不变子空间课件_第1页
不变子空间课件_第2页
不变子空间课件_第3页
不变子空间课件_第4页
不变子空间课件_第5页
已阅读5页，还剩20页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

不變子空間一不變子空間的概念及性質定義7

A∈L(V),W是數域P上線性空間V的子空間，稱W是A的不變子空間，簡稱為A－子空間，如果：對任意的ξ∈W，Aξ∈W.

即AWW（對線性變換A封閉）.性質1

對任意的A∈L(V),V,{0}是A－子空間（例1）.

V

WAW性質2

對任意的A∈L(V),A的值域AV,核A－1(0)是A－子空間(例2).證明：對η∈A

V→η∈V→A

η∈A

V,η∈A

－1(0),Aη=0∈A－1(0)，故命題成立.□性質3

AB=BA，則BV,B－1(0)是A－子空間(例3).證明：對任意的Bξ∈B

V，A(Bξ)=B(Aξ)∈B

V→BV是A－子空間.對任意的ξ∈B

－1(0),Bξ=0,要證明

ξ∈B

－1(0)，關鍵證B(Aξ)=0.而

B(Aξ)=A(Bξ)=A(0)=0,故B－1(0)是A－子空間.□

同理：AV，A－1(0)是B－子空間.

由於Af(A)=f(A)A，故f(A)

V,f(A)－1(0)是A－子空間.性質4

K∈L(V),則V的任一子空間是K－子空間.V的任一子空間是零變換，單位變換的不變子空間.證明：設W是V的任一子空間，對任意的α∈W,由子空間的定義可知，Kα=kα∈W,故命題成立.□性質5

A∈L(V),W是A－子空間，f(x)∈P[x],則W是f(A)－子空間.性質6

W1,W2是A－子空間，則W1+W2,W1∩W2仍是A－子空間.

證明：對任意的α1+α2∈W1+W2，A(α1+α2)=Aα1+Aα2∈W1+W2.對任意的α∈W1∩W2，Aα∈W1且Aα∈W2，故Aα∈W1∩W2，所以命題成立.□

性質7

A∈L(V),則A的屬於特徵值λ的特徵子空間Vλ是A－子空間.

證明：對任意的ξ∈Vλ,Aξ=λξ∈Vλ

→Vλ是A－子

空間.□

性質8

A∈L(V),則A有一維A－子空間的充要條件是：存在λ∈P,對任意的ξ(≠0)∈W,Aξ=λξ,且W=L(ξ).

該性質即說：W是A的一維不變子空間的充要條件是：W是A的某特徵值λ的一維特徵子空間Vλ.證明：必要性設W是A－子空間，dimW=1→取W的基ξ，即W=L(ξ)→Aξ∈W,即存在λ∈P,使得Aξ=λξ成立.

充分性設Aξ=λξ(ξ≠0)→L(ξ)=W顯然是V的一維子空間，對任意的α∈W，α=xξ→應有Aα=A(xξ)=xAξ=x(λξ)=λ(xξ)=λα∈W,即W是一維A－子空間.□二線性變換在子空間上的限制（A｜W）定義

A

∈L(V),W是A－子空間，規定

A｜W：W→W，A｜W(α)=Aα(α∈W),稱A｜W為A在W上的限制.AA｜WVWVW

實例：

1.A｜A－1(0)是A－1(0)

上的零變換.

（對任意的α∈A

－1(0),A｜A－1(0)(α)=Aα=0）

2.A∈L(V),W是V的子空間，則A｜W∈L(W).

3.A｜Vλ是Vλ上的數乘變換.

（對任意的α∈Vλ，Aα=λα）

性質10

A∈L(V),W=L(α1,···,αr)是V的A－子空間的充要條件是：Aα1,···,Aαr∈W.

證明：AW=AL(α1,···,αr)=

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论