专题09 用代数式表示数、图形的规律（20题）（解析版）

学校:姓名：班级：考号：一、单选题123-24七年级上·江苏连云港·期中）按如图所示方式用火柴棒搭五边形，搭1个五边形需要5根火柴棒，搭2个五边形需要9根火柴棒，按此规律，搭101个五边形需要根火柴棒．A．401B．405C．409D．505【答案】【答案】B【分析】观察图形，分别找出搭1个，2个，3个五边形所需要的火柴棒，寻找规律即可求出答案．【详解】解：由图可知，搭1个五边形需要5根火柴棒，可以看作是(4+1)根火柴棒，搭2个五边形需要9根火柴棒，可以看作是(4+4+1)根火柴棒，搭3个五边形需要13根火柴棒，可以看作是(4+4+4+1)根火柴棒，以此类推搭n个五边形需要(4n+1)根火柴棒，:搭101个五边形需要4n+1=4x101+1=405根火柴棒．故选：B．【点睛】本题考查的是数与形的排列规律知识，解题的关键在于通过数形结合的方法寻找规律，形成公式．223-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有n(n>1)个点．当n=2023时，这个图形总的点数S为()A．8080B．8084C．8088D．8092【答案】【答案】C【分析】本题考查了图形的变化类问题，通过图形的变化，归纳总结，找到规律是解答本题的关键．根据图形的变化，当n=2023时，图形总的点数为：4x1+(2023-2)x4=8088，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：【详解】解：根据题意得：当n=2时，图形总的点数为：4×1=4；当n=3时，图形总的点数为：4×1+1×4=8；当n=4时，图形总的点数为：4×1+2×4=12；当n=5时，图形总的点数为：4×1+3×4=16；…当n=2023时，图形总的点数为：4×1+(2023-2)×4=8088．323-24七年级上·江苏苏州·期中）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D，请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→的方式）从A开始数连续的正整数1,2,3,4，当字母C第2022次出现时，恰好数到的数是()A．6072B．6071C．6065D．6066【答案】C【分析】本题考查数的排列规律，分别求出正整数1，2，3，4所对应的字母，再根据发现的规律即可解答．能根据数的方式发现字母和所数的数之间的规律是解题的关键．【详解】解：根据题意，列出相应的表格，如下图，观察表格可知，字母C所对应数是3，5，9，11，15，17所以字母C第1次出现，数到的数是3=1×6+(-3)；字母C第3次出现，数到的数是9=2×6+(-3)；字母字母C第5次出现，数到的数是15=3×6+(-3)；…所以字母C第2021次出现，数到的数是×6+(-3)=6063，因此字母C第2022次出现，数到的数是6063+2=6065．故选：C．423-24七年级上·江苏无锡·期中）观察并找出图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量A．2020B．3031C．2021D．3032【答案】【答案】D【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可．【详解】解：根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，第4个图形中黑色正方形的数量为6，n+1当n为奇数时，黑色正方形的个数为：n+，当n为偶数时，黑色正方形的个数为：n+n，22021+1∴第2021个图形中黑色正方形的数量是：2021+=3032，2故选：D．【点睛】本题主要考查列代数式归纳图形的变化规律，找出规律列出代数式是解题的关键．523-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图1画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图2画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图3当在一张白纸上画15条直线，最多能把白纸分成的部分是()A．120B．121C．122D．123【答案】【答案】B【分析】根据题意可得n＝1，a1＝1＋1；n＝2，a2＝a1＋2；n＝3，a3＝a2＋3；n＝n，an＝an−1＋n，以上式子相加整理可得一般式，进而可得结果．【详解】解：根据题意得：以上式子相加整理得，an＝1＋1＋2＋3+.∴15条直线最多能把白纸分为：1＋＝121部分．2故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．622-23七年级上·江苏·期中）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中，图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2=3，第三个三角形数是1+2+3=6， 图②的点数叫做四边形数，从上至下第一个四边形数是1，第二个四边形数是1+3=4，第三个四边形数是1+3+5=9，由此类推，图③中第六个五边形数是()A．48B．49【答案】D【分析】根据图形抽象概括出数字规律，进行求解即可．【详解】解：由题意知：第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4=5，第三个五边形数1+4+7=12，由此可知：第n个五边形数为：1+1+3+1+3×2+1+3×3++1+3(n-1)3n2-n=2;∴六个五边形数是：故选D．【点睛】本题考查探究图形规律，通过图形，抽象概括出数字规律是解题的关键．723-24七年级上·湖北荆州·期中）按如图方式摆放餐桌和椅子：桌子张数1234…n可坐人数68…nn张餐桌可坐的人数为()A．n+5B．2n+6C．2nD．2n+4【答案】D【分析】根据桌子左右总有4把椅子，前后的椅子数是桌子的2倍，表示出n张桌子时的椅子数目即可．【详解】解：由图可得1张桌子时，有4+2＝6把椅子；2张桌子时，有4+2×2＝8把椅子；3张桌子时，有4+3×2＝10把椅子；4张桌子时，有4+4×2＝12把椅子；…n张桌子时，有（4+n×2）把椅子．故选：D．【点睛】本题考查了图形的规律性问题；得到不变的量及变化的量与n的关系是解决本题的关键．二、填空题822-23七年级上·江苏泰州·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，依此规律，第n个图形的小圆的个数是．【答案】【答案】n(n+1)+4【分析】根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小圆的个数，通过归纳得出第n个图形的小圆的个数是n(n+1)+4．【详解】解：由图知：第一个图形有6=1×2+4个小圆，第一个图形有10=2×3+4个小圆，第一个图形有16=3×4+4个小圆，第n个图形有n(n+1)+4个小圆，故答案为：n(n+1)+4．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中小圆个数的变化规律．922-23七年级上·江苏盐城·期中）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第100个图中共有木料根．【答案】【答案】5050【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，共有1+2+3+4+…+n根据此可得答案．【详解】解：由图可知：第一个图形有木料1根，第二个图形有木料1+2=3（根第三个图形有木料1+2+3=6（根第四个图形有木料1+2+3+4=10（根第n个图有木料故答案为：5050．【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解题的关键．1023-24七年级上·江苏·周测）如图，将一列数按数表中的规律排列，则第n行最中间的数可以表示为用含n的代数式表示）【答案】n2-n+1【分析】观察最中间的数为正数，第1行有1个数；第2行有3个数；第3行有5个数；第4行有7个数···所以第n行就有2n-1个数；再者第1行最后一个数为1；第2行最后一个数为4第3行第一个数为9，所以当n为偶数时，第n行最后一个数为n2，当n为奇数时，第一个数为n2；由此可推的第n行最中间的数就是第n行最后一个数(或第一个数)减去(2n-1-1)÷2=n-1即可．【详解】解：如图可得：第一行有1个数；第二行有3个数；第三行有5个数；第n行有2n-1个数；第一行的数为1；第二行最后一个数为4；第三行第一个数为9；当n为偶数时，第n行最后一个数为n2，当n为奇数时，第一个数为n2；由此可得：第n行最中间的数就是第n行最后一个（或第一个）数减去(2n-1-1)÷2=n-1，即：n2-(n-1)=n2-n+1．故答案为：n2-n+1． 【点睛】本题考查了数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或规律变化的因素，然后推广到一般情况．1123-24七年级上·江苏淮安·期中）在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是．【答案】【答案】423【分析】根据每一个图形都是第几个图形的平方，再加上第几个图形数，每个图形都多出3，再加上3，即可求出答案．【详解】解：根据所给的图形可得：第一个图有：5=1+1+3（个第二个图有：9=4+2+3（个第三个图有：15=9+3+3（个则第n个为n2+n+3，第20个图有：400+20+3=423（个故答案为：423．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．1223-24七年级上·江苏无锡·期中）老师让同学们自己写一个5位数，再将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是8019，5702316038，4058．你认为答对的是． 得到百位数相同，再根据相减的结果排除得到答案． 【详解】解：设原5位数为10000a+1000b+100c+10d+e，则顺序倒排后的5位数为10000e+1000d+100c+顺序倒排后的顺序倒排后的5位数减去原数得9999e+990d－990b－9999a=9999(e-a)+990(d-b)，由此可以知道，相减的结果是99的倍数，故甲、丙正确．故答案为：甲和丙．【点睛】本题用到的知识点是推理和论证，解题的关键是正确利用排除法进行排除．1323-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，图形都是由同样大小的“〇”按一定的规律组成其中第1个图形中一共有5个“〇”，第2个图形中一共有12个“〇”，第3个图形中一共有21个“〇”则第10个图形中“〇”的个数是．【答案】【答案】140【分析】根据前三个的变化情况，得到第n个图形中“〇”的个数是n(4+n)，代入计算即可．【详解】解：第1个图形中一共有5个，即1×(4+1)，第2个图形中一共有12个，即2×(4+2)，第3个图形中一共有21个，即3×(4+3)，…,故答案是：140．【点睛】本题考查的是规律：图形的变化类，解题的关键是根据题意、通过分析找到各部分的变化规律．1422-23七年级上·江苏苏州·期中）某休闲广场的地面中间是1块正六边形地砖，周围是用正方形和正三角形地砖按如图方式依次向外铺设10圈而成，其中第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，则铺设该广场共用地砖块．【答案】【答案】661【分析】由题意得：从里向外的第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，第二圈有有6块正方形和18块正三角形地砖，此后每一圈都比前一圈多12个正三角形，再列式计算即可得到答案.【详解】解：【详解】解：由题意得：从里向外的第1圈有6块正方形和6块正三角形地砖，第二圈有有6块正方形和18块正三角形地砖，此后每一圈都比前一圈多12个正三角形，所以第10圈含有的正三角形的个数有6+12´9=114（个所以铺设该广场共用地砖：6+=6+18+30+42+54+66+78+90+102+114+61=661（块）故答案为：661【点睛】本题考查的是图形类的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键.1523-24七年级上·江苏盐城·期中）观察一列数根据规律，请写出第16个数是．【答案】_257【分析】本题规律需要从符号与分数两块分析，符号规律为第奇数个数为正，第偶数个数为负，可知符号规律为(_1)n+1，分数规律为，由此可知该列数规律为：将n=16代入表达式即可．【详解】解：由题意可知，数字规律为，故答案为：_．257【点睛】本题主要考查的是数字规律，注意复杂的一列数可以将数分为多个部分进行逐个分析规律．1622-23七年级上·江苏盐城·期中）国庆节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当n=6时，s=．【答案】【答案】94【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可．【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可．【详解】解：∵S1=1，Sn=3×(2n_1_1)+1∴当n=6时，S6=3×(26_1_1)+1=9故答案为：94．【点睛】本题考查了图形和数字规律，解题的关键是找到合适的规律列出代数式．三、解答题172024七年级上·江苏·专题练习）如图，用几根火柴拼成的两把椅子和一张方桌，请移动其中的3根火柴，将方桌挪到椅子中间．【答案】见解析【分析】本题考查操作设计，将AB，BC，DE进行移动即可。【详解】解：如图：将AB，BC，DE分别按如图所示移动即可；1823-24七年级上·江苏淮安·期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形照此规律摆下去：(1)照此规律，摆成第5个图案需要个三角形；(2)照此规律，摆成第n个图案需要个三角形（用含n的代数式表示(3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？【答案】(1)16(2)3n+1【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“an=3n+1”是解题的关键．（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合a4的值即可求出a5的值；（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出an=(a2_a1)+(a3_a2)+(a4_a3)+…+(an_an_1)+a1=3n+1；（3）代入n=2021即可求出结论．【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要an个三角形．故答案为：16；（2）解：由（1）可知：an=(a2_a1)+(a3_a2)+(a4_a3)+…+(an_an_1)+a1=3n+1．故答案为：3n+1；（3）解：当n=2021时，a2021=3x2021+1=6064，∴摆成第2021个图案需要6064个三角形．1923-24七年级上·江苏扬州·期中）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．第（1）个图形中有1个正方形；第（2）个图形有1+3＝4个小正方形；第（3）个图形有1+3+5＝9个小正方形；第（4）个图形有1+3+5+7＝16小正方形；……(1)根据上面的发现我们可以猜想：1+3+5+7++（2n﹣1用含n的代数式表示(2)请根据你的发现计算：①1+3+5+7++99；②101+103+105