3.4.2工程问题-课件(共37张)-湘教版数学七年级上册

#湘教版数学七年级上册3.4.2工程问题专项练习（约\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\)2字）##知识点梳理工程问题基本等量关系：**工作总量=工作效率×工作时间**。没有给出具体总量时，常设工作总量为**\(\boldsymbol{1}\)**。工作效率：单独完成需要$t$天，则每天效率为$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)t$。合作效率：几个人合作，总效率等于每个人效率相加。常见关键词：单独做、合作、先做一段时间再合作、一部分人先做。解题步骤：①设总工作量为\(\boldsymbol{1}\)，表示出每个人工作效率；②设未知数（一般设时间）；③根据“各部分工作量之和=总工作量”列方程；④解方程，检验作答。易错点：工作效率和工作时间混淆；分段工作时，某一段的工作时间看错；多人合作忘记把效率相加；总量不是\(\boldsymbol{1}\)时，直接套用分数效率。工程问题是一元一次方程应用题重点，考试高频。##一、填空题（每空3分，共24分）\(\boldsymbol{1}\).一件工程，甲单独做\(\boldsymbol{1}\)0天完成，甲的工作效率是________。2.一件工程，乙单独做6天完成，乙每天完成全部工作量的________。3.甲效率$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)8$，乙效率$\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)2}$，两人合作一天完成工作量________。4.一项工作，甲单独5天做完，甲工作3天，完成工作量________。5.一项工程，甲单独做要\(\boldsymbol{1}\)5天，乙单独做要30天，两人合作效率为________。6.甲单独做需4小时完成，则甲工作$x$小时，完成工作量________。7.甲乙合作2天，甲效率$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)6$，乙效率$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)3$，一共完成工作量________。##二、选择题（每题4分，共20分）\(\boldsymbol{1}\).一项工程，甲单独8天完成，乙单独\(\boldsymbol{1}\)2天完成，两人合作一天工作量为（）A.$\(8+\(\boldsymbol{1}\)2\)$B.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)8+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)2}$C.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(8+\(\boldsymbol{1}\)2\)}$D.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)8-\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)2}$2.一项工程，甲单独做\(\boldsymbol{1}\)2天完成，甲做$x$天，完成工作量是（）A.$\(\boldsymbol{1}\)2x$B.$\dfrac{x}{\(\boldsymbol{1}\)2}$C.$\(\boldsymbol{1}\)+\dfrac{x}{\(\boldsymbol{1}\)2}$D.$\(\(\boldsymbol{1}\)2+x\)$3.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做\(\boldsymbol{1}\)0天完成，乙的效率是甲的（）A.2倍B.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)2$倍C.\(\boldsymbol{1}\)0倍D.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)0}$倍4.一项工程，甲单独做\(\boldsymbol{1}\)0天，乙单独做\(\boldsymbol{1}\)5天，两人合作$x$天完成，方程为（）A.$\(\(\boldsymbol{1}\)0x+\(\boldsymbol{1}\)5x=\(\boldsymbol{1}\)\)$B.$\left(\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)0}+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)5}\right)x=\(\boldsymbol{1}\)$C.$\dfrac{x}{\(\boldsymbol{1}\)0}+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)5}=\(\boldsymbol{1}\)$D.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)0}+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)5}=x$5.一项工程，甲单独做6天完成，先由甲做2天，剩下乙用3天做完，乙的效率是（）A.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)3$B.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)4$C.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)9$D.$\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)8}$##三、解答题（共46分）\(\boldsymbol{1}\).列一元一次方程求解（每题5分，共30分）（\(\boldsymbol{1}\)）一项工程，甲单独做\(\boldsymbol{1}\)0天完成，乙单独做\(\boldsymbol{1}\)5天完成，两人合作多少天完成？（2）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做25天完成。两人合作，多少天完成这项工程的$\dfrac{9}{\(\boldsymbol{1}\)0}$？（3）一项工程，甲单独\(\boldsymbol{1}\)2天完成。甲先单独做3天，剩下由乙单独做，乙用\(\boldsymbol{1}\)8天做完。求乙单独完成这项工程需要多少天？（4）一项工程，甲单独做8天，乙单独做\(\boldsymbol{1}\)2天。甲先做2天，剩下甲乙合作，还需要多少天完成？（5）一项工作，甲单独\(\boldsymbol{1}\)5小时完成，乙单独\(\boldsymbol{1}\)0小时完成。两人合作一段时间后，甲中途离开，乙又单独做5小时完成。求两人合作了几小时？（6）整理一批图书，由一个人单独做要40小时完成。现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设每个人工作效率相同，先安排多少人工作？2.改错（8分）题目：一项工程，甲单独6天完成，乙单独\(\boldsymbol{1}\)2天，两人合作$x$天完成。小明列方程：$\(6x+\(\boldsymbol{1}\)2x=\(\boldsymbol{1}\)\)$，找出错误并正确列方程求解。3.应用题（8分）一项工程，甲单独做\(\boldsymbol{1}\)4天完成，乙单独做7天完成，两人合作，几天可以做完？##四、拓展思考题（\(\boldsymbol{1}\)0分）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。两人合作，中途甲休息5天，乙没有休息，一共多少天完成全部工程？---##参考答案###一、填空题\(\boldsymbol{1}\).$\boldsymbol{\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)}{\(\boldsymbol{1}\)0}}$2.$\boldsymbol{\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)}{6}}$3.$\boldsymbol{\dfrac{5}{24}}$4.$\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$5.$\boldsymbol{\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)0}}$6.$\boldsymbol{\dfrac{x}{4}}$7.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)}$###二、选择题\(\boldsymbol{1}\).B2.B3.A4.B5.B###三、解答题\(\boldsymbol{1}\).（\(\boldsymbol{1}\)）解：设合作$x$天完成。$\left(\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)0}+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)5}\right)x=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)6x=\(\boldsymbol{1}\)$，$\(x=6\)$。答：合作6天完成。（2）解：设合作$x$天。$\left(\dfrac\(\boldsymbol{1}\){20}+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){25}\right)x=\dfrac{9}{\(\boldsymbol{1}\)0}$，$\dfrac{9}{\(\boldsymbol{1}\)00}x=\dfrac{9}{\(\boldsymbol{1}\)0}$，$x=\(\boldsymbol{1}\)0$。答：\(\boldsymbol{1}\)0天。（3）解：设乙单独需要$x$天。$\dfrac{3}{\(\boldsymbol{1}\)2}+\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)8}{x}=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)4+\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)8}{x}=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)8}{x}=\dfrac34$，$\(\(x=2\)4\)$。答：乙单独24天完成。（4）解：设还需要$x$天。$\dfrac28+\left(\dfrac\(\boldsymbol{1}\)8+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)2}\right)x=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)4+\dfrac{5}{24}x=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac{5}{24}x=\dfrac34$，$x=\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)8}{5}=3.6$。答：还需要3.6天。（5）解：设合作$x$小时。$\left(\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)5}+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)0}\right)x+\dfrac5{\(\boldsymbol{1}\)0}=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)6x+\dfrac\(\boldsymbol{1}\)2=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)6x=\dfrac\(\boldsymbol{1}\)2$，$\(x=3\)$。答：合作3小时。（6）解：设先安排$x$人。$\dfrac{4x}{40}+\dfrac{8(x+2)}{40}=\(\boldsymbol{1}\)$，$4x+8x+\(\boldsymbol{1}\)6=40$，$\(\boldsymbol{1}\)2\(\(x=2\)4\)$，$\(x=2\)$。答：先安排2人。2.解：错误：把工作时间当成工作效率。甲效率是$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)6$，乙效率$\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)2}$。正确方程：$\left(\dfrac\(\boldsymbol{1}\)6+\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)2}\right)x=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)4x=\(\boldsymbol{1}\)$，$\(x=4\)$。答：合作4天完成。3.解：设$x$天完成。$\left(\dfrac\(\boldsymbol{1}\){\(\boldsymbol{1}\)4}+\dfrac\(\boldsymbol{1}\)7\right)x=\(\boldsymbol{1}\)$，$\dfrac3{\(\boldsymbol{1}\)4}x=\(\boldsymbol{1}\)$，$x=\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)4}{3}$。答：一共$\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)4}{3}$天。###四、拓展题解：设一共$x$天完成，则甲工作$(x-5)$天，乙工作$x$天。$\dfrac{x-5}{20}+\dfrac{x}{30}=\(\boldsymbol{1}\)$两边同乘60：$3(x-5)+2\(x=6\)0$$3x-\(\boldsymbol{1}\)5+2\(x=6\)0$，$\(5x=75\)$，$x=\(\boldsymbol{1}\)5$答：一共\(\boldsymbol{1}\)5天完成。##解题小结工程问题核心公式：工作总量=工作效率×时间。无总量时，总量设为**\(\boldsymbol{1}\)**；单独$t$天做完，效率就是$\dfrac\(\boldsymbol{1}\)t$。多人合作，效率相加；分段工作，分段算出每一部分工作量，相加等于总工作量。人数类工程题（多人做同一件事），每个人效率相同，\(\boldsymbol{1}\)个人\(\boldsymbol{1}\)小时工作量作为单位\(\boldsymbol{1}\)。高频易错：把单独完成时间直接当作效率；休息的人，要扣除休息时间；分段工作漏算某一段工作量。列完方程记得检验答案是否符合实际。工程应用题计算常出现分数，解方程注意去分母，细心计算。（全文\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{1}\)字）需要我生成**无答案纯题目版本**，方便直接打印做题吗？湘教版（新教材）数学七年级上册3.4.2工程问题授课教师：.

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级：

7年级（

）班.

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间：.

2026/9/29

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一次方程（组）经历建立一元一次方程模型解决实际问题的过程，培养学生解决实际问题的基本技能.能通过工作量、工作效率、工作时间的关系列方程解决实际问题.读懂题意，分析数量关系.思

考新课导入

为进一步感悟雷锋胸怀祖国、服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆.已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达.他俩的家到雷锋纪念馆的路程是多少?

例3例题讲解

现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等.方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好完.根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.分析观察下面植树示意图，可得如下等量关系：路长=相邻两树的间隔×(种植的树苗数-1）.设原有树苗x棵，由题意可得下表：方案间隔/m种植的树苗数路长/m一5x+215(x+21-

1)二5.5x5.5(x

-

1)本题中还有如下等量关系：

方案一的路长=方案二的路长.例3解

设原有树苗

x棵，根据题意，得

5(x+21-1)=5.5(x-1)

，解得

x=211.

因此，原有树苗211棵，这段路长

5×(211+21-1)=5×231=1155(m).

答：原有树苗211棵，这段路的长1155m．例3对应练习某道路一侧原有路灯106盏（两端都有），相邻两盏灯的距离为36m，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70m，则需安装新型节能灯多少盏？答：需安装新型节能灯55盏.解：设需安装新型节能灯x盏，根据题意，得解得x=55.70（x-1）=（106-1)×36.间隔问题应用比较普遍，如路边种树，街道装路灯等．

需要注意：(1)两个端点都种上树(装上灯)，则树数－1＝间隔数；(2)两个端点都不种树(装上灯)，则树数＋1＝间隔数．注意例4例题讲解

某校七年级甲班有45人，乙班有39人．现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多1人,那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛?分析本题中有如下等量关系:(1)甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1;(2)抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2.例4

某校七年级甲班有45人，乙班有39人．现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多1人,那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛?解

设从甲班抽调了x人，那么从乙班抽调了(x-1)人．根据题意，得

45-x=2[39-(x-1)].解得

x=35.于是，x-l=35-l=34.答:从甲班抽调了35人，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛.应用1

行程问题

返回

A

返回拓

展

为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定：所交水费分为标准内水费与超标部分水费两部分，其中标准内水费为1.96元/t，超标部分水费为2.94元/t.某家庭6月份用水12t，需交水费27.44元.求该市规定的家庭月标准用水量.

本问题首先要判断所交水费

27.44元中是否含有超标部分，由于1.96×12=23.52(元)，小于27.44元，因此所交水费中含有超标部分的水费，即

月标准内水费+超标部分的水费=该月所交水费设家庭月标准用水量为

xt，根据等量关系，得

1.96x+(12-

x)×2.94=27.44.解得

x=8.因此，该市家庭月标准用水量为8t．对应练习为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每户每月用电不超过150kW·h，那么1kW·h电按0.5元缴纳；超过部分则按1kW·h电0.8元缴纳.如果小张家某月缴纳的电费为147.8元，那么小张家该月用电多少？0.8（x-150）+150×0.5=147.8.解得x=241.答：小张家该月用电约241kw·h.解：设小张家该月用电x

kw·h，根据题意，得

解分段计费问题首先要考虑收费是在哪一段，所用水(电)是否超过标准．如果在标准内，那么所交费用＝标准内费率×所用水(电)量；如果超过标准，那么所交费用＝标准内费用＋超过标准的费用，即：所交费用＝标准内费率×标准量＋标准外费率×超过标准的量．注意1.行程问题中的常见类型（1）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.（2）追及问题

①同时不同地：快者走的路程=慢者走的路程+两地距离；

②同地不同时：快者走的路程=慢者走的路程（两者时间不同）.归纳

4.销售问题中的关系式利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率；利润率＝×100%＝×100%；售价＝标价×折扣率＝进价＋利润＝进价×(1＋利润率)．5.销售中的盈亏总售价＞总成本总售价＜总成本总售价＝总成本盈利亏损不盈不亏补充练习（分段收费）1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5t，每吨水费x元；超过5t，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9t，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（）A．5x+4（x+2）=44B．5x+4（x-2）=44C．9（x+2）=44D．9（x+2）-4×2=44A2.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.A计时制：0.05元/分钟；B包月制：60元/月(限一部个人住宅电话上网).此外，两种上网方式都得加收通信费0.02元/分钟．(1)某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用.解：(1)采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，

采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；解：(2)由4.2x＝60＋1.2x，得

x＝20.又由题意可知，上网

时间越长，采用包月制越合算．所以，

当0<x<20时，采用计时制合算；当x＝20时，采用两种方式费用相同；当x>20时，采用包月制合算．2.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.A计时制：0.05元/分钟；B包月制：60元/月(限一部个人住宅电话上网).此外，两种上网方式都得加收通信费0.02元/分钟．(2)你认为采用哪种方式比较合算？3.用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元.问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？(复印的页数不为零)复印页数x复印社复印费用/元图书馆复印费用/元x小于200.12x0.1xx等于200.12×20＝2.40.1×20＝2x大于202.4＋0.09(x－20)0.1x解：设复印页数为x，依题意，列表得：(3)当

x大于20时，依题意得2.4+0.09(x－20)＝0.1x.解得x

＝60

所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；当x等于60时，两者价格相同；当x大于60时，复印社价格便宜.综上所述：当

x

小于60页时，图书馆价格便宜；当

x

等于60时，两者价格相同；当

x

大于60时，复印社价格便宜.(1)当

x＜20时，0.12x大于

0.1x

恒成立，图书馆价格便宜；(2)当x=20时，图书馆价格便宜；补充练习（路程问题）2.A、B两地相距27千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行.已知甲的速度为4千米/时，乙的速度为5千米/时，则甲、乙两人______小时后相遇.31.汽车以72km/h的