安徽省北师大版高中数学必修第9章导数应用练习题

2026年安徽省北师大版高中数学必修第9章导数应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的极值点为x₁和x₂，则x₁+x₂的值为（）A.-1B.1C.2D.3解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x₁=0，x₂=2，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，故极值点为x₁=0，x₂=2，x₁+x₂=2，选C。2.函数g(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的最大值为（）A.-1B.0C.ln2-1D.ln2解析：g′(x)=1/(x+1)-1，令g′(x)=0得x=0，g(0)=0，g(1)=ln2-1，故最大值为ln2，选D。3.若函数h(x)=x²-2ax+a²在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.1C.2D.-2解析：h′(x)=2x-2a，h′(1)=0得a=1，验证h′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，故x=1为极小值点，选B。4.函数f(x)=x³-3x+1的拐点坐标为（）A.(0,1)B.(1,1)C.(-1,3)D.(2,5)解析：f′(x)=3x²-3，f′′(x)=6x，令f′′(x)=0得x=0，f(0)=1，故拐点为(0,1)，选A。5.已知函数f(x)=x²e^(-x)，则f(x)在区间(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，在(-∞,0)上e^(-x)>0，x<0，2-x>0，故f′(x)<0，单调递减，选B。6.函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[0,4]上的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)=3x²-12x+9，令f′(x)=0得x=1或x=3，f(0)=1，f(1)=5，f(3)=1，f(4)=5，故最小值为1，选A。7.若函数g(x)=x³-3x²+2x-1在x=1附近单调递增，则实数k的取值范围是（）A.k>0B.k<0C.k≥0D.k≤0解析：g′(x)=3x²-6x+2，g′(1)=1>0，故g(x)在x=1附近单调递增，需g′(x)≥0，解得x≤1或x≥2，k取任意实数，选D。8.函数f(x)=xlnx在区间(0,1)上的最大值为（）A.-1B.0C.-ln2D.-1/2解析：f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0得x=1/e，f(1/e)=-1/e≈-0.367，f(0)→-∞，f(1)=0，故最大值为0，选B。9.若函数h(x)=x³-3x²+k在x=2处取得极大值，则k的值为（）A.2B.-2C.4D.-4解析：h′(x)=3x²-6x，h′(2)=0，h′′(x)=6x-6，h′′(2)=6>0，需h(x)在x=2左侧为正，右侧为负，但h′(x)在x=2左侧为正，右侧为负，矛盾，故无解，选无。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的拐点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′′(x)=6x-6，令f′′(x)=0得x=1，f(1)=0，f′′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，故x=1为拐点，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为______。参考答案：8解析：f(-2)=-10，f(0)=1，f(2)=8，最大值为8。2.函数g(x)=x³-6x²+9x在区间[0,4]上的极值点为______。参考答案：2解析：g′(x)=3x²-12x+9，令g′(x)=0得x=1或x=3，g(1)=5，g(3)=3，故极值点为x=2。3.函数h(x)=e^(-x)在区间[0,1]上的最小值为______。参考答案：1/e解析：h(0)=1，h(1)=1/e≈0.367，最小值为1/e。4.函数f(x)=x²lnx在x=1处的切线方程为______。参考答案：y=x-1解析：f′(x)=2xlnx+x，f′(1)=1，f(1)=0，切线方程为y=x-1。5.函数g(x)=x³-3x²+2x在x=1处的二阶导数为______。参考答案：0解析：g′′(x)=6x-6，g′′(1)=0。6.函数h(x)=x³-6x²+9x-1在区间[-1,3]上的最小值为______。参考答案：-1解析：h(-1)=-7，h(0)=-1，h(3)=-1，最小值为-1。7.函数f(x)=x³-3x+2在x=0附近的单调性为______。参考答案：单调递增解析：f′(x)=3x²-3，f′(0)=-3<0，需f′(x)≥0，解得x≤-1或x≥1，故在x=0附近单调递增。8.函数g(x)=x³-3x²+2x在x=2处的极值为______。参考答案：无极值解析：g′(x)=3x²-6x+2，g′(2)=2>0，故无极值。9.函数h(x)=x³-3x²+2x在区间[0,3]上的拐点为______。参考答案：1解析：h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，h(1)=0，故拐点为(1,0)。10.函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上的极值点为______。参考答案：0,2解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=0，故极值点为x=0,2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2在x=1处取得极小值。（×）解析：f′(x)=3x²-3，f′(1)=0，f′′(x)=6x，f′′(1)=6>0，故x=1为极小值点。2.函数g(x)=x³-6x²+9x在区间[0,3]上单调递增。（√）解析：g′(x)=3x²-12x+9，g′(x)≥0，故单调递增。3.函数h(x)=e^(-x)在区间[0,1]上单调递减。（√）解析：h′(x)=-e^(-x)<0，故单调递减。4.函数f(x)=x³-3x+2在x=0处取得极大值。（×）解析：f′(x)=3x²-3，f′(0)=-3<0，故无极大值。5.函数g(x)=x³-6x²+9x在区间[0,3]上存在极值点。（×）解析：g′(x)=3x²-12x+9，g′(x)≥0，故无极值点。6.函数h(x)=x³-3x+2在x=1处取得拐点。（√）解析：h′′(x)=6x-6，h′′(1)=0，h′(x)在x=1左侧为负，右侧为正，故为拐点。7.函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,2]上存在极值点。（√）解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=0或x=2，故存在极值点。8.函数g(x)=x³-6x²+9x在区间[0,3]上单调递减。（×）解析：g′(x)=3x²-12x+9，g′(x)≥0，故单调递增。9.函数h(x)=e^(-x)在区间[0,1]上存在极值点。（×）解析：h′(x)=-e^(-x)<0，故无极值点。10.函数f(x)=x³-3x+2在x=2处取得极小值。（√）解析：f′(x)=3x²-3，f′(2)=9>0，故x=2为极小值点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值8，最小值-7解析：f(-1)=-7，f(0)=0，f(1)=0，f(3)=9，最大值8，最小值-7。2.求函数g(x)=x³-6x²+9x在区间[0,3]上的极值点。参考答案：无极值点解析：g′(x)=3x²-12x+9，g′(x)≥0，故无极值点。3.求函数h(x)=e^(-x)在区间[0,1]上的单调区间。参考答案：单调递减解析：h′(x)=-e^(-x)<0，故单调递减。4.求函数f(x)=x³-3x+2在x=1处的切线方程。参考答案：y=x-1解析：f′(x)=3x²-3，f′(1)=0，f(1)=0，切线方程为y=x-1。5.求函数g(x)=x³-6x²+9x在区间[0,3]上的拐点。参考答案：无拐点解析：g′′(x)=6x-6，g′′(x)≥0，故无拐点。6.求函数h(x)=e^(-x)在x=0处的二阶导数。参考答案：-1解析：h′(x)=-e^(-x)，h′′(x)=e^(-x)，h′′(0)=-1。7.求函数f(x)=x³-3x+2在区间[-1,1]上的单调区间。参考答案：单调递增解析：f′(x)=3x²-3，f′(x)≥0，故单调递增。8.求函数g(x)=x³-6x²+9x在x=2处的极值。参考答案：无极值解析：g′(x)=3x²-12x+9，g′(2)=2>0，故无极值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+10x+100，其中x为产量，求产量为多少时，平均成本最小。参考答案：产量为5时平均成本最小解析：平均成本函数为C(x)/x=x+10+100/x，求导得C′(x)=1-100/x²，令C′(x)=0得x=10，但需验证x=5时C′(x)由负变正，故x=5时平均成本最小。2.某商品的需求函数为p=100-0.01x，其中p为价格，x为需求量，求需求量多少时，总收入最大。参考答案：需求量为5000时总收入最大解析：总收入函数为R(x)=px=100x-0.01x²，求导得R′(x)=100-0.02x，令R′(x)=0得x=5000，验证R′(x)由正变负，故x=5000时总收入最大。3.某公司生产某种产品，总收益函数为R(x)=20x-0.02x²，其中x为产量，求产量为多少时，边际收益为零。参考答案：产量为500时边际收益为零解析：边际收益函数为R′(x)=20-0.04x，令R′(x)=0得x=500，故产量为500时边际收益为零。4.某商品的需求函数为p=50-0.05x，其中p为价格，x为需求量，求需求量多少时，利润最大。参考答案：需求量为400时利润最大解析：利润函数为L(x)=px-C(x)=50x-0.05x²-x²-10x-100，求导得L′(x)=40-0.1x-2x，令L′(x)=0得x=400，验证L′(x)由正变负，故x=400时利润最大。5.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+5x+50，其中x为产量，求产量为多少时，边际成本最小。参考答案：产量为5时边际成本最小解析：边际成本函数为C′(x)=2x+5，求导得C′′(x)=2，故边际成本函数为凸函数，在x=0处取得最小值，但需验证x=5时C′(x)由负变正，故x=5时边际成本最小。6.某商品的需求函数为p=80-0.02x，其中p为价格，x为需求量，求需求量多少时，总收入为0。参考答案：需求量为4000时总收入为0解析：总收入函数为R(x)=px=80x-0.02x²，令R(x)=0得80x-0.02x²=0，解得x=4000。7.某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x²+8x+80，其中x为产量，求产量为多少时，平均成本最小。参考答案：产量为4时平均成本最小解析：平均成本函数为C(x)/x=x+8+80/x，求导得C′(x)=1-80/x²，令C′(x)=0得x=8，但需验证x=4时C′(x)由负变正，故x=4时平均成本最小。8.某商品的需求函数为p=60-0.03x，其中p为价格，x为需求量，求需求量多少时，边际收益为零。参考答案：需求量为2000时边际收益为零解析：边际收益函数为R′(x)=60-0.06x，令R′(x)=0得x=2000