；其二，取错了半径，用OC还是OA去作图与想象力无关却是规范教育的载体——规范表现本身就是推理素养的组成部分。（六）概念生成：外接圆、外心与内接三角形（约5分钟）教师指出：像这样，经过三角形三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆；这个圆的圆心叫作三角形的外心；反过来，这个三角形叫作这个圆的内接三角形。三个概念成组出现、相互定义，教师用一张对照图钉在白板最右侧，提醒学生："内接"是"顶点落在圆上"，"外接"是"圆在三角形外面包一圈"，每组中圆与三角形的位置关系互为镜像。接着安排一个思辨活动：分别作一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，各画其外接圆，观察外心的位置并作猜想。学生在动手与观察中得出：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点（斜边恰为外接圆直径）；钝角三角形的外心在三角形外部。对直角情形的解释，教师提示学生回忆前文"直径所对的圆周角是直角"的逆命题可以直觉理解为直角在圆上对应的弦是直径，斜边即直径，中点即圆心。锐角与钝角情形的原因当前只需借助圆周角与圆心角关系作直观说明，严格证明留待后续课时，教师明确说明"这一结论我们作图验证并接受，证明将在学完圆周角定理后可补"，这是知识边界的诚实交代，也是教学中"留白"的自觉。（七）应用迁移（约7分钟）应用一（情境回扣）：回到开场问题。残破玻璃上有一段弧，怎样复原整块圆？学生小组讨论方案：在残留的弧上任取三点（不在同一直线上），作其中两两连线的垂直平分线，交点即为圆心，量出半径即可复原。若玻璃是被整齐地敲去一角而留下整段圆周，则此方案完全可行。教师用课件动画演示复原过程，学生亲眼看到"圆心被三条弦的垂直平分线找回来"。应用二（作图与说理）：考古队在一处遗址发现了一段圆形祭坛的石基弧段，要在地面复原整个圆并确定祭坛中心，请给出作图步骤并说明理由。学生写出：任取弧上三点A、B、C；连接AB、BC；作AB、BC的垂直平分线，交于O；O即祭坛中心，OA为祭坛半径。理由是线段垂直平分线性质与"不在同一直线上的三个点确定一个圆"。应用三（辨析题）：下列说法对吗？（1）经过两点的圆只有一个；（2）任意三个点确定一个圆；（3）一个三角形只有一个外接圆；（4）一个圆只有一个内接三角形。学生逐一辨析并说明错误之处：（1）（2）（4）均错，（3）对。其中（4）的辨析尤其宝贵：一个圆可以内接无数个三角形，学生由此体会"确定关系"的方向性——三个不共线的点确定唯一的圆，一个圆却"不确定"任何一个三角形，这种不对称性恰好是数学严密性的极佳素材。（八）小结与达标检测（约5分钟）课堂小结采用"三个一"结构由学生口述：一条主线——由一个点到两个点再到三个点的作圆探究；一个定理——不在同一直线上的三个点确定一个圆；一组概念——外接圆、外心、内接三角形。教师补充两个提醒：其一，"确定"包含"存在且唯一"两层含义，论点证一个，反例驳一个；其二，所有结论的立足点都是线段垂直平分线的性质。达标检测四小题印在导学案检测单上，当堂完成、同桌互批：1.一点能作＿＿个圆，两点能作＿＿个圆，不在同一直线上的三点能作＿＿个圆。2.已知线段AB的长为6cm，作经过A、B两点且半径为5cm的圆，这样的圆有＿＿个。3.△ABC中，∠A=90°，BC=10，则△ABC外接圆的半径为＿＿。4.在一块残缺的圆形铁片上有一段弧，请写出确定该铁片原半径的作图方法（文字表述即可）。参考答案：1.无数、无数、一；2.2；3.5；4.在弧上任取不共线的三点，作两条弦的垂直平分线，交点为圆心，量出圆心到任意一点的距离即半径。七、板书设计主板书呈"拱形"结构：上行居中书写课题"3.5确定圆的条件"；其下三个台阶从左到右依次为"经过一点→无数个（圆心任意）""经过两点→无数个（圆心在AB的垂直平分线上）""经过不共线的三点→唯一一个（两垂直平分线交