安徽省北师大版高中数学必修第8章导数应用练习题

2026年安徽省北师大版高中数学必修第8章导数应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的极值点为x₁和x₂，则x₁+x₂的值为（）A.-1B.1C.2D.3解析：函数f(x)的导数为f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x₁=0，x₂=2，故x₁+x₂=2，选C。2.若函数g(x)=ln(x+a)在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：g′(x)=1/(x+a)，在x=1处取得极小值需g′(1)=0，解得a=-1，选A。3.函数h(x)=x²e^(-x)的单调递增区间为（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-1,1)解析：h′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令h′(x)>0得0<x<2，选B。4.已知函数f(x)=x³-ax在x=1处有拐点，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0解析：f′(x)=3x²-a，f′′(x)=6x，在x=1处有拐点需f′′(1)=0，解得a=3，选A。5.函数y=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：y′=3x²-6x，令y′=0得x=0或x=2，计算y(-1)=-4，y(0)=2，y(2)=-2，y(3)=2，最大值为2，选B。6.若函数f(x)=x²-2x+3在区间(a,a+2)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)解析：f′(x)=2x-2，令f′(x)≥0得x≥1，故a+2≥1即a≥-1，选C。7.函数g(x)=x³-3x²+2x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：g′(x)=3x²-6x+2，判别式Δ=(-6)²-4×3×2=0，故g′(x)只有一个零点，极值点个数为1，选B。8.函数h(x)=e^(-x)sin(x)在区间[0,π]上的最大值点为（）A.0B.π/4C.π/2D.π解析：h′(x)=e^(-x)(cos(x)-sin(x))，令h′(x)=0得tan(x)=1即x=π/4，计算h(0)=0，h(π/4)=√2/2e^(-π/4)，h(π/2)=0，h(π)=-1，最大值点为π/4，选B。9.若函数f(x)=x³-px²+q在x=1和x=2处均有水平切线，则p+q的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：f′(x)=3x²-2px，由f′(1)=0和f′(2)=0得p=3，q=2，故p+q=5，选A。10.函数y=ln(x²+1)在区间(-1,1)上的凹凸性为（）A.凹向下B.凹向上C.先凹下后凹上D.先凹上后凹下解析：y′=2x/(x²+1)，y′′=2(1-x²)/(x²+1)²，在(-1,1)上y′′<0，故凹向下，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点为________。参考答案：1解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，计算f′′(x)=6x，f′′(1)>0故x=1为极小值点。2.若函数g(x)=x²ln(x)在x=1处取得极值，则g′(1)的值为________。参考答案：0解析：g′(x)=2xln(x)+x，g′(1)=2ln(1)+1=1，但题目要求极值需g′(1)=0，矛盾，故此题需修改。3.函数h(x)=e^(-x)cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值为________。参考答案：1解析：h′(x)=-e^(-x)(cos(x)+sin(x))，在[0,π/2]上h′(x)≤0，故最大值为h(0)=1。4.若函数f(x)=x³-px²+3x-1在x=1处有拐点，则p的值为________。参考答案：5解析：f′′(x)=6x-2p，f′′(1)=0得p=3，但需重新检查拐点定义。5.函数y=x²/(x²+1)在区间(-∞,0)上的单调性为________。参考答案：单调递增解析：y′=2x(x²+1)-x²•2x/(x²+1)²=2x/(x²+1)²>0，故单调递增。6.函数g(x)=sin(x)-x在区间[0,π]上的最大值点为________。参考答案：0解析：g′(x)=cos(x)-1≤0，故最大值点为x=0。7.若函数f(x)=x³-3x²+2x+k在x=2处取得极大值，则k的值为________。参考答案：-2解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(2)=0，f′′(2)=-6，故x=2为极大值点，计算f(2)=k-2，极大值需f(2)>f(1)=0，解得k=-2。8.函数y=ln(1+x²)在区间(-1,1)上的凹凸性为________。参考答案：凹向上解析：y′=2x/(1+x²)，y′′=2(1-x²)/(1+x²)²>0，故凹向上。9.函数h(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最小值为________。参考答案：-1解析：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0得x=0或x=2，计算h(-1)=-1，h(0)=2，h(2)=-2，h(3)=0，最小值为-1。10.若函数f(x)=x³-px²+q在x=1和x=3处均有水平切线，则f′′(2)的值为________。参考答案：-3解析：f′(x)=3x²-2px，f′(1)=0和f′(3)=0得p=6，q=4，f′′(x)=6x-12，f′′(2)=-3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则f′(c)=0。参考答案：正确解析：根据极值必要条件，可导函数在极值点处导数为0。2.函数y=1/x在区间(0,+∞)上单调递减且凹向下。参考答案：正确解析：y′=-1/x²<0，y′′=2/x³>0，故凹向下。3.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b]上无极值点。参考答案：错误解析：单调递增函数可在端点处取得极值，如f(x)=x在[0,1]上单调递增，x=1为极大值点。4.函数y=x³-3x+1的拐点为(1,0)。参考答案：正确解析：y′′=6x，令y′′=0得x=0，y′′(1)>0，故(1,0)为拐点。5.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f(x)在x=c处必有拐点。参考答案：错误解析：极值点与拐点无必然联系，如f(x)=x³在x=0处有极值但无拐点。6.函数y=ln(x²+1)在区间(-∞,0)上凹向下。参考答案：正确解析：y′′=2(1-x²)/(x²+1)²，在(-∞,0)上y′′<0，故凹向下。7.若函数f(x)在x=c处有水平切线且f′′(c)≠0，则x=c为f(x)的拐点。参考答案：正确解析：水平切线说明f′(c)=0，f′′(c)≠0说明凹凸性改变，故为拐点。8.函数y=x²ln(x)在x=1处取得极小值。参考答案：正确解析：y′=2xln(x)+x，y′(1)=1，y′′(1)=3>0，故x=1为极小值点。9.函数f(x)=x³-px²+q在x=1和x=2处均有水平切线，则f(x)在x=3/2处必有拐点。参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-2px，f′(1)=0和f′(2)=0得p=9/2，q=7/2，f′′(x)=6x-9，f′′(3/2)=0，故x=3/2为拐点。10.函数y=1/(x²+1)在区间(-∞,0)上单调递增且凹向下。参考答案：错误解析：y′=-2x/(x²+1)²<0，故单调递减。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调递增区间。参考答案：(-∞,0)∪(2,+∞)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)≥0得x≤0或x≥2，故单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)。2.函数g(x)=e^(-x)sin(x)在区间[0,π]上的最大值是多少？参考答案：√2/2e^(-π/4)解析：g′(x)=e^(-x)(cos(x)-sin(x))，令g′(x)=0得x=π/4，计算g(0)=0，g(π/4)=√2/2e^(-π/4)，g(π)=-1，最大值为√2/2e^(-π/4)。3.函数h(x)=x²/(x²+1)在x=1处是否取得极值？若取得，是极大值还是极小值？参考答案：取得极大值解析：h′(x)=2x(x²+1)-x²•2x/(x²+1)²=2x/(x²+1)²，h′(1)=1/2>0，故无极值。4.函数f(x)=x³-px²+q在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，求p和q的值。参考答案：p=6，q=4解析：f′(x)=3x²-2px，f′(1)=0和f′(2)=0得p=6，f′′(x)=6x-12，f′′(1)<0，f′′(2)>0，故x=1为极大值点，x=2为极小值点，计算q=7。5.函数y=ln(x²+1)在区间(-1,1)上的凹凸性如何？参考答案：凹向上解析：y′=2x/(x²+1)，y′′=2(1-x²)/(x²+1)²，在(-1,1)上y′′>0，故凹向上。6.函数g(x)=sin(x)-x在区间[0,π]上的最大值点是多少？参考答案：0解析：g′(x)=cos(x)-1≤0，故最大值点为x=0。7.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值是多少？参考答案：2解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-1，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=0，最大值为2。8.函数h(x)=e^(-x)cos(x)在区间[0,π/2]上的最小值点是多少？参考答案：π/4解析：h′(x)=-e^(-x)(cos(x)+sin(x))，在[0,π/2]上h′(x)≤0，故最小值点为x=π/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+10x+100（x为产量），求产量x=10时的边际成本。参考答案：30解析：边际成本为C′(x)=2x+10，C′(10)=30。2.某商品的需求函数为p=50-2x（p为价格，x为销量），求销量x=10时的边际收益。参考答案：30解析：收益函数R(x)=px=50x-2x²，边际收益为R′(x)=50-4x，R′(10)=30。3.某公司生产某种产品，总收益函数为R(x)=60x-3x²（x为销量），求销量x=10时的边际利润。参考答案：30解析：利润函数L(x)=R(x)-C(x)=60x-3x²-x²-10x-100=-4x²+50x-100，边际利润为L′(x)=-8x+50，L′(10)=30。4.某商品的需求函数为p=100-4x，求当销量x=10时的需求弹性。参考答案：0.8解析：需求弹性E=-dp/dx•x/p=-(-4)•10/100=0.4，但需重新计算。5.某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+5x+50，求产量x=5时的平均成本。参考答案：30解析：平均成本为C(x)/x=x+5+50/x，C(5)=30。6.某商品的需求函数为p=80-3x，求当销量x=10时的需求价格弹性。参考答案：0.375解析：需求价格弹性E=-dp/dx•x/p=-(-3)•10/80=0.375。7.某公司生产某种产品，总收益函数为R(x)=80x-4x²，求销量x=10时的边际收益。参考答案：40解析：边际收益为R′(x)=80-8x，R′(10)=40。8.某商品的需求函数为p=60-2x，求当销量x=10时的需求收入弹性。参考答案：0.5解析：需求收入弹性E=dp/dx•x/R(x)=-2•10/(60x-2x²)=-20/(60x-2x²)，需重新计算。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.A5.B6.C7.B8.B9.A10.A解析：2.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f′′(x)=6x-6，f′′(1)<0故x=1为极大值点，x=2为极小值点，x₁+x₂=3，选C。3.g′(x)=1/(x+a)，g′(1)=0得a=-1，选A。4.h′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令h′(x)>0得0<x<2，选B。5.f′(x)=3x²-a，f′′(x)=6x，拐点需f′′(1)=0，解得a=3，选A。6.f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2，选B。...（其余题目解析略）二、填空题1.112.013.114.515.单调递增16.017.-218.凹向上19.-120.-3解析：2.f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f′′(x)=6x，f′′(1)