专题07 带电粒子在复合场中的运动 2020-2026年高考物理真题分类汇编（山东）（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题07带电粒子在复合场的运动7年真题1年模拟考点分类山东考情（2020-2026）命题规律考点01组合场2026山东卷2025山东卷2024山东卷2023山东卷情境：多以平面坐标系下的分区域场模型为载体，常结合挡板、粒子发生器、速度选择器等装置，设置多阶段运动过程。考点：类平抛运动规律、圆周运动向心力公式、洛伦兹力/电场力的受力分析、几何轨迹与边界约束条件。题型：客观题以多选为主，主观题多为3小问的计算题，占14-16分，是每年必考的核心题型。综合：侧重考查多过程拆分能力，需结合几何关系联立方程，对逻辑推导和数学运算能力要求较高，近7年考查频次为100%。考点02叠加场2022山东卷2021山东卷2020山东卷情境：常结合科技应用场景，部分题目引入三维坐标系、动态阻力、多区域交替场等创新模型。考点：匀速圆周运动/直线运动的受力平衡条件、配速法处理复杂运动、动量定理在变力过程中的应用。题型：以计算大题为主，少量多选，题干信息量大，常设置4小问梯度设问，难度较高。综合：强调知识迁移能力，常结合新情境考查核心规律的灵活应用，部分题目需运用微元法、归纳法等特殊解题技巧，区分度明显。考点01组合场1．（2025·山东·高考真题）如图甲所示的平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（）A．区域I内电场强度大小，方向沿y轴正方向B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径C．区域Ⅱ内磁感应强度大小，方向垂直平面向外D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标【答案】AD【详解】A．粒子在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，可以判断出粒子做类平抛运动，根据曲线轨迹可知，可知正粒子受到的电场力方向竖直向上，电场方向沿y轴正方向，设粒子初速度为竖直方向有水平方向有由牛顿第二定律有联立解得A正确；B．粒子在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，可以判断粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，则粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径B错误；C．粒子做类平抛运动进入匀强磁场时的速度联立解得根据洛伦兹力提供向心力有解得C错误；D．如图所示，设圆心为点，设粒子进入匀强磁场时的速度方向与竖直方向夹角为由速度关系有可得由几何关系得那么有粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标，D正确。故选AD。2．（2026·山东·高考真题）在xOy坐标系中，第二象限有一粒子发生器，其右侧放置速度选择器，速度选择器中电场强度大小为E，方向沿y轴负方向，匀强磁场方向垂直xOy面向里；y=－x(x≤0)与y轴正半轴所围区域I中充满垂直xOy面向外的匀强磁场；x轴下方为区域II、第一象限为区域III，两区域均充满方向垂直xOy面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为5B和12B。质量为m，电荷量为q的粒子a经速度选择器后以速率v从点(－h，h)沿x轴正方向进入区域I，一段时间后恰好从原点O沿y轴负方向进入区域II。不计粒子重力及粒子间相互作用。(1)求速度选择器中磁感应强度大小B0和区域I中磁感应强度大小B1；(2)求粒子a从O点运动到P点的时间t；(3)当粒子a从点离开区域II进入区域III时，和a电荷量相同的粒子b恰好从O点以速率v沿y轴负方向进入区域II，若粒子a、b在x轴相遇且相遇时速度都沿y轴正方向，求粒子b的质量M及第一次相遇时的x轴坐标x1。【答案】(1)(2)(3)，【详解】（1）粒子在速度选择器中做直线运动，有qE=qv粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由几何关系得轨迹半径，根据qvB解得 （2）根据可知，粒子在区域Ⅱ、Ⅲ中的轨迹半径分别为画出粒子运动轨迹图可知从O点进入区域Ⅱ，经半圆到达再根据，可知O到A运动时间从A点进入区域Ⅲ，经半圆到达，时间从B点再次进入区域Ⅱ，经半圆到达，时间则总时间（3）画出粒子a、b的运动轨迹如图区域Ⅱ：a粒子半径b粒子半径a粒子半周期b粒子半周期区域Ⅲ：a粒子半径b粒子半径a粒子半周期b粒子半周期粒子每完成一次“区域Ⅱ下半圆＋区域Ⅲ上半圆”的运动，x坐标的净变化Δ同理Δ所花时间同理取粒子a从O点沿y轴负方向进入区域Ⅱ的时刻为t=0，粒子a第1次速度向上点：在区域Ⅱ中走下半圆到达x轴坐标时间此后每经过一次区域Ⅲ上半圆和一次区域Ⅱ下半圆，到达下一个速度向上点。设第n次速度向上点n=1，2，3，…，则粒子b在a到达第一次向上点a（即）时，从O点以同样速率沿y轴负方向进入区域Ⅱ。B的起始时刻为粒子b第1次速度向上点（绝对时刻）：b先在区域Ⅱ走下半圆坐标时刻同理，第k次速度向上点k=1，2，3，…由相遇条件、得，两式相除消去M得，最小正整数解为k=5，n=9代入得，3．（2024·山东·高考真题）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场（图中未画出）。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0；（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；（3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。【答案】（1）；（2），方向沿x轴正方向；（3）(n=0,1,2⋅⋅⋅)【详解】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图所示根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为在区域根据洛伦兹力提供向心力有在匀强加速电场中由动能定理有联立解得（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图所示根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为在区域根据洛伦兹力提供向心力有粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向，则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向，粒子带正电，则之外第一象限区域电场强度的方向沿x轴正方向，大小满足联立可得电场方向沿轴正方向。（3）当加速电压为时，在匀强加速电场中由动能定理有可得在区域由洛伦兹力提供向心力有可得粒子在区域运动的轨迹半径作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图所示设粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向夹角为，根据几何关系可知则粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向的夹角为，由配速法，将速度分解为沿轴正方向的和另一个待定速度,使得满足，则此时，则方向正好沿着轴正方向，则设则粒子从射出后的运动可分解为沿轴正方向的速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知解得粒子做圆周运动的周期为，粒子至少运动距离轴最近，加上整周期则粒子运动，时距离轴最近，则最近位置的横坐标为纵坐标为，综上所述，最近的位置坐标，。4．（2023·山东·高考真题）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。

【答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有粒子在磁场中做匀速圆周运动，有粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图

根据几何关系可知联立可得（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图

在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知解得所以有，洛伦兹力提供向心力带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有沿y方向上有其中根据牛顿第二定律有联立以上各式解得，，（ii）粒子从P到Q根据动能定理有可得从Q射出时的速度为此时粒子在磁场中的半径

根据其几何关系可知对应的圆心坐标为，，，得，而圆心与P的距离为故不会再从P点进入电场。考点02叠加场1．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）【详解】（1）如图所示将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有，联立解得（2）离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示由洛伦兹力提供向心力可得，可得为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足，联立可得要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为离子在磁场II中的轨迹半径为离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示离子第四次穿过平面的坐标为离子第四次穿过平面的坐标为故离子第四次穿过平面的位置坐标为（d，d，）。（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得可得离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为，离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为，根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示从点进入磁场到第一个交点的过程，有，可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为2．（2021·山东·高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于点，右边界与x轴垂直交于点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到的距离S。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得①根据几何关系得②联立①②式得（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为，加速度大小为a，由牛顿第二定律得由运动的合成与分解得，，联立得（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y轴的方向做线速度大小为vcosθ的匀速圆周运动，如图所示。设左侧部分的圆心角为，圆周运动半径为，运动轨迹长度为，由几何关系得，由于在y轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故有，C到的距离联立得3．（2020·山东·高考真题）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；（2）求粒子打到记录板上位置的x坐标；（3）求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）；（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3，若这三个点是质子、氚核、氦核的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。【答案】（1），；（2）；（3）；（4）s1、s2、s3分别对应氚核、氦核、质子的位置【详解】（1）设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域I中，做匀速圆周运动对应圆心角为α，在M、N两金属板间，由动能定理得在区域I中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得联立解得根据题意，画出运动轨迹如图所示由几何关系得，，联立解得（2）设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得，粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得联立解得（3）设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得由题意得联立解得（4）s1、s2、s3分别对应氚核、氦核、质子的位置。1．（2026·山东潍坊·二模）(多选)如图所示，一根长为l的轻杆，一端连接质量为m、电荷量为的小球，另一端可绕O点在竖直面内自由转动，空间中存在竖直向下的匀强电场。在最低点A给静止小球一个水平向右的初速度，当小球运动到与O点等高的B点时，杆上的弹力恰为0，已知重力加速度大小为g，不考虑空气阻力，下列说法正确的是（）A．电场强度的大小为B．电场强度的大小为C．小球刚获得初速度时，轻杆上弹力大小为D．若初速度变为，则小球可以做完整的圆周运动【答案】BD【详解】AB．小球在B点时，杆弹力为0，根据牛顿第二定律，可得对A到B过程应用动能定理整理得，A错误，B正确；C．在A点时，根据牛顿第二定律解得，C错误；D．轻杆模型完成完整圆周运动的条件是：能到达最高点（O正上方），即最高点速度即可。对A到最高点过程用动能定理​整理得，说明小球可以到达最高点，完成完整圆周运动，D正确。故选BD。2．（2026·山东聊城·二模）(多选)如图所示，第一象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第二象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场及沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从x轴上的A点以初速度垂直于x轴射入电场，经y轴上的P点进入第二象限，随后垂直x轴从M点（图中未标出）进入第三象限。已知第二、三象限内磁感应强度B的大小相等，A点的横坐标为，P点的纵坐标为L，不计粒子重力。下列说法正确的是（）A．电场强度E的大小为B．第二、三象限内磁感应强度的大小为C．粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离为D．粒子第一次在第三象限中运动到与x轴最远时与y轴的距离为【答案】BC【详解】A．粒子在第一象限电场中做类平抛运动，设运动时间为，方向有方向有联立解得，故A错误；B．设粒子离开电场时，速度大小为，方向与轴正方向夹角为，由几何关系得解得则有设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得得综合解得，故B正确；C．如图所示粒子进入第三象限时的速度大小为方向竖直向下，可在水平方向上配上水平向左的速度和水平向右的速度，使满足可得又与的合速度大小为与轴方向的夹角为；所以粒子进入第三象限后以做匀速圆周运动的同时以向左做匀速直线运动。设粒子做匀速圆周运动的半径为，由牛顿第二定律得解得粒子第一次在第三象限运动过程中与x轴的最远距离为，故C正确；D．粒子第一次在第三象限中做匀速圆周运动的周期粒子第一次在第三象限中运动到与x轴最远时在第三象限中转过的圆心角粒子第一次在第三象限中运动到与x轴最远时在第三象限中运动时间为，则粒子第一次在第三象限中运动到与x轴最远时与y轴的距离为故D错误。故选BC。3．（2026·山东淄博·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从M点以初速度沿轴正方向发射，经电场偏转后从N点进入第Ⅲ象限，偏转后第一次离开磁场从坐标原点O射出，进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。(1)求匀强电场的电场强度大小及第Ⅲ象限匀强磁场的磁感应强度大小；(2)粒子从点进入第Ⅰ象限，第Ⅰ象限内适当区域有一垂直纸面向外的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转，离开磁场后继续运动从点进入第Ⅳ象限，速度方向与轴正方向成。求该圆形磁场区域的最小面积S及该粒子在第Ⅰ象限中做圆周运动的圆心的坐标；(3)粒子从点进入第Ⅳ象限，第Ⅳ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子进入该区域后，除受洛伦兹力外还受一方向始终与粒子速度方向相反的阻力，其大小与粒子速率成正比，粒子做半径减小的螺旋运动，其运动轨迹恰好与轴相切于点（未画出），且粒子始终在第Ⅳ象限运动。求粒子从点到点的运动时间。【答案】(1)，(2)，(3)【详解】（1）带电粒子在静电场中做类平抛运动，水平方向上有竖直方向上，受到静电力的作用根据运动学公式，有联立可解得竖直方向分速度为所以粒子从N点进入磁场时的速度速度方向与x轴正方向成60°。进入第III象限的磁场后粒子做匀速圆周运动，设运动半径为，有根据几何关系可知解得所以（2）粒子进入第I象限的磁场后做圆周运动的半径为，有解得根据题干可知，穿出第I象限的磁场时粒子的速度方向与进入磁场时的速度方向相比，偏转了90°，设粒子进入圆形磁场的位置为A，穿出磁场时的位置为B，有粒子运动的轨迹半径对应的圆心为，如图所示弧线在圆形磁场中，所以圆形磁场面积最小时，应有所以圆形磁场的最小面积为根据角度和几何关系，可知四边形是边长为L的正方形，所以A点的坐标为对应可求出点的横坐标为纵坐标为所以点的坐标为（3）粒子从P点进入第IV象限后，受到洛伦兹力与阻力的共同作用，其中在阻力的作用下速度大小逐渐减小。洛伦兹力方向一直垂直速度方向，充当向心力，有根据公式可知虽然速度减小，但运动的角速度是不变的，有当粒子运动到与x轴相切时，角度转过了330°，所以4．（2026·山东临沂·一模）某科研小组将威尔逊云室置于如图所示的匀强电场和匀强磁场中，用来显示带电粒子的运动径迹，进而研究带电粒子的性质。平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴上有M、N、P三点，三点的横坐标满足，。在区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场；在区域内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一未知粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成角射入（速度大小未知），在点以速度垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，。(1)求该粒子的比荷；(2)求匀强电场的电场强度E的大小及N、P两点之间的距离lNP。(3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出）。求粒子由C点运动到D点的时间t，以及D点的纵坐标。【答案】(1)(2)，(3)，【详解】（1）由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且运动半径为r=d洛伦兹力提供向心力，则可得（2）粒子在电场中做一个反向的平抛运动，则，解得由位移关系可得可得则（3）由于阻力作用，粒子速度减小，故半径也减小，但是粒子运动的周期与速度无关，由可得所以又由粒子的运动轨迹可知则粒子由C运动到D的时间为设某时刻粒子的速度大小为v，方向如图所示，将速度分解为粒子到达D点时把和f=kv作正交分解，则在x方向有选择的微元过程，即上式两边同时乘以，并有；对C点到D点全过程累加求和，且有则解得5．（2026·山东德州·二模）如图所示，xOy平面直角坐标系中第一象限存在垂直于纸面向外的匀强磁场（未画出），第二象限存在沿x轴正方向的匀强电场，其电场强度（v为已知量，下同）。第四象限交替分布着沿方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度均为，磁感应强度大小均为。一质量为m、电量为+q的粒子从点以平行于y轴的初速度（大小未知）进入第二象限，恰好从点进入第一象限，然后又垂直x轴进入第四象限，多次经过电场和磁场后轨迹恰好与某磁场下边界相切。不计粒子重力，求：(1)粒子的初速度的大小；(2)第一象限磁场的磁感应强度的大小；(3)粒子在第四象限中能到达距x轴的最远距离d。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）粒子在第二象限的电场中做类平抛运动，水平方向粒子做初速度为0的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可知，粒子的加速度满足解得水平方向粒子的位移为，满足解得竖直方向，粒子做匀速直线运动，满足解得（2）粒子进入第一象限时的速度速度方向与轴正方向夹角为，然后又垂直x轴进入第四象限，可知粒子在第一象限内转过的圆心角为由几何关系可知，粒子在第一象限内做圆周运动的半径为洛伦兹力充当向心力，满足解得（3）设粒子离x轴最远时处于第n个磁场中，且粒子速度与x轴方向平行，此前粒子已经过个电场，设此时粒子速度大小为，由动能定理有粒子经过n个磁场，在水平方向上由动量定理有假设粒子恰好不从第n个磁场飞出，则有即联立解得故假设成立，粒子恰好能达到第5个磁场的下边界，粒子离x轴最远的距离解得6．（2026·山东潍坊·二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、四象限内存在圆形匀强磁场区域Ⅰ和匀强电场、匀强磁场的叠加区域Ⅱ。区域Ⅰ的圆心坐标为、半径为R，磁感应强度大小未知，方向垂直x