《初中数学期中压轴易错题22大专题》8下(苏科)

期中易错题压轴题专项复习【22大题型】（考试范围：第7~9章）【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 1【考点1普查与抽样调查】 1【考点2统计图的选用】 2【考点3频数与频率】 5【考点4频数分布表】 6【考点5频数分布直方图】 7【考点6确定事件与随机事件】 9【考点7可能性的大小】 9【考点8频率与概率】 10【考点9图形的旋转】 11【考点10中心对称与中心对称图形】 12【考点11与平行四边形有关的证明与计算】 13【考点12与矩形有关的证明与计算】 14【考点13与菱形有关的证明与计算】 16【考点14与正方形有关的证明与计算】 17【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】 18【压轴篇】 20【考点16几何动点问题】 20【考点17几何最值问题】 22【考点18几何探究问题】 24【考点19多结论类问题】 26【考点20新定义类问题】 27【考点21规律类问题】 29【考点22阅读理解类问题】 31【易错篇】【考点1普查与抽样调查】【例1】（24-25八年级·山西晋中·期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（

）A．为了解我国七年级学生的视力情况，采用普查的方式B．为了解一批笔芯的使用寿命，采用普查的方式C．为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式D．为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客进行抽样调查【变式1-1】（24-25八年级·广东汕头·期末）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出60人，发现有40人是符合条件的，则该工厂1200人中符合选拔条件的人数大约为人．【变式1-2】（24-25八年级·江苏盐城·期末）某县为了了解当地2024年参加中考的6700名学生的身高情况，抽查了其中300名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（

）A．6700名学生是总体B．从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本C．每名学生是总体的一个个体D．以上调查是全面调查【变式1-3】（24-25八年级·山东青岛·期末）蛟龙去，灵蛇来．乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意吉祥如意，象征中华文化中绵延不断、生生不息的精神内核．小红想调查她所在学校学生对“巳”字寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（

）A．随机抽取该校一个班级的学生B．随机抽取该校一个年级的学生C．随机抽取该校一部分女生D．分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%【考点2统计图的选用】【例2】（24-25八年级·湖南衡阳·期末）中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某小区若干名中学生家长对这种现象的态度（A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成：D．反对），并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题．(1)此次调查中，共调查了______名中学生家长；(2)扇形统计图中，表示A类扇形圆心角的度数为______；(3)先求出选择C类的人数，再将折线统计图补充完整．【变式2-1】（24-25八年级·山东威海·期末）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小长方形的高度按照从高到低的顺序排列），条形统计图被撕了一部分．若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是（

）A．蓝 B．粉 C．黄 D．红【变式2-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）某校组织开展了丰富多彩的主题活动，设置了“A．诗歌朗诵表演；B．歌舞表演；C．书画作品展览；D．手工作品展览”四个专项，每个学生只能报名参加其中一个专项．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)本次随机调查的学生人数是__________人．(2)请你补全条形统计图．(3)求扇形统计图中“B歌舞表演”所对的圆心角的度数．【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）第十届“深圳马拉松”（简称为“深马”）于2024年12月1日鸣枪开跑．从第三届“深马”开始，赛事报名都需经过“预报名”和“随机抽签”两个流程，中签者获得正式参赛资格．小马为研究“深马”十届以来的规模变化，收集了相关数据进行了如下统计（注：第八届“深马”未公布报名情况）：图1：各省报名人数的占比图2：历届报名与中签人数统计表届数全程马拉松预报名人数中签人数总人数总人数男子女子313297//5600415538//8700515539//10800627179//900073550125621988090008未公布95444843275111732000010105367837112165620000请根据以上信息回答下列问题：(1)在参赛者的个人信息中，性别属于__________数据（填“定性”或“定量”）；(2)在扇形统计图中，“广东省”对应的圆心角度数为__________；(3)小马发现，虽然深圳马拉松的预报名人数在逐年上升，中签率却在上下波动．请结合材料，预测第十一届深圳马拉松比赛的中签率会如何变化，并说明理由．【考点3频数与频率】【例3】（24-25八年级·湖南衡阳·期末）在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了24次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（

）A．24，52% B．24，48% C．26，52%【变式3-1】（24-25八年级·江苏盐城·期末）已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、四、五组数据的个数分别为2，8，20，5，则第三组的频率为．【变式3-2】（24-25八年级·吉林长春·期末）数学老师布置了10道选择题作为课堂练习，榕榕将全班同学的答题情况绘制成了如图所示的条形统计图，那么答对8道题的频率为（

）A．20 B．10 C．0.2 D．0.4【变式3-3】（24-25八年级·福建三明·期末）某班50名学生右眼视力的检查结果如下表．视力0.10.20.40.50.60.70.81.01.21.5人数11544566108视力在1.0以上（包括1.0）的为正常，则右眼视力正常的人数占全班人数的%．【考点4频数分布表】【例4】（24-25八年级·福建泉州·期末）某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下：距离x（cm）128≤x<148148≤x<168168≤x<188188≤x<208208≤x<228频数16751根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于188cm的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为【变式4-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是．第一组第二组第三组频数410a频率bc30%【变式4-2】（24-25八年级·福建厦门·期末）菲尔兹奖是数学界最高荣誉，仅授予做出卓越贡献且不超过40周岁的青年数学家，下面数据是截至2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄，使用频数分布直方图对上述数据进行描述，如果取组距为5，则组数为．28393533392933353131373238363139323837342934383235363329323536373938383837393834334036363740314038373537354039373040343636394040【变式4-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）在一次抽样调查中收集了一些数据，对数据进行分组，绘制了下面的频数分布表：分组

49.5∼59.5

59.5∼69.5

69.5∼79.5

78.5∼89.5

89.5∼99.5频数

9

15

16

12（1）已知最后一组(89.5∼99.5)出现的频率为15%，则这一次抽样调查的容量是．（2）第三小组(69.5∼79.5)的频数是，频率是．【考点5频数分布直方图】【例5】（24-25八年级·浙江台州·期末）某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的60名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为5组，A：50≤x<60，B：60≤x<70，C：70≤x<80，D：80≤x<90，E：90≤x≤100．(1)请补全频数分布直方图；(2)本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比；(3)为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为m<x≤100的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，D组的11名学生的成绩依次为：80，80，82，82，83，83，85，86，87，88，89．若要将占总人数15%的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的m【变式5-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期末）为了解某校七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，七年级学生参加社会实践活动的时间不少于12h的占比为．【变式5-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）为了考察某种大变穗长的分布情况，在一块试验田里随机抽取了100根麦穗，量得它们长度的最大值为7.4cm，最小值为4.0cm．在绘制频数直方图时若以0.3cm为组距，则应分成【变式5-3】（24-25八年级·陕西渭南·期末）某校进行了“交通法规要牢记，路过街市别大意”交通安全知识竞赛，为了解本校学生对交通安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生的成绩x（单位：分），并将他们的成绩整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．安全知识竞赛成绩频数分布表成绩x频数所占百分比50≤x<604860≤x<7081670≤x<80a2080≤x<90163290≤x≤10012b根据以上信息解答下列问题：(1)本次调查的学生人数为______，上表中的a=______，b=______；(2)补全频数分布直方图；(3)若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“90≤x≤100”的部分所对应的扇形圆心角的度数．【考点6确定事件与随机事件】【例6】（24-25八年级·河北邯郸·期末）事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：掷一枚骰子2次，向上一面的点数和是13，下列说法中，正确的是（

）A．事件1、事件2均为随机事件B．事件1、事件2均为不可能事件C．事件1是随机事件，事件2是不可能事件D．事件1是不可能事件，事件2是随机事件【变式6-1】（24-25八年级·江苏常州·期中）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（

）A．百步穿杨 B．缘木求鱼 C．旭日东升 D．拔苗助长【变式6-2】（24-25八年级·河北张家口·期中）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）【变式6-3】（24-25八年级·北京·期中）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（

）A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球【考点7可能性的大小】【例7】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向色区域的可能性最小（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．【变式7-1】（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（

）A．1 B．4 C．5 D．7【变式7-2】（24-25八年级·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于．【变式7-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期中）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为400cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为【考点8频率与概率】【例8】（24-25八年级·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示：抛掷次数m10002000300040005000“正面向上”的次数n5121034155820832598“正面向上”的频率（nm0.5120.5170.5190.5210.520①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【变式8-1】（2024·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则nm的值（

A．一定是12 B．一定不是C．随着m的增大，越来越接近12 D．随着m的增大，在1【变式8-2】（24-25八年级·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有a个红球和b个黄球，每个球除了颜色外都相同．若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是．【变式8-3】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）某商家举行有奖销售活动，抽奖活动设置了翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下图所示．若只能在9个数字中选择1个数字翻奖牌，请解决下列问题：(1)以下奖品中，得到的可能性最小的是_______（填选项）；A．平板

B．手机

C．球拍

D．水壶(2)请你设计下图的翻奖牌背面剩余的奖品，奖品包含手机、球拍、水壶，使得抽到水壶的可能性>抽到球拍的可能性>抽到手机的可能性．【考点9图形的旋转】【例9】（24-25八年级·辽宁·期末）如图，Rt△COB的斜边在y轴正半轴上，OC=2,∠BOC=30°，直角顶点C在第二象限，将Rt△COB绕原点顺时针旋转90°后得到Rt△C1OB【变式9-1】（24-25八年级·四川成都·开学考试）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中A,B,C,D四个点中是其旋转中心的点是．【变式9-2】（24-25八年级·江西南昌·阶段练习）请按以下要求用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）：(1)如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B(2)如图2，设△EFG绕点Q逆时针旋转得△EFG′，画出点【变式9-3】（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°后得到AE，连接DE，那么线段DE的长为（

）A．23 B．6 C．33 【考点10中心对称与中心对称图形】【例10】（24-25八年级·重庆合川·期末）如图，已知△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，且∠C=90°，∠B=30°，AC=2，则【变式10-1】（24-25八年级·四川成都·期中）已知点Aa,−3与点B4,b关于原点对称，则a+b2024【变式10-2】（24-25八年级·安徽芜湖·期中）如图，这是4×4的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【变式10-3】（24-25八年级·宁夏吴忠·期末）在下面的正方形网格图中，Rt△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB(2)若点B的坐标为−4,4，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；(3)根据（2）中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C【考点11与平行四边形有关的证明与计算】【例11】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（

）A．AO=OC，OB=OD B．∠ABC=∠ADC，ADC．AB=DC，AD∥BC D．AB=DC【变式11-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）如图1，AB∥CD，P为AC的中点，点E为射线AB上的任意一点（不与点A重合），连接EP，并使EP的延长线交射线CD于点(1)求证：△APE≌△CPF；(2)如图2，连接EC、AF，是否有EC∥【变式11-2】（24-25八年级·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．【变式11-3】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=6，求AB【考点12与矩形有关的证明与计算】【例12】（24-25八年级·天津西青·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)DF与AB之间的关系是什么？请说明理由．【变式12-1】（24-25八年级·山西运城·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED=3BE，则AE的长为（

）A．3 B．4 C．33 【变式12-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）已知：如图，点P为矩形ABCD的边AD上一点，连接BP，将矩形ABCD的一部分DPBC沿BP翻折180°得D′PBC′，且点(1)求证：C′(2)若BC=10，DC=6，求折痕BP的长．【变式12-3】（24-25八年级·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点E处，已知AB=6cm，BC=10cm，则CF=cm，DE【考点13与菱形有关的证明与计算】【例13】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AC=12，BD=16，求OP的长．【变式13-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在菱形ABCD中摆放了一副三角板，等腰直角三角板DEF的一条直角边DE在菱形边AD上，直角顶点E为AD的中点，含30°角的直角三角板的斜边GB在菱形ABCD的边AB上．连接AC，若DF=4，则AC的长为（

）A．8 B．42 C．82 【变式13-2】（24-25八年级·广东梅州·期中）如图，矩形ABCD和矩形AECF有公共顶点A和C，CD=CE,AE与BC相交于点G，AD与CF相交于点H．(1)求证：四边形AGCH是菱形．(2)连接AC,GH，若AC=10,GH=4,求四边形AGCH的面积．【变式13-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB=（

）A．72 B．3 C．5+12【考点14与正方形有关的证明与计算】【例14】（24-25八年级·四川泸州·期中）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时，若DE=EF，连接点E与AD边的中点N，请猜想NE与BF的数量关系，并加以证明．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明你的猜想．【变式14-1】（24-25八年级·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为（

）

A．20° B．25° C．30° D．60°【变式14-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是边CD,AD的中点，连接AE,BF，点G,H分别是AE,BF的中点，连接GH，则GH的长为．【变式14-3】（24-25八年级·宁夏银川·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．(1)求证△ADG≌△FDG；(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF，求线段AG的长；(3)在（2）的条件下求出△BEF的面积．【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】【例15】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形EFGH是正方形的是（

）A．AC=BD且AB=AD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分C．∠BAD=∠ABC且AC=BD D．AC=BD且AC⊥BD【变式15-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期末）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=EC,AC=2，则菱形ABCD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【变式15-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）如图，菱形ABCD对角线AC、BD交于点O，点E为OD的中点，连接AE并延长至点F使EF=AE，连接FD、FC，试判断四边形OCFD的形状并说明理由．【变式15-3】（24-25八年级·山东潍坊·期末）【观察与发现】如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段EG和HF剪开，将四边形ABCD分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形OLKJ是平行四边形．【类比与探究】（1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形．①图3是将△ABC剪开拼成矩形BCH依据图中呈现的操作方法，可知：DE与BC的数量关系为_______；AH与DE的位置关系为_________；②如图4，请你再设计一种将△ABC剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图．【实践与应用】（2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形．【压轴篇】【考点16几何动点问题】【例16】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（

）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5【变式16-1】（24-25八年级·贵州遵义·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q(1)BC=cm；(2)当t=秒时，四边形PQBA成为矩形．(3)当t为多少时，PQ∥CD？(4)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．【变式16-2】（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC，BD相交于点O，P为线段OB上一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，交AB延长线于点Q．(1)求证：AP=PQ；(2)在P点运动过程中，∠CPQ的大小是否发生变化？请说明理由；(3)判断线段DP与线段BQ的数量关系，并证明．【变式16-3】（24-25八年级·山东日照·期中）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动．【尝试探究】（1）如图1，当点E、F分别在边BC、DC上运动，∠EAF=45°时，探究DF、BE和EF的数量关系，并说明理由；【模型建立】（2）如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF=45°时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明；【模型应用】（3）如图3，已知△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，求△AEF的周长．【考点17几何最值问题】【例17】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图1．在四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)当AC⊥BD时，四边形EFGH是_________；(3)如图2．四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，AC=6、BD=10．则AD+BC的最小值为________．【变式17-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为5，面积为15，点E是对角线AC上的动点（不与点A重合），以AB为对角线作平行四边形AEBF，则EF的最小值为．【变式17-2】（24-25八年级·河南洛阳·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为3的正方形ABCDD与边长为6的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．连接DG，BE，易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)．(1)如下图，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α(15°<α<165°)．①连接DG，BE，判断DG与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；②在旋转过程中，如下图，连接BG，GE，ED，DB，求四边形BGED面积的最大值．(2)如下图，分别取BG，GE，ED，DB的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ的形状为______，四边形MNPQ面积的最大值是______．【变式17-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形PBFE为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为；最小值为．【考点18几何探究问题】【例18】（24-25八年级·陕西汉中·期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的两条直线EF，GH分别交边AB，CD，AD，BC于点E，F，G，H．【问题发现】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且AG=BE=CH=DF，则S四边形AEOG=【问题探究】（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且满足S四边形AEOG=14S矩形ABCD，设AB=a，AD=b，BE=m，求【问题解决】（3）如图3，张大伯有一块平行四边形ABCD菜地，且AB=6米，AD=10米，点E处是一口水井，且BE=2米，EF是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形ABCD菜地的对角线的交点O，张大伯准备再修建一条经过点O的沟渠GH，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点G的位置．【变式18-1】（24-25八年级·广东阳江·期末）【探究与证明】【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=2，BE=4，∠AEB=90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度(0≤α≤180°)点B、E的对应点分别为点B′、E【问题解决】(1)如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时C(2)若α=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′①试判断四边形AEFE②连接CE，求CE的长．【变式18-2】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，AP，AQ分别交边BC，CD于点P，(1)【感知】如图1，若P是边BC的中点，则线段AP与AQ之间的数量关系是______；(2)【探究】如图2，若P为边BC上任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．(3)【应用】在如图3所示的菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，在边BC上取一点P，连接AP，在菱形内部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q，当AP=27时，求线段CQ【变式18-3】（24-25八年级·辽宁大连·期末）【问题情景】如图1，在菱形ABCD中，AB=25，点N为菱形ABCD外部一点，连接AN交对角线BD于点M，且满足∠AMD+∠ANC=180°【初步探究】（1）求证：AM=MN；【解决问题】（2）如图2，连接DN，当AM=13，CN=6①求线段BM的长；②求∠BDN的度数；【类比探究】（3）如图3，在菱形ABCD中，当∠BCD=90°时，AN交CD于点E，连接BE，DN，并延长BE交DN于点F．若DMAD=2【考点19多结论类问题】【例19】（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连接BF．下列五句判断：①AO=2BO；②EF∥AD；③AG=2BF；④连接DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB=2GE．其中判断正确的是（A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④【变式19-1】（24-25八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤EF的最小值等于12BD．其中正确结论的序号是

【变式19-2】（24-25八年级·安徽·期末）如图，矩形ABCD中，E为BC边的中点，沿DE对折矩形，使点C落在C′处，折痕为DE，延长DC′交AB于点F，连接BC′并延长交AD于点G，连接CC′．给出以下结论：①四边形BEDG为平行四边形；②∠E

A．1 B．2 C．3 D．4【变式19-3】（24-25八年级·吉林长春·期末）知图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，点E、F分别在边AB、CD上（点E不与A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF分别交AC于点P、Q，连结BP、DQ．给出下面四个结论：①AC平分四边形BEDF的周长；②四边形BEDF是矩形；③BD平分∠PDQ；④当

【考点20新定义类问题】【例20】（24-25八年级·广东梅州·期中）综合与实践折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．(1)操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为18，BC=6，则此完美长方形的边长FG=_____，面积为_____．(2)类比探究：如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为40，BC=8，求完美长方形AEFG的周长．(3)拓展延伸：如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF:EH=3:4，AD=25，求此完美长方形EFGH的周长与面积．【变式20-1】（24-25八年级·江苏·期中）定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（m≤n），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中k=mn；若“距离比”k=1，则称点(1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是__________（填序号）①平行四边形

②矩形

③菱形(2)在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是平行四边形，A10,0，对角线AC、OB相交于点P，PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M、N①如图，点C在第一象限，且坐标为4,3，求点P关于∠AOC的“距离比”k的值；②若点P为∠AOC的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标．【变式20-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图②，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥DC交DC延长线于点①试判断四边形BFDE的形状，证明你的结论，并求出BE的长．②若点M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．【变式20-3】（24-25八年级·广东揭阳·期中）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD=CD；(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD中点，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求四边形DPFC的面积．【考点21规律类问题】【例21】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2023次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则BA．1349,0 B．1350,0 C．1349.5,32 【变式21-1】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为1,0，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形AA．92n B．32n C．【变式21-2】（24-25八年级·四川内江·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1A．5×522023 B．2×52【变式21-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点D1在x轴上，点C1的坐标为1,1，以C1为顶点作等边三角形C1A2B2，点【考点22阅读理解类问题】【例22】（24-25八年级·广东惠州·期末）阅读下列材料：在数学课上，老师要求学生探究如下问题：(1)【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内有一点P且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC的度数．李华同学一时没有思路，当他跟同学讨论后，发现以PA、PB、PC的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，易得(2)【类比问题】如图3，在正方形ABCD内有一点P且PA=5，BP=2，PC=1．求(3)【探索问题】如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P且PA=213，PB=4，PC=2，则∠BPC=【变式22-1】（2024·北京海淀·一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC+DE的值为．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．【变式22-2】（24-25八年级·山西大同·期中）阅读与思考：小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结．阅读小明同学的笔记，并完成相应任务直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD=1

分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE=BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE=AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD=1证明：延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，如图2所示：

∵BD是斜边AC上的中线，∴AD=CD又∵DE=BD，∴四边形ABCE是平行四边形（①依据：__________）任务：(1)①依据为：______________(2)请补小明的全证明过程；(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______；A．转化思想

B．类比思想

C．数形结合思想

D．从一般到特殊思想(4)将Rt△ABC和Rt△BDE按图3放置，其中∠ABC=90°，∠DBE=90°，点A、B、D在一直线上，分别取AC和DE的中点F和G，连接GF．若AB=3，BC=4，BD=BE=1，则

【变式22-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系．(1)请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系，并说明理由；(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，(3)将菱形ABCD和菱形BEFG均改成正方形，如图3，P为DF的中点，此时PG与PC的位置关系和数量关系分别是什么？直接写出答案．

期中易错题压轴题专项复习【22大题型】（考试范围：第7~9章）【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 1【考点1普查与抽样调查】 1【考点2统计图的选用】 3【考点3频数与频率】 8【考点4频数分布表】 10【考点5频数分布直方图】 12【考点6确定事件与随机事件】 16【考点7可能性的大小】 18【考点8频率与概率】 20【考点9图形的旋转】 22【考点10中心对称与中心对称图形】 26【考点11与平行四边形有关的证明与计算】 29【考点12与矩形有关的证明与计算】 32【考点13与菱形有关的证明与计算】 37【考点14与正方形有关的证明与计算】 42【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】 48【压轴篇】 54【考点16几何动点问题】 54【考点17几何最值问题】 64【考点18几何探究问题】 72【考点19多结论类问题】 84【考点20新定义类问题】 92【考点21规律类问题】 101【考点22阅读理解类问题】 106【易错篇】【考点1普查与抽样调查】【例1】（24-25八年级·山西晋中·期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（

）A．为了解我国七年级学生的视力情况，采用普查的方式B．为了解一批笔芯的使用寿命，采用普查的方式C．为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式D．为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客进行抽样调查【答案】C【分析】本题考查全面调查（普查）和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，全面调查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择全面调查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A、为了解我国七年级学生的视力情况，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意；B、为了解一批笔芯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意；C、为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式，故此选项符合题意；D、为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客适宜采用普查的方式，故此选项不符合题意；故选：C．【变式1-1】（24-25八年级·广东汕头·期末）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出60人，发现有40人是符合条件的，则该工厂1200人中符合选拔条件的人数大约为人．【答案】800【分析】本题考查了利用样本百分比估计总体，根据符合选拔条件的人数=该工厂的总人数×样本中符合条件的人数所占的百分率，列出算式即可计算出答案．【详解】解：1200×40即该工厂1200人中符合选拔条件的人数大约为800人，故答案为：800．【变式1-2】（24-25八年级·江苏盐城·期末）某县为了了解当地2024年参加中考的6700名学生的身高情况，抽查了其中300名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（

）A．6700名学生是总体B．从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本C．每名学生是总体的一个个体D．以上调查是全面调查【答案】B【分析】根据总体、个体、样本、样本容量、抽样调查的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A、6700名学生的身高情况是总体，错误，故A选项不符合题意；B、从中抽取的300名学生的身高是总体的一个样本，正确，故B选项符合题意；C、每名学生的身高是总体的一个个体，正确，故C选项不符合题意；D、以上调查是抽样调查，正确，故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量、抽样调查的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．【变式1-3】（24-25八年级·山东青岛·期末）蛟龙去，灵蛇来．乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意吉祥如意，象征中华文化中绵延不断、生生不息的精神内核．小红想调查她所在学校学生对“巳”字寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（

）A．随机抽取该校一个班级的学生B．随机抽取该校一个年级的学生C．随机抽取该校一部分女生D．分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%【答案】D【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，熟练掌握抽样调查的可靠性的定义进行求解是解决本题的关键．根据抽样调查的可靠性逐一进行判定即可出答案．【详解】解：A．随机抽取该校一个班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故A选项不符合题意；B．随机抽取该校一个年级的学生，不能很好地反映总体的情况，故B选项不符合题意；C．随机抽取该校一部分女生，不能很好地反映总体的情况，故C选项不符合题意；D．分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%故选：D．【考点2统计图的选用】【例2】（24-25八年级·湖南衡阳·期末）中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某小区若干名中学生家长对这种现象的态度（A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成：D．反对），并将调查结果绘制成如图所示的折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题．(1)此次调查中，共调查了______名中学生家长；(2)扇形统计图中，表示A类扇形圆心角的度数为______；(3)先求出选择C类的人数，再将折线统计图补充完整．【答案】(1)200(2)54°(3)10人，见解析【分析】本题主要考查了折线统计图和扇形统计图的应用，（1）用A类学生的人数除以所占百分比，可得总人数；（2）用A类所占的百分比乘以360°可得答案；（3）用总人数减去其它三类的人数得出C类的人数，补全统计图即可；【详解】（1）解：30÷15%共调查了200名中学生家长．（2）解：360°×15%所以A类扇形圆心角的度数是54°．（3）解：选择C类的人数为200−30−40−120=10（名），补全折线统计如图所示．【变式2-1】（24-25八年级·山东威海·期末）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小长方形的高度按照从高到低的顺序排列），条形统计图被撕了一部分．若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是（

）A．蓝 B．粉 C．黄 D．红【答案】D【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，从统计图准确获取信息是解题的关键．从扇形统计图可知同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，即可求出总同学人数为50人，继而可求得喜欢红色的人数14人，从而可求出喜欢粉色和黄色的人数为16人和15人，即可求解．【详解】解：由扇形统计图可知：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占10%∴被调查的同学总人数为：5÷10%∴喜欢红色人数为：50×28%喜欢红色和蓝色的人数为：14+5=19（人），喜欢黄色和粉色的人数为：50−19=31（人），由条形图知其中一种颜色是16人，则另一种颜色15人，∵长形统计图中小长方形的高度按照从高到低的顺序排列，∴丙代表的颜色的人数为14人，∴丙代表的颜色为红色．故选：D．【变式2-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）某校组织开展了丰富多彩的主题活动，设置了“A．诗歌朗诵表演；B．歌舞表演；C．书画作品展览；D．手工作品展览”四个专项，每个学生只能报名参加其中一个专项．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)本次随机调查的学生人数是__________人．(2)请你补全条形统计图．(3)求扇形统计图中“B歌舞表演”所对的圆心角的度数．【答案】(1)60(2)见解析(3)108°【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．（1）从两个统计图中可得“A组”的有15人，占调查人数的25%（2）求出C组的人数，即可补全条形统计图；（3）样本中“B组”占调查人数的1860，因此圆心角占360°的18【详解】（1）解：15÷25%故答案为：60；（2）解：C组人数是60−15−18−9=18（人），补全条形统计图如图所示：（3）解：依题意，“B”所在扇形的圆心角为：360°×【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）第十届“深圳马拉松”（简称为“深马”）于2024年12月1日鸣枪开跑．从第三届“深马”开始，赛事报名都需经过“预报名”和“随机抽签”两个流程，中签者获得正式参赛资格．小马为研究“深马”十届以来的规模变化，收集了相关数据进行了如下统计（注：第八届“深马”未公布报名情况）：图1：各省报名人数的占比图2：历届报名与中签人数统计表届数全程马拉松预报名人数中签人数总人数总人数男子女子313297//5600415538//8700515539//10800627179//900073550125621988090008未公布95444843275111732000010105367837112165620000请根据以上信息回答下列问题：(1)在参赛者的个人信息中，性别属于__________数据（填“定性”或“定量”）；(2)在扇形统计图中，“广东省”对应的圆心角度数为__________；(3)小马发现，虽然深圳马拉松的预报名人数在逐年上升，中签率却在上下波动．请结合材料，预测第十一届深圳马拉松比赛的中签率会如何变化，并说明理由．【答案】(1)定性(2)234(3)中签率上升，见解析【分析】该题主要考查了折线统计图、扇形统计图和统计表，解题的关键是读懂统计图表．（1）根据题意即可解答．（2）根据扇形统计图即可求解．（3）根据表格和统计图分析即可．【详解】（1）解：根据题意可得性别属于定性数据，故答案为：定性．（2）解：“广东省”对应的圆心角度数=65%故答案为：234°．（3）解：中签率上升．因为中签人数的增幅可能比预报名总人数的增幅更大，故中签率上升．【考点3频数与频率】【例3】（24-25八年级·湖南衡阳·期末）在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了24次，则出现反面朝上的频数、频率分别是（

）A．24，52% B．24，48% C．26，52%【答案】C【分析】本题考查了频率、频数的概念及频率的求法：频率=频数÷数据总数；直接利用频数与频率的定义分析得出答案即可．【详解】解：∵在一次抛硬币游戏中共抛掷50次，其中正面朝上出现了24次，∴出现反面朝上的频数、频率分别是：50−24=26，2650故选：C．【变式3-1】（24-25八年级·江苏盐城·期末）已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、四、五组数据的个数分别为2，8，20，5，则第三组的频率为．【答案】0.3【分析】本题考查频数与频率．每组的数据个数就是每组的频数，50减去第一、二、四、五组数据的个数就是第三组的频数，据此求解即可．【详解】解：50−2+8+20+515÷50=0.3，则第三组的频率为0.3．故答案为：0.3．【变式3-2】（24-25八年级·吉林长春·期末）数学老师布置了10道选择题作为课堂练习，榕榕将全班同学的答题情况绘制成了如图所示的条形统计图，那么答对8道题的频率为（

）A．20 B．10 C．0.2 D．0.4【答案】D【分析】本题考查了频率的计算方法，频数与数据总数的比值为频率，频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．根据题目中所给的条形统计图，求出全班学生的总人数，利用答对8道题的学生人数除以全班总人数即可得答对8道题的同学的频率．【详解】解：由条形统计图可得，全班学生人数为：4+20+18+8=50（人），答对8道题的学生人数为20人，∴答对8道题的同学的频率为：2050故选：D．【变式3-3】（24-25八年级·福建三明·期末）某班50名学生右眼视力的检查结果如下表．视力0.10.20.40.50.60.70.81.01.21.5人数11544566108视力在1.0以上（包括1.0）的为正常，则右眼视力正常的人数占全班人数的%．【答案】48【分析】本题中考查了数据的频率，先根据表格可得视力正常的人数，再运用视力正常的人数÷全班人数即可求解．【详解】解：根据表格可得视力正常的人数为8+10+6=24，∴视力正常的人数占全班人数比例为24÷50×100%故答案为：48．【考点4频数分布表】【例4】（24-25八年级·福建泉州·期末）某校八（2）班体育委员统计了全班女生立定跳远测试的距离，列出频数分布表如下：距离x（cm）128≤x<148148≤x<168168≤x<188188≤x<208208≤x<228频数16751根据“体质测定评分标准”，八年级女生立定跳远距离不低于188cm的成绩为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为【答案】30【分析】本题考查求频数分布表，用表中优秀人数除以总人数求解即可．【详解】解：由表中知，共有1+6+7+5+1=20（人），其中八年级女生立定跳远距离不低于188cm则该班女生立定跳远成绩的优秀率为620故答案为：30%【变式4-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是．第一组第二组第三组频数410a频率bc30%【答案】6【分析】首先根据各小组的频率之和等于1，得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．【详解】∵第一组与第二组的频率和为1−30%＝70%，∴该班女生的总人数为（4＋10）÷70%＝20，∴第三组的人数为20×30%＝6．∴a＝6．故答案是：6．【点睛】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频率之和等于1，频率＝频数÷数据总和．【变式4-2】（24-25八年级·福建厦门·期末）菲尔兹奖是数学界最高荣誉，仅授予做出卓越贡献且不超过40周岁的青年数学家，下面数据是截至2022年菲尔兹奖得主获奖时的年龄，使用频数分布直方图对上述数据进行描述，如果取组距为5，则组数为．28393533392933353131373238363139323837342934383235363329323536373938383837393834334036363740314038373537354039373040343636394040【答案】3【分析】本题考查数据分组的方法．求得最大值与最小值的差，除以组距就是组数．【详解】解：最大值与最小值的差是40−28=12，则可以分成的组数为12÷5=2.4≈3组．故答案为：3．【变式4-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）在一次抽样调查中收集了一些数据，对数据进行分组，绘制了下面的频数分布表：分组

49.5∼59.5

59.5∼69.5

69.5∼79.5

78.5∼89.5

89.5∼99.5频数

9

15

16

12（1）已知最后一组(89.5∼99.5)出现的频率为15%，则这一次抽样调查的容量是．（2）第三小组(69.5∼79.5)的频数是，频率是．【答案】802835%【分析】（1）先根据总数=第五组的频数÷第五组频率即可求得总数；（2）第三组的频数=总数-其余四个小组的频数，频率=频数÷总数．【详解】解：（1）样本容量=第五组的频数÷第五组频率12÷0.15=80；（2）第三小组(69．5∼79．5)的频数=80−9−15−16−12=28；第三小组的频率=28÷80=0．35=35%．【点睛】本题主要考查了频数分布表、频数和频率的计算，记住公式频率=频数÷总数是解决问题的关键．【考点5频数分布直方图】【例5】（24-25八年级·浙江台州·期末）某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的60名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为5组，A：50≤x<60，B：60≤x<70，C：70≤x<80，D：80≤x<90，E：90≤x≤100．(1)请补全频数分布直方图；(2)本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比；(3)为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为m<x≤100的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，D组的11名学生的成绩依次为：80，80，82，82，83，83，85，86，87，88，89．若要将占总人数15%的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的m【答案】(1)图见解析(2)B，35(3)m=87，理由见解析【分析】本题主要考查了频数分布直方图，有理数的运算等知识点，熟练掌握频数分布直方图的相关知识是解题的关键．（1）先用学生总人数减去A，B，D，E组的学生人数，即可得到C组的学生人数，据此即可补全频数分布直方图；（2）由频数分布直方图即可直接看出哪一组的学生最多，用该组学生人数除以总人数，即可得出该组学生占总人数的百分比；（3）用总人数乘以15%，即可得出应认定为优秀学生的人数，根据优秀学生的人数以及分数由高到低的各组人数，即可得出一个合理的m【详解】（1）解：C组的学生人数=学生总人数−A，B，D，E=60−13−21−11−7=8（人），补全后的频数分布直方图如下：（2）解：由频数分布直方图可以看出：B组的学生最多，B组学生占总人数的百分比=B组学生人数÷总人数=（3）解：m=87，理由如下：应认定为优秀学生的人数=总人数×15=60×15=9（人），∵E组的学生人数为7∴D组的优秀学生人数=应认定为优秀学生的人数−E=9−7=2（人），又∵D组的11名学生的成绩由高到低依次为：89，88，87，86，85，83，83，82，82，80，80∴m=87．【变式5-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期末）为了解某校七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，七年级学生参加社会实践活动的时间不少于12h的占比为．【答案】56【分析】本题考查直方图，利用频数除以总数求出占比即可．【详解】解：由图可知，不少于12h的占比为：18+102+6+14+18+10故答案为：56%【变式5-2】（24-25八年级·陕西汉中·期末）为了考察某种大变穗长的分布情况，在一块试验田里随机抽取了100根麦穗，量得它们长度的最大值为7.4cm，最小值为4.0cm．在绘制频数直方图时若以0.3cm为组距，则应分成【答案】12【分析】本题考查频数分布直方图中的组数与组距，理解掌握组数的计算方式是解题的关键．根据组数的计算方式，先求出最大值与最小值的差值，然后差值除以组距，将得到的结果取整后加1即可．【详解】解：∵最大值为7.4，最小值为4.0，取组距为0.3，∴7.4−4.00.3∵111∴合适的组数应为12．故答案为：12．【变式5-3】（24-25八年级·陕西渭南·期末）某校进行了“交通法规要牢记，路过街市别大意”交通安全知识竞赛，为了解本校学生对交通安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生的成绩x（单位：分），并将他们的成绩整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．安全知识竞赛成绩频数分布表成绩x频数所占百分比50≤x<604860≤x<7081670≤x<80a2080≤x<90163290≤x≤10012b根据以上信息解答下列问题：(1)本次调查的学生人数为______，上表中的a=______，b=______；(2)补全频数分布直方图；(3)若将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“90≤x≤100”的部分所对应的扇形圆心角的度数．【答案】(1)50人，10，24(2)见解析(3)86.4°【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图以及扇形统计图等知识，从统计图中获取解题所需要的信息是解答本题的关键．（1）先根据频数÷所占百分比=总人数求出总人数，再根据总人数×百分比=频数得到a的值，频数÷总人数=所占百分比得到b的值；（2）根据（1）求出的数据补全频数分布直方图即可；（3）根据题意知成绩在“90≤x≤100”的人数所占百分比为24%，然后用360°×24【详解】（1）解：∵安全知识竞赛成绩在50≤x<60的频数为4，所占百分比为8%∴本次调查的学生人数为：4÷8%=50（人），a=50×20%故答案为：50人，10，24%（2）解：补全直方图如下：（3）解：由（1）知，安全知识竞赛成绩在“90≤x≤100”的人数占24%所以成绩在“90≤x≤100”的部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×24%【考点6确定事件与随机事件】【例6】（24-25八年级·河北邯郸·期末）事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：掷一枚骰子2次，向上一面的点数和是13，下列说法中，正确的是（

）A．事件1、事件2均为随机事件B．事件1、事件2均为不可能事件C．事件1是随机事件，事件2是不可能事件D．事件1是不可能事件，事件2是随机事件【答案】C【分析】本题考查了事件的分类，熟记随机事件和不可能事件的定义是解题关键．根据随机事件的定义（在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件）和不可能事件的定义（发生的可能性为0的事件是不可能事件）即可得．【详解】解：因为经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯也可能不遇到红灯，所以事件1是随机事件；因为掷一枚骰子2次，向上一面的点数和最大是12，不可能是13，所以事件2是不可能事件；故选：C．【变式6-1】（24-25八年级·江苏常州·期中）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（

）A．百步穿杨 B．缘木求鱼 C．旭日东升 D．拔苗助长【答案】C【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、百步穿杨，是随机事件，不符合题意；B、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意；C、旭日东升，是必然事件，符合题意；D、拔苗助长，是不可能事件，不符合题意；故选：C．【变式6-2】（24-25八年级·河北张家口·期中）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）【答案】随机【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析．【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．故答案为：随机．【变式6-3】（24-25八年级·北京·期中）一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（

）A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球【答案】A【分析】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．根据题意列举所有可能，即可求解．【详解】解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，∴至少有1个球是黑球，故选：A【考点7可能性的大小】【例7】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固