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文档简介

微分法:積分法:互逆運算不定積分

二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數與不定積分的概念第一節機動目錄上頁下頁返回結束不定積分的概念與性質

第四章一、原函數與不定積分的概念引例:一個品質為m

的質點,下沿直線運動,因此問題轉化為:已知求在變力試求質點的運動速度機動目錄上頁下頁返回結束根據牛頓第二定律,加速度定義1.

若在區間I

上定義的兩個函數F(x)及f(x)滿足在區間

I

上的一個原函數.則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數有問題:1.在什麼條件下,一個函數的原函數存在?2.若原函數存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數.(下章證明)初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上有原函數機動目錄上頁下頁返回結束定理2.原函數都在函數族(C為任意常數)內.證:1)又知故即屬於函數族機動目錄上頁下頁返回結束即定義2.在區間

I上的原函數全體稱為上的不定積分,其中—

積分號;—

被積函數;—

被積運算式.—

積分變數;(P183)若則(C為任意常數)C

稱為積分常數不可丟!例如,記作機動目錄上頁下頁返回結束不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結束的積分曲線

.例1.

設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等於該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結束例2.

質點在距地面處以初速力,求它的運動規律.解:

取質點運動軌跡為坐標軸,原點在地面,指向朝上,質點拋出時刻為此時質點位置為初速為設時刻

t

質點所在位置為則(運動速度)(加速度)機動目錄上頁下頁返回結束垂直上拋,不計阻

先由此求

再由此求先求由知再求於是所求運動規律為由知機動目錄上頁下頁返回結束故二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數)機動目錄上頁下頁返回結束或或機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束三、不定積分的性質推論:

若則機動目錄上頁下頁返回結束例5.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.不定積分的概念•原函數與不定積分的定義•不定積分的性質•基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數公式,積分性質機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.

證明2.

若(P191題4)提示:機動目錄上頁下頁返回結束提示:3.

若是的原函數,則提示:已知機動目錄上頁下頁返回結束4.

若的導函數為則的一個原函數是().提示:已知求即B??或由題意其原函數為機動目錄上頁下頁返回結束5.

求下列積分:提示:機動目錄上頁下頁返回結束6.求不定積分解：機動目錄上頁下頁返回結束7.

已知求A,B.解:

等式兩邊對x

求導,得機動目錄上頁下頁

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