第3章 代数式知识归纳与题型突破（单元复习 13类题型清单）（原卷版）

第3章代数式知识归纳与题型突破（题型清单）一、代数式的概念用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.【要点提示】1.单个数字与字母也是代数式;2.代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号;3.代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解.二、代数式的书写规则1.代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写;数与字母相乘时，数应写在字母前面;数与数相乘时，仍用“×”号;2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘;3.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写;4.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面;如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面.三、列代数式1.列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式.2正确列出代数式，要掌握以下几点：（1）列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系;（2）要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等;（3）要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等.四、代数式的值1.已知字母的值，直接代入求代数式的值；2.已知式子的值，整体代入求代数式的值.五、单项式1.单项式的概念：如-2xy2，1mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．【要点提示】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．st1（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成st。但若分母中含有字母，5如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．m2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．【要点提示】（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：x2y写成x2y．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．【要点提示】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．六、多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【要点提示】“几个”是指两个或两个以上．2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．【要点提示】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2-2x-7是一个三项式．3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．【要点提示】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．七、整式单项式与多项式统称为整式．【要点提示】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．八、同类项用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.【要点提示】1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．九、合并同类项1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．【要点提示】合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．(2)合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.十、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．【要点提示】(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．十一、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．【要点提示】(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：a+b_ca+，a_b+c十二、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．【要点提示】（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．题型一代数式的概念例题23-24七年级上·广西桂林·阶段练习）下列式子：①3m；x=_3；⑦0．其中是代数式个数的有()A．2个B．3个C．4个D．5个巩固训练123-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）在式子n_3，a2b3，m_s<2，1+80%t，_xy，S=ab中，代数A．1个B．2个C．3个D．4个223-24七年级上·河南新乡·期中）下列各式：_xV=a，其中代数式的个数是()A．5B．432023七年级上·全国·专题练习）在_3x=2，0，5y_1，S=πd2，x≥y，s，a2006中，是代数式的有A．4B．5C．6D．7题型二代数式的书写方法例题23-24九年级下·重庆·开学考试）下列式子，符合代数式书写格式的是()23巩固训练123-24六年级上·山东淄博·期末）下列代数式书写正确的是()A．2axbB．ab÷cC．mn2D．223-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是()2323-24七年级上·吉林长春·期中）下列代数式书写正确的是()A．abB．abC题型三列代数式例题23-24七年级上·上海·单元测试）设甲数是m，乙数是n，用代数式表示：甲、乙两数平方的和为，甲、乙两数和的立方为．巩固训练123-24七年级下·安徽·单元测试）某排队窗口开始办理业务时有30人排队，以后每分钟来2个新顾客，窗口每分钟可以办理5个顾客，业务员办理x(x<10)分钟后，还有人在排队．224-25九年级上·全国·课后作业）用代数式表示：（1）a与b的差的平方：；（22024新疆）若每个篮球30元，则购买n个篮球需要元．324-25九年级上·全国·课后作业）用含x的代数式填空：①若甲开车以x千米/时的速度行驶了3小时，则行驶路程为千米．②若甲开车从A地以x千米/时的速度前往300千米外的B地，则所需的时间为小时．③若小船在静水中航行的速度为x千米/时，水流的速度为6千米/时，则小船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时．题型四单项式、多项式、整式的判断例题23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内：单项式：{多项式：{整式：{巩固训练1.（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）在式子2x+3y0.5，_2x，3a2b，中，单项式的个A．2个B．3个C．4个D．5个223-24七年级上·江苏苏州·期末）下列式子1ab，a+b，1+2，x2+x_3中，多项式有()32xyA．1个B．2个C．3个D．4个323-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列式子中：_a，2abc，x_y，3，8x2_7x2+2，整式有()3xA．2个B．3个C．4个D．5个422-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类．题型五已知字母的值，求代数式的值例题23-24七年级上·江苏徐州·期末）在代数式5m+3n_k中，当m=1，n=2时，它的值是10，那么当m=_1，n=_2时，代数式的值是．巩固训练y的值为多少？223-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知a，b互为倒数，e是最大的负整数，且c，d互为相反数．求代数式e2024的值．看成一个整体，则4(a+b)_2(a+b)+(a+b)=(4_2+1)(a+b)=3(a+b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：(1)把(a_b)2看成一个整体，合并3(a_b)2_6(a_b)2+2(a_b)2的结果是多少？(2)已知x2_2y=4，求3x2_6y_21的值；(3)当x=1时，多项式ax3+bx_2的值为2，则当x=_1时，该多项式的值是多少？题型六同类项的判断例题23-24七年级上·海南儋州·期末）下列各式中，与5x3y2是同类项的是()A．3x5B．2x2y3C．_x3y2D．_3巩固训练122-23七年级上·河北唐山·单元测试）下列各选项中的两个单项式，不是同类项的是()A．3x2y与_2yx2B．2ab2与_ba2C．与5xyD．23a与32a223-24七年级上·江苏徐州·期末）不是同类项的是()A．3xy和4xyB．_x2y和5xy2C．4x2y3和2x2y3D．5xy3和y3x323-24七年级上·山东青岛·期末）下列各组中的两项不是同类项的是()A．2x2y3与_3x2y3B．10a3b2c与10a2b3cC．5xy与yxD．题型七单项式的系数、次数3例题23-24七年级下·青海西宁·开学考试）单项式_xy的系数是，次数是．5巩固训练123-24七年级上·四川成都·阶段练习）_πxyz的系数是，次数是．3223-24七年级上·湖北荆门·单元测试）单项式_32πxy2z2的系数是，次数是．323-24七年级上·四川内江·期末）单项式_πxyz的系数是，次数是；5题型八多项式的项、项数或次数例题23-24七年级上·上海·单元测试）多项式2x2_y2+xy_4x3y3+1是次项式，其中最高次项的系数是．巩固训练123-24七年级上·上海青浦·期中）多项式4x3_x2y2_5+3xy是次项式，常数项是．223x2y3223-24七年级上·湖南怀化·期末）多项式2xy__1的次数最高项的系数是，常数项是．7323-24六年级下·全国·假期作业）多项式4a3b3_8ab+7a2b_15的二次项系数是，三次项系数是，常数项是，次数最高项的系数是．题型九写出满足某些特征的单项式、多项式例题23-24七年级下·广东东莞·期中）写出一个含有字母x、y的五次单项式巩固训练123-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为_1，含有字母x，y的三次单项式．223-24七年级下·河南洛阳·开学考试）请你写出一个关于x的二次三项式，使得它的二次项系数为_1，2则这个二次三项式是．323-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母m的二次三项式，它的常数项是_1，请写出一个满足条件的多项式．题型十整式的加减混合运算例题2024七年级上·全国·专题练习）化简：(1)(5a2_4ab+2b2)+(3a2_2ab_2b2)；(2)2(4x2_5x_6)_3(2x2_5x+6)．巩固训练123-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子：(1)m_5m2+3_2m_1+5m2；(2x2_3xy+4y223-24六年级上·山东青岛·期末）化简：a2b-3ab2)-2(a2b-7ab2)323-24七年级上·江西吉安·期中）计算：(1)5(2x-7y)-3(3x-10y)；3a2ba2b题型十一整式加减运算中先化简再求值例题23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）先化简，再求值，其中x=-2，y=3．巩固训练122-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：(4a2b-3ab)+(-5a2b+2ab)-(-ba2-1)，其中a=2，223-24七年级下·河南濮阳·开学考试）先化简，再求值：2(a2b+ab)-3(a2b-ab)-4a2b，其中a=1，b=-1．323-24七年级上·安徽·单元测试）先化简、再求值：2xy-3(x2y-xy2)+2(x2y-xy2-xy)，其中x=1、y=-1423-24七年级下·重庆·开学考试）化简求值：2a2b-ab2-2(2a2b-ab2)-ab2，其中a-1+b+3=0．(2)化简并求出2a2b_ab2_2(2a2b_ab2)_ab2的值．题型十二整式的加减运算中错解复原问题例题23-24七年级上·广东江门·阶段练习）小明化简(4a2_2a_6)_2(2a2_2a_5)的过程如下，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程：解：(4a2_2a_6)_2(2a2_2a_5)=4a2_2a_6_4a2+4a+5①=2a_1③(1)他化简过程中出错的是第步（填序号(2)请写出正确的解答过程巩固训练123-24七年级上·宁夏吴忠·期中）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．b_4ab)第一步=3ab+2a2b+3_2a2b_4ab第二步=3_ab