2027版三维设计 高中总复习数学第八章第3节　圆的方程

第3节圆的方程课标要求1.

理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.

能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

圆的定义与方程定义平面上到

的距离等于

⁠的点的集合叫做圆标准方程（x－a）2＋（y－

b）2＝r2（r＞0）圆心C（a，b）半径为r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F

＝0（D2＋E2－4F＞

0）充要条件：D2＋E2－4F＞0定点

定长

2.

点与圆的位置关系平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在

着下列关系：（1）｜MC｜＞r⇔点M在

，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；（2）｜MC｜＝r⇔点M在

，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；（3）｜MC｜＜r⇔点M在

，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.圆外

圆上

圆内

1.

以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x

－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.2.

圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.

圆心在任一弦的垂直平分线上.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.

（

√

）（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.

（

×

）（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.

（

×

）（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝

C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.

（

√

）√××√2.

圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（

）A.

（x－1）2＋（y－1）2＝1B.

（x＋1）2＋（y＋1）2＝1C.

（x＋1）2＋（y＋1）2＝2D.

（x－1）2＋（y－1）2＝2√

3.

（2026·河南郑州模拟）已知圆C以P1P2为直径，P1（4，9），P2（6，

3），则下列各点在圆C外的是（

）A.

M（6，9）B.

N（3，3）C.

Q（5，3）D.

R（4，4）√

4.

（2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关

于直线x－y＋t＝0对称，则实数t＝（

）A.

－3B.1C.

－1D.3√解析：

由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝4，则圆

心坐标为（－1，2），又因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t

＝0对称，故由圆的对称性可知，圆心（－1，2）在直线x－y＋t＝0上，

则t＝y－x＝2－（－1）＝3.5.

（2026·广东佛山模拟）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示

圆，则实数a的取值范围为

⁠.解析：由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得（x＋a）2＋（y－2a）2＝5a2

＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a＞0，解得a＞0或a＜－2.（－∞，－2）∪（0，＋∞）02PART研透核心考点求圆的方程（基础自学过关）1.

已知点A（－2，1），B（－1，0），C（2，3），M（a，2）四点共

圆，则a＝（

）√

2.

〔一题多解〕设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均

在☉M上，则☉M的方程为（

）A.

x2＋y2＝5B.

（x－1）2＋（y＋1）2＝5C.

x2＋y2＝3D.

（x－1）2＋（y＋1）2＝3√

∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.

3.

已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于

点A（2，7），则圆C的标准方程为

⁠.x2＋（y－8）2＝5

求圆的方程的两种方法与圆有关的轨迹问题（师生共研过关）

B.8A

（2）（2024·新高考Ⅱ卷5题）已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上

任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程

为（

A

）A

求解与圆有关的轨迹（方程）的方法（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式

求解.提醒：要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.训练1

（1）〔一题多解〕已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），

B（3，0）.则直角顶点C的轨迹方程为（

D

）A.

x2＋y2＝4B.

（x－1）2＋y2＝4C.

x2＋y2＝4（y≠0）

D.

（x－1）2＋y2＝4（y≠0）D

（2）已知O为坐标原点，点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运

动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.

与圆有关的最值问题（定向精析突破）考向1

利用几何性质求最值

〔多选〕已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则（

BC

）B.

x2＋y2的最小值是1D.

｜x＋y＋3｜的最小值为2BC

与圆有关的最值问题的三种几何转化法考向2

利用对称性求最值

（2026·陕西西安质检）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0

上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值

是（

）C.4√

求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点

有关的折线段的最值问题的基本思路：（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一

般要通过对称性解决.考向3

建立函数关系求最值

12

根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性

质求最值.

C

1

利用三角换元巧设圆的方程

细研教材：由教材母题，我们可以把圆心为（x0，y0），半径为r

的圆上

的点设为（x0＋r

cos

θ，y0＋r

sin

θ）（θ∈[0，2π）），简称设“点参”.特别地，若原点为圆心，常用（r

cos

θ，r

sin

θ）来表示半径为r

的圆上的

任一点.

（1）若实数x，y满足条件x2＋y2＝1，则2x＋y的取值范围是

（

D

）

D（2）已知实数a，b满足a2＋b2＋1＝2a＋2b，则（3a＋4b－1）2的最大

值为（

C

）A.11B.12C.121D.144C

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：97分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

圆心为（2，1）且和x轴相切的圆的方程是（

）A.

（x－2）2＋（y－1）2＝1B.

（x＋2）2＋（y＋1）2＝1C.

（x－2）2＋（y－1）2＝5D.

（x＋2）2＋（y＋1）2＝5123456789101112131415√解析：

圆心为（2，1）且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程

是（x－2）2＋（y－1）2＝1.2.

（2026·甘肃兰州模拟）若点（a＋1，a－1）在圆x2＋y2－2ay－4＝0

的内部，则a的取值范围是（

）A.

a＞1B.0＜a＜1D.

a＜1√

1234567891011121314153.

设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的

（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√解析：

方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4

－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不

必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的充

分不必要条件.故选A.

1234567891011121314154.

已知点P（4，－2），点Q是圆x2＋y2＝4上任意一点，则线段PQ的中

点M的轨迹方程是（

）A.

（x－2）2＋（y＋1）2＝1B.

（x－2）2＋（y＋1）2＝4C.

（x＋2）2＋（y－1）2＝1D.

（x＋4）2＋（y－2）2＝4√123456789101112131415

1234567891011121314155.

〔一题多解〕（2023·全国乙卷11题）已知实数x，y满足x2＋y2－4x－

2y－4＝0，则x－y的最大值是（

）B.4D.7√

123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C

（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（

）A.

圆M的圆心坐标为（1，3）C.

圆M关于直线x＋y＝0对称D.

点（2，3）在圆M内√√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

若圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过坐

标原点，则实数m的值为

⁠.解析：∵圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过

坐标原点，∴2m2－6m＋4＝0，解得m＝1或m＝2，当m＝2时，x2＋y2

＝0，不符合题意舍去，当m＝1时，x2＋y2＋2x－2y＝0，即（x＋1）2＋

（y－1）2＝2，满足题意，综上所述，则实数m的值为1.1

1234567891011121314158.

（2026·江苏徐州模拟）已知点A（－3，0），B（1，0），平面内的动

点P满足｜PB｜－3｜PA｜＝0，则点P的轨迹形成的图形周长是

⁠.

3π

123456789101112131415

9.

（13分）已知圆C过点A（4，0），B（0，4），且圆心C在直线l：x

＋y－6＝0上.（1）求圆C的方程；123456789101112131415（2）若从点M（4，1）发出的光线经过x轴反射，反射光线l1恰好平分圆

C的圆周，求反射光线l1的一般方程.

123456789101112131415

A.2πC.π√123456789101112131415

12345678910111213141511.

〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列

命题正确的是（

）A.

不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.

所有圆Ck均不经过点（3，0）C.

经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个D.

所有圆的面积均为4π√√√123456789101112131415解析：

A选项，圆心为（k，k），一定在直线y＝x上，故A正确；

B选项，将（3，0）代入得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4＜0，方程无解，

即所有圆Ck均不经过点（3，0），故B正确；C选项，将（2，2）代入得k2

－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8＞0，故经过点（2，2）的圆Ck有两个，

故C错误；所有圆的半径均为2，面积均为4π，故D正确.故选A、B、D.

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A.

点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8√√√123456789101112131415

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