自考《线性代数（经管类）》练习题及答案

自考《线性代数（经管类）》练习题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1.设A为3阶方阵，且|A|=A.−B.−C.−D.16答案：C解析：|−2.设A,B均为A.(B.(C.|D.(答案：C解析：转置的反序性质应为(AB)3.下列向量组中，线性相关的是（）。A.α1=(1B.α1=C.α1=D.α1=答案：B解析：α24.设矩阵A=12A.3B.1C.1D.3答案：A解析：|λ5.二次型f(A.1B.1C.1D.1答案：A解析：2x1x二、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式12答案：−2.设A为3阶方阵，且|A|=答案：−3.设矩阵A=10答案：14.设向量α=(1,−答案：−5.矩阵A=答案：16.设A为3阶矩阵，且A的特征值为1,2,答案：−7.设向量组α1=(1,答案：28.设向量α=(1,2答案：(9.齐次线性方程组x1答案：210.二次型f(答案：1三、计算题（每小题9分，共63分）1.计算行列式D答案：D解析：把第2、3、4列都加到第1列，各行第1列均为10，提出10：D再用第1行消去第2、3、4行的第1列元素：D按第一行展开：=2.设矩阵A=111011答案：X解析：先求A−1。对$$\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}\to

\begin{pmatrix}1&0&0&1&-1&0\\0&1&0&0&1&-1\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix},$$所以A因此$$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\\1&0\end{pmatrix}.$$3.求非齐次线性方程组x的通解。答案：x1x2解析：对增广矩阵作初等行变换：$$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&3&1&2\\1&1&2&1\end{pmatrix}

\xrightarrow{R_2-2R_1,\,R_3-R_1}

\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&0\\0&-1&3&0\end{pmatrix}

\xrightarrow{R_3-R_2}

\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$由−x2+3xx令x3x4.设向量组α求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。答案：秩为2，极大线性无关组可取α1α解析：以α1$$\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&2&0&1\\1&3&-1&2\end{pmatrix}

\xrightarrow{R_2-R_1,\,R_3-R_1}

\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&1&-1&1\\0&2&-2&2\end{pmatrix}

\xrightarrow{R_3-2R_2}

\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}

\to

\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$第1、2列为非零首元所在列，故α1α5.求矩阵A=答案：特征值为1,k解析：特征多项式为$$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&0&-1\\0&\lambda-2&0\\0&0&\lambda-3\end{vmatrix}

=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3).$$所以特征值为λ1当λ=1时，解(A−E当λ=2时，解(A−2当λ=3时，解(A−36.设矩阵A=11011000答案：A能对角化。可取$$P=\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad

\Lambda=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}.$$解析：特征多项式$$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&0\\-1&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-2\end{vmatrix}

=\lambda(\lambda-2)^2.$$特征值为0,当λ=2时，A−当λ=0时，其几何重数为1，也等于代数重数。因此解(A−0E)x=0，得特征向量P7.用配方法化二次型f为标准形，并写出所用的可逆线性变换。答案：标准形为f=y解析：对含x1f再对x2x故f令y即$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}1&-1&-2\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}.$$该变换矩阵行列式为1，故为可逆线性变