人教版九年级上册 专题34 正多边形和圆（24.3）重难点讲义

人教版九年级上册专题34正多边形和圆（24.3）重难点讲义人教版九年级上册专题34正多边形和圆（24.3）重难点讲义适用：2026–2027学年人教版九上数学｜分为【原卷版】（知识点+例题+习题）、【解析版】（答案+详细讲解）

核心思想：正多边形计算题全部转化为「半径、边心距、半边长构成的直角三角形」求解【原卷版】专题34正多边形和圆✅学习目标理解正多边形定义，掌握正多边形与外接圆、内切圆的关系；识记中心、半径、中心角、边心距4个核心概念；熟记中心角、内角、外角公式，会由边数求角度，由角度反求边数；掌握正多边形边长、边心距、周长、面积计算；会尺规作图：圆内接正方形、正六边形；解决正多边形与圆、阴影面积综合题。📖知识点梳理知识点1正多边形定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

⚠️易错提醒：两个条件缺一不可菱形：四边相等，但内角不全相等→不是正多边形矩形：四角相等，但边长不全相等→不是正多边形定理：把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，得到圆的内接正n边形；这个圆叫做正n边形的外接圆。知识点2正多边形相关概念（必考）中心：正多边形外接圆的圆心；半径R：外接圆半径，中心到顶点的距离；中心角：正多边形每条边所对的圆心角；

中心角=边心距r：中心到正多边形一条边的距离，也是正多边形内切圆半径。重要模型：过中心作边的垂线，垂足平分这条边，构成直角三角形：

斜边=半径R，一条直角边=边心距r，另一条直角边=a2（a为正多边形边长）

勾股定理：知识点3角度公式汇总设边数为n中心角：θ每个外角：θ外=360每个内角：θ知识点4周长与面积公式周长：L=na（面积：S=知识点5正多边形对称性所有正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴，全部经过中心；当n为偶数时，正n边形同时是中心对称图形，对称中心为正多边形中心；n奇数时，仅轴对称，不是中心对称。知识点6正多边形尺规作图正六边形：在圆上截取等于半径的弦，六等分圆周；正六边形边长=外接圆半径；正方形：作圆两条互相垂直的直径，连接四个端点；用量角器作图：算出中心角360∘⚠️重难点易错点正六边形边长=外接圆半径（高频考点！）；中心角≠内角，很多同学混淆；面积公式不是底乘高，是12圆内接多边形：各边相等⇒是正多边形；各角相等，不一定是正多边形（圆内接矩形）。📝典型例题（原卷）例1求角度与边数（1）正八边形的中心角=****°，每个内角=****°；

（2）一个正多边形中心角为40°，它的边数n=****；

（3）一个正多边形每个外角30°，则内角=****°，边数=\\\\。例2正六边形计算已知⊙O半径R=6，求它的内接正六边形：边长a、边心距r、面积S。例3正方形内接于圆已知圆半径R=4，求圆内接正方形的边长、边心距、面积。例4证明题求证：圆内接五边形，五条边相等，则这个五边形是正五边形。📄专题练习题（原卷）下列说法正确的是（）

A.各边相等的多边形是正多边形

B.各角相等的多边形是正多边形

C.正多边形中心角与外角相等

D.正多边形都是中心对称图形正十边形中心角=，内角=。已知正三角形外接圆半径R=2，求边长、边心距、面积。正多边形边长a=23，边心距r=3如图，正方形ABCD内接于⊙O，半径为2，求阴影部分面积（圆减去正方形）。拓展：同一个圆的内接正六边形与外切正六边形面积之比。【解析版】专题34正多边形和圆答案与解析知识点回顾（略，同原卷）核心思路：所有计算落到【R，r，a/2】直角三角形例题解析例1（1）正八边形n=8

中心角=360∘÷8=（2）中心角=（3）外角30°，中心角=30°，n=36030例2正六边形R=6正六边形边长等于外接圆半径：a=6

取一半：a2=3，直角三角形：R=6,a2=3

边心距r=例3圆半径R=4，内接正方形正方形：半径R是对角线一半。

直角三角形：a2,a2,R

a22+a22例4证明已知：五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA

∵弦相等⇒所对弧相等：AB⌢=BC⌢练习题解析【答案C】

A错：菱形；B错：矩形；D错：正三角形是轴对称，不是中心对称。正十边形：

中心角360÷10=36∘正△外接圆R=2

直角三角形：顶角（中心角一半）60°，斜边R=2

a2=R⋅sin⁡60∘a=23⇒a2=3，r=3

R=2，圆面积S圆=πR2=4π

同圆，设内接正六边形外接圆半径R=1

内接正六边形面积：S内=332

外切正六边形（内切圆半径=1），求得外切六边形边长2配套题型清单（可直接打印刷题）基础概念辨析中心角