专题14 代数式的压轴题（20题）（解析版）

专题14代数式的压轴题（20题）一、单选题1．已知代数式m1=a，m2=2a，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，4=m3+m2=5a则下列说法正确的是()①若mn=34a，则n=8③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个④记前n个式子的和为Sn，则S2n+2-S2n=m2+m4+m6+...+m2n+m2n+2【答案】【答案】B【分析】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键．根据题目找出规律逐个判断即可解答．若mn=34a，则n=8，故①正确；推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，2024÷3=6742，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误．记前n个式子的和为Sn，则S2n+2=m1+m2+m3+...m2n-1+m2n+m2n+1，S2n=m1+m2+m3+...+m2n-1，所以S2n+2-S2n=(m1+m2+m3+...+m2n-1+m2n+m2n+1)-(m1+m2+m3+...+m2n-1)=m2n+m2n+1，故④错误．故选B．2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去，第2024次输出的结果是()【答案】【答案】B【分析】本题考查对程序框图的理解，以及根据数字找规律，根据程序框图计算出后面几次的输出结果，根据输出结果的特点，找出其规律，即可解题．【详解】解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，6为偶数:第3次输出的结果是3，3为奇数，3+5=8，:第4次输出的结果是8，8为偶数，:第5次输出的结果是4，4为偶数，:第6次输出的结果是2，2为偶数:第7次输出的结果是1，1为奇数，1+5=6，:第8次输出的结果是6，综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1，(2024-1)÷6=3371，:第2024次输出的结果是6．故选：B．3．在长方形ABCD中放入3个正方形如图所示，若AI=CJ，MN=PQ，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和()A．BFB．EHC．ABD．BC【答案】B【答案】B【分析】设正方形IBFM的边长为a，正方形KEHP的边长为b，正方形LGCJ的边长为c，由MN=PQ可得a+c=2b，将阴影部分的周长和表示出来，再把各条线段用含有a、b、c的式子代换，然后再化简，看最后结果与哪条线段有关即可．本题主要考查了列代数式及代数式的化简．把各条线段用含有a、b、c的式子表示是解题的关键．【详解】设正方形IBFM的边长为a，正方形KEHP的边长为b，正方形LGCJ的边长为c，∴阴影部分的周长和=AD+IM+KP+LJ+EF+GH+AI+KE+MF+L∴知道EH的长就可以求出图中阴影部分的周长和．故选：B4．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：a_(b+c)_(__d_e)，其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，_d为“数4”，_e为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：_e_(b+c)_(_d+a)；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：a_(c+b)_(_d_e)．下列说法：①代数式(a_b)+(c_d)__e进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果；②代数式a_(b+c_d_e)进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果；③代数式a+b__(c_d_e)进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果；④代数式a+b+c_(d_e)进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果，其中正确的个数是()【答案】B【分析】本题考查了去括号，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．根据题目所给“换位思考”的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：①(a_b)+(c_d)_e中括号前都是加号，所以无论怎么换位，结果不变，∴化简后是1种，故符合题意；②当a、b“换位思考”，结果为b_(a+c_d_e)=_a+b_c+d+e，当a、c“换位思考”，结果为c_(b+a_d_e)=_a_b+c+d+e，当a、e“换位思考”，结果为_e_(b+c_d+a)=_a_b_c+d_e，当a、d“换位思考”，结果为_d_(b+c+a_e)=_a_b_c_d+e，当b、c“换位思考”，结果为a_(c+b_d_e)=a_b_c+d+e，当b、d“换位思考”，结果为a_(_d+c+b_e)=a_b_c+d+e，当b、e“换位思考”，结果为a_(_e+c_d+b)=a_b_c+d+e，当c、d“换位思考”，结果为a_(b_d+c_e)=a_b_c+d+e，当c、e“换位思考”，结果为a_(b_e_d+c)=a_b_c+d+e，当d、e“换位思考”，结果为a_(b+c_e_d)=a_b_c+d+e，∴化简后可以得到5种结果；故符合题意；③当a、b“换位思考”，结果为b+a_(c_d_e)=a+b_c+d+e,当a、c“换位思考”，结果为c+b_(a_d_e)=_a+b+c+d+e,当a、e“换位思考”，结果为_e+b_(c_d+a)=_a+b_c+d_e，当a、d“换位思考”，结果为_d+b_(c+a_e)=_a+b_c_d+e，当b、c“换位思考”，结果为a+c_(b_d_e)=a_b+c+d+e，当b、d“换位思考”，结果为a+_d_(c+b_e)=a_b_c_d+e，当b、e“换位思考”，结果为a+_e_(c_d+b)=a_b_c+d_e，当c、d“换位思考”，结果为a+b_(_d+c_e)=a+b_c+d+e，当当c、e“换位思考”，结果为a+b_(_e_d+c)=a+b_c+d+e，当d、e“换位思考”，结果为a+b_(c_e_d)=a+b_c+d+e，∴化简后可以得到7种结果；故不符合题意；④当a、b“换位思考”，结果为b+a+c_(d_e)=a+b+c_d+e， 当a、e“换位思考”，结果为_e+b+c_(当a、d“换位思考”，结果为db+c_a+b+c+d+e，当b、c“换位思考”，结果为a+c+b_(d_e)=a+b+c_d+e，当b、d“换位思考”，结果为a+d+c_(b_e)=a_b+c+d+e，当b、e“换位思考”，结果为a+_e+c_(d+b)=a_b+c_d_e，当c、d“换位思考”，结果为a+b+d_(c_e)=a+b_c+d+e，当c、e“换位思考”，结果为a+b_e_(d+c)=a+b_c_d_e，当d、e“换位思考”，结果为a+b+c_(_e+d)=a+b+c_d+e，∴化简后可以得到7种结果；故不符合题意；故选：B．5．找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是()【答案】B【分析】本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过图形找到变化规律是解题的关键．【详解】解：根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，第第4个图形中黑色正方形的数量为6，n+1∴当n为奇数时，黑色正方形的个数为n+，2当n为偶数时，黑色正方形的个数为n+n，2∴第2023个图形中黑色正方形的数量是故选：B．6．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；（1）每次只能移动1个碟片．（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的n个碟片移动到2号杆子上最少需要an次，则a6=()【答案】D【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．n=2时，小盘→3柱，大盘→2柱，小盘从3柱→2柱，完成，即a2=3=22_1；n=3时，小盘→2柱，中盘→3柱，小盘从2柱→3柱，大盘→2柱，再用n=2的方法转移，即a3=7=23_1，以此类推，an=2n_1，:a6=26_1=63．故选：D．7．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：a_(b+c)_(_d_e)，其中称a为“数1”，b为“数2”，+c为“数3”，_d为“数4”，_e为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：_e_(b+c)_(_d+a)，则下列说法中正确的个数是()①代数式a_(b+c_d_e)进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变②代数式(a_b)+(c_d)_e进行1次“换位运算”，化简后只能得到a_b+c_d_e③代数式a+b_(c_d_e)进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果【答案】【答案】D【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义及整式的运算是解题的关键．根据括号外面是“+”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“_”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解．【详解】解：①代数式a_(b+c_d_e)进行一次“换位运算”，当b、c进行“换位运算“，时，与原结果相等，故①符合题意；②在代数式(a_b)+(c_d)_e中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号，故化简后只能得到一种结果，均为a_b+c_d_e，故②符合题意；③代数式a+b_(c_d_e)中，有三种情况：（1）a与b进行换位思考以及c，_d，_e三个数中任意两个进行换位思考，化简后只有1种结果，均为：a+b_c+d+e；（2）a与c，_d，_e分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为：（3）b与c，_d，_e分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为：故该代数式共得到7种结果，故③符合题意；故选：D． 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键．根据已知条件推出式子根据已知条件推出式子(b_c)与(c_b)的值，代入计算即得．即b_cc_b故选：D．9．对于两个多项式，若P=a1x2+b1x+c1，Q=a2x2+b2x+c2满足下列两种情形之一：则称多项式P为“较大”多项式，多项式Q为“较小”多项式．对于两个多项式A1=a1x2+b1x+c1和A2=a2x2+b2x+c2，若将A1和A2中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作A3，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对A2和A3进行“优选作差”操作得到A4以此类推，经过n次操作后得到的序列A1，A2，A3，…An称为“优选作差”序列{An}．现对A1=x2_1，A2=x2+x进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{An}，则下列说法：①A2025=x+1；②A1+A2+…+A10=7x2_6x_13；③当n=2025时，“优选作差”序列{An}中满足Ak_Ak+1=Ak+2的正整数k有1348个．其中正确的个数是()【答案】【答案】D【分析】根据题意列出A1到A12的值，找出值为x+1的规律，即可判断①,计算A+A2++A10=3(x+1)+7x2Ak_Ak+1≠Ak+2的k的值，根据规律计算k的个数，即可判断③,本题考查了，整式的加减，新定义，数字的规律探索，解题的关键是：找到满足条件的规律．【详解】解：【详解】解：∵A1=x2-1，A2=x2+x，x2-1，A5=x2-x-2，A6=x+1，A7=x2-2x-3，A8=x2-3x-4，，A10=x2-4x-5，=x2-5x-6，A12=x+1L、多项式为x+1，当m=675时，A675×3=A2025=x+1，故①正确；A+A2++A10=3(x+1)+7x2-(2+3+4)x-(1+1+2+3+4+5)=7x2-6x-13，故②正确；当k=1时，A1-A2=x2-1-x2-x=-x-1≠A3，当k=2时，A2-A3=x2+x-(x+1)=x2-1=A4，当k=3时，A3-A4=x+1-(x2-1)=x-x2当k=4时，A4-A5=x2-1-(x2-x-2)=x+1=A6，当k=5时，A5-A6=x2-x-2-(x+1)=x2-2x-3=A7，当k=6时，A6-A7=x+1-(x2-2x-3)=-x2+3x+4≠A8，L当m=675时，k=3´675=2025，k+2=2025+2=2027，不符合题意，∴在序列{An}中，共有675个k值使得Ak-Ak+1≠Ak+2，∴在序列{An}中，有2025-2-675=1348个k值使得Ak-Ak+1=Ak+2，故③正确，综上所述①②③均正确，个数为3，故选：D．二、填空题10．若一个四位正整数M=abcd（3≤a≤9，1≤b≤4，1≤c≤4，1≤d≤7各个数位上的数字均不为0，满足千位与个位数字之差等于百位与十位数字之和，则称这个四位数M为“分层数”．另定义对于一个四位正整数N，分别按顺序取千位数字与百位数字组成两位数，百位数字与十位数字组成两位数，十位数字与个位数字组成两位数，将3个两位数之和记为F(N)，例如F(1342)=13+34+42=89．则当k2（k为整数）时，代数式3a_d所有可能值的和为．按上述条件，满足b_c=1时M的值为．【答案】【答案】549432【分析】本题考查了整式的加减，有理数的乘方运算，整除，根据题意列出式子，分类讨论，即可求解．【详解】解：依题意，a_d=b+c，=21a_10d又k2即21a_10d+3d=21a_7d=7(3a_d)是整数，即3a_d=k2当a=4，12_d=32=9，则d=3当a=5，15_d=32=9，则d=6当a=6，18_d=42=16，则d=2，当a=7，21_d=16=42，则d=5，当a=8，则24_d=16=42，则d=8（不合题意）综上所述，3a_d所有可能值的和为4+9+16+25=54；由以上结论可得，当当b=2,c=1时，则a_d=3，不合题意，当b=4,c=3时，a_d=7，则a=9，d=2，此时M=9432M=9432故答案为：54，9432．11．十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocor（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，1它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列，从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第1二层是和，第三层是按照这个规律，若位于第m层第n个数（从左往右数则m=，n=【答案】【答案】833【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形归纳出向右发散的都是真分数，规律是向左发散的都是假分数，规律是并灵活利用规律是解题的关键．由图可知，向右发散的都是真分数，规律是向左发散的都是假分数，规律是根据此规律、逆向推理即可解答．【详解】解：由图可知，向右发散的都是真分数，规律是向左发散的都是假分数，规律是9∴在第8层，即m=8，由图知，左边有2个数，左边有4个数，左边有8个数，左边有16个数，2229∴左边有30+2+1=33个数，即n=33，故答案为：8,33．12．一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记f(m)=a+b为这个两位数m的“衍生数”．如f（1）若f(m)=11，则满足条件的两位数m的个数有个；（2）现有2个两位数x和y，且满足x+y=100，则f(x)+f(y)=．【分析】本题主要考查了整式的加减和列代数式，（1）根据新定义，列出个位数与十位上之和为11的组合即可求解；（2）依据2个两位数x和y，且满足x+y=100，分两种情况进行讨论，依据f(m)=a+b进行计算即可得到f(x)+f(y)的值．故答案为：8．（2）解：①当2个两位数x和y的个位数字为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为10，个位数字的和为0，故f(x)+f(y)=10；②当2个两位数x和y的个位数字均不为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为9，个位数字故f(x)+f(y)=19；综上所述，f(x)+f(y)的值为10或19．故答案为：19或1013．对于一个四位数M，若其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，但其四个数位上的数字不全相同且均不为零，则称数M为“对称数”．如数2332是“对称数”，数2222不是“对称数”，则最大的“对称数”为；若M为“对称数”，将其千位与百位数字交换，十位与个位数字交换得到一个新的四位数M9，若M+M9是10的倍数，M_M9是44的倍数，则满足条件的M的最小值【答案】【答案】98891991【分析】本题考查整除运算，用字母表示数字，理解新定义的运算是解题的关键．根据“对称数”的定义设千位数字为a，百位数字为b，则表示M+M9和M_M9，根据题意得到a+b=10，a_b是4的倍数，然后分析即可解题．【详解】解：∵求最大的对称数，∴千位上应该为9，又∵四个数位上的数字不全相同且均不为零，又∵四个数位上的数字不全相同且均不为零，∴百位上应该为8，∴最大的“对称数”为9889；∵M+M,是10的倍数，M_M,=1000a+100b+10b+a_(1000b+100a+10a+b)=891(a_b)=11x81(a_b)，又∵M_M,是44的倍数，∴a_b是4的倍数，即a_(10_a)=2a_10是4∴a可以取1,3,5,7,9；即这样的“对称数”为：1991,3773,5555（不符合，舍去7337,9119，最小的为1991，14．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为．142638La293204bx【答案】【答案】170【分析】本题考查了数字规律探究，根据给定的正方形的四个数，可以得到，左下角的数字等于左上角的数字加1，右上角的数字等于左上角的数字加上左下角的数字再加1，右下角的数字等于左下角的数字乘以右上角的数字再加上左上角的数字，利用这一规律，即可求解，解题的关键是通过正方形中给定的四个数找到它们之间的规律．即b=a+1，把把b=a+1代入得，a+a+1+1=故答案为：170．15．观察图中“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律，求出b的值为．【答案】741【分析】此题考查了数字变化规律，由图可知，上边的数与下边左边的数的和正好等于下边右边的数，上边的数为连续的偶数，上边的数为2n，下边左边的数为3n，由此可得a、b的值，即可求解，通过表中的数找到它们之间的规律是解题的关键．【详解】解：∵上边的数为连续的偶数，∵下边左边的数为3n，6=729，∵上边的数与下边左边的数的和正好等于下边右边的数，故答案为：741．16．将正偶数按下表排列5列：第2列第4列第一行2468第二行第三行202224……2826根据上面规律，则2000应在． 【分析】本题主要考查了数字变化类的一些规律问题，根据图表中的信息可得出：表中每一行4个连续偶数，奇数行第一列空，从左到右增大；偶数行第五列空，从左到右减小，利用算式数，奇数行第一列空，从左到右增大；偶数行第五列空，从左到右减小，利用算式2000÷2=1000与1000÷4=250，即可得出2000在第250行第1列，能够找出其内在规律，是解题的关键．【详解】解：根据图表中的信息可得出：表中每一行4个连续偶数，奇数行第一列空，从左到右增大；偶数行第五列空，从左到右减小，∴2000是第1000个正偶数，排在第250行，第一列，故答案为：第250行，第1列．17．将实数-1,2,-3,4,-5...按图所示方式排列．若用(m,n)表示第m排从左向右第n个数，则(4,3)与(23,20)表示的两数之和是．【答案】【答案】-282【分析】本题考查了数字的变化规律；根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第(m-1)排有(m-1)个数，从第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+…+(m-1)个数，根据数的排列方法找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算即可，判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．【详解】从图示中知道，(4,3)所表示的数是：-9；∵由图观察规律知奇数个为负，偶数个为正，∴(4,3)与(23，20)表示的两数之和是：-9+(-273)=-282．故答案为：-282．三、解答题18．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．【规律发现】（1）第⑤个图案中“●”的个数为，“○”的个数为；（2）第n个图案中“●”的个数为，“○”的个数为；【规律应用】（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为；此时还剩下枚棋子．【答案】（【答案】（1）15，202）n(n+1)，2【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律．（1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解；（2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为(1+2+3++n)个，然后倒序相加，即可求解；解得n（舍负∴n最大为13，即可求解．第2个图中黑子为1+2=3个，第3个图中黑子为1+2+3=6个，第4个图中黑子为1+2+3+4=10个，第5个图中黑子为1+2+3+4+5=15个；第1图中白子为4×1=4个，第2个图中白子为4×2=8个，第3个图中白子为4×3=12个，第4个图中白子为4×4=16个，第5个图中白子为4×5=20个；故答案为：15，20．（2）解：由（1）第n个图中黑子为(1+2+3++n)个，令S=1+2+3++n为①式；S=n+n-1++2+1为②式，则①+②得：2S=(1+n)+(1+n)++(1+n)，∴S∴第n个图案中“●”的个数为由（1）得第n个图案“○”的个数为4n，故答案为：4n．（3）解：若解得n（舍负∴n最大为13，那么使用白子为13×4=52个，黑子为个，剩余200-52-91=57个，故答案为：13，57．19．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：-x，3x2，-5x3．7x4，-9x5，则第n个单项式是什么？”(1)首先杨老师给出如下四个引导问题：①这组单项式中不变的是什么？直接写下来．②这组单项式中系数的符号规律是什么？③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？④这组单项式的次数规律是什么？同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究：⑤猜想出第n个单项式是只用一个含n的式子表示，n是正整数）⑥第2023个单项式是．(2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移．按一定规律排列的等式：第一个等式：32-12=8=8×1，第二个等式：52-32=16=8×2，第三个等式：72-52=24=8×3，第四个等式：92-72=32=8×4，第n个等式是n是正整数(3)请你利用以上结论计算20232-20212的值．【答案】【答案】(1)⑤(-1)n(2n-1)xn；⑥4045x2023(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n(3)8088(3)8088【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律．（1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：2n-1，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解；（2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式；（3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可．【详解】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：2n-1，指数为从1开始的自然数，∴第n个单项式为(-1)n(2n-1)xn；故答案为：(-1)n(2n-1)xn；⑥根据该规律可得第2023个单项式，(-1)2023(2×2023-1)x2023=4045x2023；故答案为：4045x2023；（2）∵第一个等式：32-12=8=8×1，第二个等式：52-32=16=8×2，第三个等式：72-52=24=8×3，第四个等式：92-72=32=8×