专题06 有理数的乘方（六大题型40题）（解析版）

题型一：有理数幂的概念理解 1题型二：有理数的乘方运算 4题型三：有理数乘方逆运算 8题型四：乘方的应用 11题型五：用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型六：将用科学记数法表示的数变回原数 17一、题型一：有理数幂的概念理解122-23七年级上·广东湛江·期中）(-2)6表示()A．6个-2相乘的积B．-2乘以6的积C．-2个6相乘的积D．6与-2相乘的积【答案】【答案】A【分析】本题考查了有理数的乘法的意义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大．根据乘方的意义直接回答即可．【详解】根据乘方的意义知：(-2)6表示6个-2相乘的积，故选A．223-24七年级上·江苏南京·阶段练习）参照如图写成的数学式子，正确的是()2m2m2mm2【答案】【答案】C【分析】根据乘方的概念，可以知道分子为2m，根据乘法的概念，可得分母为3n，即可得出答案．【详解】解：【详解】解：由图可知：数学式为．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的运算，熟练乘方的表示方法是解题的关键．2m323-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）m为任意有理数，下列说法正确的是()A．(m+1)2总是正数B．m2+1总是正数C．-(m+1)2总是正数D．1-m2的值【答案】【答案】B【分析】根据偶次幂的非负性可进行求解．2总是非负数，m2+1总是正数，-(m+1)2总是非正数，1-m2的值总比1小或相等；故选B．【点睛】本题主要考查偶次幂的非负性，熟练掌握偶次幂的非负性是解题的关键．42023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．(1)(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)×(-3.14)；【答案】(1)底数是-3.14，指数是52(2)底数是，指数是65(3)底数是m，指数是2n【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；（3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可．5其中底数是-3.14，指数是5；2其中底数是，指数是6；5其中底数是m，指数是2n．【点睛】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．an表示n个a相乘．521-22七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(﹣3）÷(﹣3）÷(﹣3）÷ (﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”，(﹣3）÷(﹣3）÷(﹣3）÷ (﹣3）记作(_3)④,读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ,读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2（2）关于除方，下列说法错误的是A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；C．3④=4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(_3)的圈4次方5的圈5次方的圈6次方=.（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；（3）算一算：24÷23+(_8)x2③.【答案】初步探究（1）2；_82）C；深入思考（1）32，53，242）an_23）_1．【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1总结（1）得到通项（2根据法则计算出（3）的结果．【详解】初步探究解：初步探究【详解】初步探究解：初步探究(_)⑤=（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确；C则3④≠4③；所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选C；深入思考4；故答案为：24．1故答案为：an_2．③【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．二、题型二：有理数的乘方运算623-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定：a&b=ab_ab，则(-1)&2022的值为()A．2023B．2022C．-2023D．-2021【答案】【答案】A【分析】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．【详解】解：(-1)&2022=(-1)2022-(-1)x2022=1+2022=2023，故选A．723-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，则a+b-.x2022的值为()A．-2B．-1C．0D．1【答案】【答案】Bx2022=(±1)2022=1，然后代值求解即可．【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，故选：B．【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值，有理数的乘方，代数式求值．熟练掌握相反数，倒数，绝对值，有理数的乘方，代数式求值是解题的关键．823-24七年级下·江苏淮安·期末）下列选项中，可以用来说明命题“若a>b，则a2>b2”属于假命题的反C．a=-1，b=-2【答案】【答案】C【分析】本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可．根据各选项中a、b的值，得出a2与b2的关系，与命题相反即为假命题的反例．【详解】解：A、当a=2，b=1时，a>b，且a2>b2，不是假命题的反例，不符合题意；BB、当a=2，b=_1时，a>b，且a2>b2，不是假命题的反例，不符合题意；C、当a=_1，b=_2时，a>b，而a2<b2，是假命题的反例，符合题意；D、当a=1，b=0时，a>b，且a2>b2，不是假命题的反例，不符合题意；故选：C．923-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算3+3++xmn【答案】【答案】A【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键．【详解】m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，故+的结果是3m+4n，mn故选A．1022-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）a，b互为相反数，a≠0，n为自然数，则()A．an，bn互为相反数B．a2n，b2n互为相反数2n+1，b2n+1互为相反数D．以上都不对【答案】【答案】C【分析】本题考查了相反数的定义、有理数的乘方，由题意得：a+b=0，即a=_b，再根据有理数的乘方法则计算，结合相反数的定义逐项判断即可．【详解】解：由题意得：a+b=0，即a=_b，A、当n为奇数时，an+bn=0，即an，bn互为相反数，当n为偶数时，an+bn=2an，即an，bn不互为相反数，故A不符合题意；B、a2n+b2n=a2n+(_a)2n=a2n+a2n=2a2n，即a2n，b2n不互为相反数，故B不符合题意；C、a2n+1+b2n+1=a2n+1+(_a)2n+1=a2n+1_a2n+1=0，即a2n+1，b2n+1互为相反数，故C符合题意；故选：C．1123-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是()A．(-3)2与_32B．|_3|2与_32C．(_3)3与_33D．|_3|3与_33【答案】【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方逐项分析判断，即可求解．【详解】解：【详解】解：A.(-3)2=9与__32=_9，不相等，故该选项不符合题意；2=_9，不相等，故该选项不符合题意；C.(_3)3=_27与__33=_27，相等，故该选项符合题意；D.|_3|33=_27，不相等，故该选项不符合题意；故选：C．1223-24七年级上·江苏南京·期末）对于代数式1_m2的值，下列说法一定正确的是()A．比1小B．比_1大C．比m2小D．比_m2大【答案】【答案】D【分析】本题考查偶次方的非负性，有理数大小的比较．根据m2≥0，推出_m2<_m2+1≤1，即可得出结∴_m2故选D．1323-24七年级上·江苏泰州·期中）计算：(_1)2023_(_1)2024，其值为()【答案】【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算以及有理数的减法运算，先算乘方，再算减法即可．【详解】解：(_1)2023_(_1)2024=_1_1故选：D．1422-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知22+22=2m，34+34+34=3n，则m+n的值为．【答案】8【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方进行计算即可．故答案为：故答案为：8．1523-24七年级上·江苏徐州·期中）m是整数，且5<m2<11，则m=．【答案】【答案】±3【分析】本题考查了有理数的乘方，以及有理数的大小比较，根据乘方的意义解答即可．【详解】解：∵m是整数，且5<m2<11，故答案为：±3．三、题型三：有理数乘方逆运算1623-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知_a=2，b2=25，且ab>0，则_2ab时值为()【答案】【答案】A【分析】根据绝对值和乘方的性质求出a和b的值，再根据ab>0得到a和b同号，分类讨论求出_2ab的值．【详解】解：∵|_a|=2,b2=25，当a=2,b=5时，_2ab=_2x2x5=_20;当a=_2,b=_5时，_2ab=_2x(_2)x(_5)=_20;综上，_2ab的值为_20，故选：A．【点睛】本题考查绝对值和乘方的性质，解题的关键是根据题意得到a和b同号．1722-23七年级上·福建厦门·期中）若126x38=p，则126x36的值可以表示为()【答案】【答案】D【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．【详解】∵126x38=p,626故选：D．1821-22七年级上·江苏南京·期末）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2=()A．45369B．45371C．45465D．46489【答案】【答案】A【分析】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答．【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数，故选：A．【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键．1923-24七年级上·江苏镇江·期中）已知a2=25，那么a=．【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．【详解】解：∵a2=25，202023七年级上·江苏·专题练习）如果a④b=c，则ac=b，根据此规定，3④27=．【答案】3【分析】根据题意代入具体的数值计算即可求解．故答案为：3．【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．2123-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：(a.b)2=a2.b2，(a.b)3=a3.b3，(a.b)4=a4.b4，(a.b)5=a5.b5…解答下列问题：【答案】【答案】(1)anbn【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案；（2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为再计算即可．归纳可得：(a.b)n=anbn；（2）(-0.125)2022×22021×420202【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键．2222-23七年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料，并解决下面的问题:我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23=8一般地，若an=b(a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab=n，且具有性质：①logabn=nlogab；②logaan=n；③logaM+logaN=loga(M.N)，其中a>0且a≠1，M>0，N>0.根据上面的规定，请解决下面问题:(1)log33=，log64+log69=；(请直接写出结果)已知logx2=y，则logx16=用含y的代数式来表示）(2)已知m=log23，请你用含m的代数式来表示n，其中n=log236(请写出必要的过程).【答案】【答案】(1)1；2；4y【分析】（1）根据乘方逆运算的法则解答即可；（2）先将所求的式子变形为log236=log29+log24，再根据乘方逆运算的法则求解即可.∴log64+log69=2；∵logx2=y，∴logx16=logx24=4logx2=4y；故答案为：1；2；4y；∴n=log236=log29+log24=log232+log222=2log23+2log22【点睛】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方逆运算法则是关键.四、题型四：乘方的应用根据上述算式中的规律，22022+(-3)2023的末位数字是()【答案】【答案】A【分析】分别求出22022,(-3)2023的末位数字，再相加即可．【详解】解：由题知，所以2n的末位数字按2,4,8,6循环出现，又2022÷4=505余2，所以22022的末位数字是4．所以3n的末位数字按3,9,7,1循环出现，又2023÷4=505余3，所以32023的末位数字是7．22022+(-3)2023=-(32023-22022)的末位数字是3故选：A．【点睛】本题考查尾数特征，能根据所给的2的乘方和3的乘方的尾数发现其出现的规律是解题的关键．2422-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第100次截取后，此木杆剩下的长度为()【答案】【答案】B【分析】根据题意，利用乘方的意义确定出剩下的长度即可．【详解】解：第1次截取其长度的一半，剩下长度为尺，第2次截取其第1次剩下长度的一半，剩下的长度为尺，第3次截取其第2次剩下长度的一半，剩下的长度为尺，如此反复，第100次截取后，木杆剩下的长度为，11则此木杆剩下的长度为尺故选：B．【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．2521-22七年级上·安徽滁州·期末）把一张厚度为0.1mm且足够大的长方形纸连续对折，要使对折后整叠纸总厚度超过12mm，至少要对折()【答案】【答案】B【分析】设折叠n次，则总厚度为0.1×2n，由题意可得0.1×2n>12，即可求n的值．【详解】解：由题意可知，每次对折后厚度都是前一次的2倍，设折叠n次，则总厚度为0.1×2n，∵折叠后总厚度超过12mm，∴2n>120，故选：B．【点睛】本题考查有理数的乘方，理解题意，找到折叠规律是解题的关键．2623-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是米．【答案】2【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键．根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度．【详解】解：第一天截取后剩：米第二天截取后剩：米∴第五天截取后剩：米．故答案为：2．2723-24七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，a_1=5，b3=_27，a_b=a_b，点Р在数轴上且PA=2PB，则点Р表示的数是．【答案】【答案】_12或0【分析】根据题意先求出a=6，b=_3，设点Р表示的数是x，由PA=2PB得到x_6=2x+3，解方程即可得到答案，此题考查了绝对值、乘方、绝对值方程，根据题意列出方程是解题的关键．【详解】解：∵a_b=a_b，∵a_1=5，b3=_27，设点Р表示的数是x，解得x=_12或x=0，即点Р表示的数是_12或0故答案为：_12或02822-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足|a+2|+（c_7）2=0.P是数轴上一动点，P点表示的数是x，当PA+PB+PC=10时，x=.【答案】【答案】0或2【分析】由非负数的性质列出方程求出ac的值，由有理数的概念求出b值，根据两点之间线段最短判断出PA+PC最小即可求值．【详解】由题意可知：a+2=0，c-7=0，∵b是最小的正整数，所以PA+PC最小值为：7_(_2)=9，解得：x=0或x=2，故答案为：0或2．【点睛】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，熟练掌握非负数的性质是解决本题的关键．2923-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：22x23=(2x2)x(2x2x2)=25．请你试一试，完成以下题目：(2)归纳、概括：am.an=；(3)如果xm=4，xn=25，运用以上的结论，计算：xm+n=．【答案】【答案】(1)a7(2)am+n(3)100【分析】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键．（1）直接利用已知计算得出答案；（2）利用（1）中所求进而得出答案；（3）利用（2）中所求，将原式变形进而得出答案．（2）归纳、概括：am.an=am+n；运用以上的结论，计算：xm+n=xm.xn=4x25=1003023-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）为了求1+2+22+23+24++22013的值，可令2S-S=(2+22+23++22013+22014)-(1+2+22+23++22013)=22014_1．所以：S=22014−1．即1+2+22+23+24++22013=22014-1．请依照此法，求：1+4+42+43+44++42023的值．442024-1【答案】3【分析】设S=1+4+42+43+44++42023，表示出4S，然后求解即可．【详解】解：设S=1+4+42+43+44++42023，:4S-S=42014-1，【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求解方法是解题的关键．五、题型五：用科学记数法表示绝对值大于1的数3122-23七年级上·江苏徐州·期中）据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为()【答案】【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10,n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10,n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．3223-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为．nn为整数即可求解，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．【详解】解：42000000=4.23323-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万数据7358万用科学记数法表示．【答案】【答案】7.358×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值≥10时，n是正数，当原数的绝对值<1时，n是负数，根据此可得出结果．故答案为：7.358×107．【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，正确确定a的值以及n的值是解本题的关键．3422-23七年级上·江苏南京·阶段练习）“奉淮e课堂”在此次疫情期间为全国师生提供“云服务”，该课程日均访问量达1200000．用科学记数法表示1200000是．【分析】用科学记数法表示即可，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a≤10，a不为分数形式，n为整数这种记数法叫做科学记数法．【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的方法．3522-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）镇江西津渡古街是镇江文物古迹保存最多、最集中、最好的街区，其占地约50万平方米，50万平方米这个数字用科学记数法可记为平方米．【答案】【答案】5×105【分析】根据科学记数法的公式a×10n，1≤a<10书写即可；故