15.2第1课时 线段的垂直平分线的定理与逆定理-课2026-2027学年沪科版数学八年级上册

1.**线段垂直平分线定义**：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。2.**线段垂直平分线定理（性质）**线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。>>符号语言：若点P在线段AB的垂直平分线上，则\(\boldsymbol{PA=PB}\)。3.**逆定理（判定）**到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。>>符号语言：若\(PA=PB\)，则点P在线段AB的垂直平分线上。⚠️要点：-定理：**线上的点→距离相等**（用来证线段相等）-逆定理：**距离相等→点在线上**（用来判定点在垂直平分线上）-线段垂直平分线是**到线段两端点距离相等的所有点的集合**。本节重点：分清定理与逆定理；利用定理证明线段相等；利用逆定理判断点位置；简单几何证明。##二、基础专项练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.若点P在线段AB的垂直平分线上，则一定有（）A.\(PA=PB\)B.\(PA\perpPB\)C.\(PA=AB\)D.\(PB=AB\)2.如果\(MA=MB\)，那么点M在（）A.线段AB的上方B.线段AB的下方C.线段AB的垂直平分线上D.线段AB上3.下列说法正确的是（）A.到线段两端点距离相等的点一定在线段上B.线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等C.线段的垂直平分线是一条线段D.到线段两端距离相等的点只有一个4.直线l是线段AB的垂直平分线，点C在l上，\(AC=5\)，则BC长为（）A.\(2.5\)B.5C.10D.不确定5.已知\(PA=PB，QA=QB\)，则直线PQ（）A.平分ABB.垂直平分ABC.垂直ABD.以上都不对###（二）填空题（每题4分，共20分）1.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的________相等。2.到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。3.线段的垂直平分线是一条________（填“直线、射线、线段”）。4.若点P在AB垂直平分线上，\(PA=7\)，则\(PB=\)________。5.定理用于证明线段相等；逆定理用于判定点在________上。###（三）解答题（每题15分，共60分）1.已知：直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上。求证：\(PA=PB\)。2.已知：\(AC=BC，AD=BD\)。求证：直线CD垂直平分AB。3.已知：在\(\triangleABC\)中，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于D，\(AD=5\)，求BD的长。4.已知：\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，点D在BC上，且\(DB=DC\)。求证：点\(A、D\)都在BC的垂直平分线上。##三、参考答案与详细解析###选择题1.**A**。解析：线段垂直平分线定理，线上点到两端距离相等。2.**C**。解析：逆定理，\(MA=MB\)，点M在AB垂直平分线上。3.**B**。解析：垂直平分线是直线；到两端距离相等的点有无数个。4.**B**。解析：C在垂直平分线上，\(BC=AC=5\)。5.**B**。解析：两点确定一条直线，\(P、Q\)都在AB垂直平分线上，所以PQ垂直平分AB。###填空题1.**距离**2.**垂直平分线**3.**直线**4.\(\boldsymbol{7}\)5.**线段垂直平分线**###解答题1.证明：\(\because\)直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上（已知）\(\thereforePA=PB\)（线段垂直平分线上的点，到线段两个端点距离相等）。2.证明：\(\becauseAC=BC\)（已知）\(\therefore\)点C在线段AB的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上）\(\becauseAD=BD\)（已知）\(\therefore\)点D在线段AB的垂直平分线上（逆定理）\(\therefore\)直线CD是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）。3.解：\(\becauseDE\)是AB的垂直平分线，点D在DE上（已知）\(\thereforeBD=AD=5\)（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。答：\(BD=5\)。4.证明：\(\becauseAB=AC\)（已知）\(\therefore\)点A在线段BC的垂直平分线上（逆定理）\(\becauseDB=DC\)（已知）\(\therefore\)点D在线段BC的垂直平分线上（逆定理）。##四、易错点总结1.定理、逆定理写反：分清“线上点推出距离相等”和“距离相等推出点在线上”；2.线段垂直平分线是**直线**，不是线段；3.必须**两个点**才能确定一条垂直平分线，只有一个点不能说垂直平分；4.直接默认垂直，缺少用逆定理的推理步骤；5.几何证明，定理文字依据书写不完整造成扣分。（全文1321字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.2第1课时线段的垂直平分线的定理与逆定理授课教师：.

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2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章轴对称图形与等腰三角形123要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题;能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.02创设情境如图，小聪在A处，小明在B处，他们两人做抢礼物的游戏.礼物放在何处游戏才公平？线段AB的中点处03新知探究思考

如图，点O是线段AB的中点，直线MN经过点O，且MN⊥AB，那么直线MN是线段AB的垂直平分线.

由于直线MN上的点O是线段AB的中点，因此OA=OB.在直线MN上任取两点P,Q（在线段AB的两侧各取一点），分别连接PA,PB,QA,QB.PA,PB的长有什么关系？QA与QB呢？试证明你的猜想03新知探究已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，点P是MN上任意一点.求证：PA=PB.

03新知探究线段的垂直平分线有如下性质:定理

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.归纳几何语言：∵直线PO垂直平分AB，∴PA=PB.ABPO它是证明两条线段相等的重要方法.03新知探究思考你能写出上面定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是真命题,请给出证明.定理

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.03新知探究已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上

03新知探究(2)当点P在线段AB所在的直线上时，∵PA=PB，(已知)∴点P是线段AB的中点，(线段中点的定义)∴点P在线段AB的垂直平分线上.(线段垂直平分线的定义)综上所述，点P在线段AB的垂直平分线上.03新知探究例、

如图，在△ABC中，AC=5，边AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC=4，求△BCD的周长.03新知探究解：∵DE是AB的垂直平分线，(已知)∴AD=BD，(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)∴BD+CD=AD+CD=AC=5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC=△BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3.(2)∵BC=4，∴△BCD的周长=BC+BD+CD=4+5=9.对应练习1、在锐角三角形ABC内一点P，满足PA=PB=PC，则点P是

△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D①

定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段.ABCDM2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？解：∵AB=AC，MB=MC∴点A、M在BC的垂直平分线上∴

直线AM是线段BC的垂直平分线．(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）判断线段垂直平分线的两种方法：知识拓展：②

判定定理——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点

的距离相等，根据两点确定一条直线.3、如图，AD与BC相交于点O，连接AB、CD并延长，相交于点E，连接OE、BD，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．

这点到三角形三个顶点的距离相等.归纳总结线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.①性质定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.②判定定理：ABPPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等①

定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段.判断线段垂直平分线的两种方法：②

判定定理——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点

的距离相等，根据两点确定一条直线.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，提醒：见垂直平分线，得线段相等作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.1、如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，求证：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.证明：(1)

连接BD∵

AB＝AD，∴点A，C都在线段BD的垂直平分线上∴

AC是线段BD的垂直平分线又∵点E是AC上一点∴

BE＝DEBC＝CD(2)在△ABE和△ADE中∵(公共边）AE＝AEBE＝DEAB＝AD∴△ABE≌△ADE(SSS)∴∠ABE＝∠ADE核心必知相等相等1．[知识初练]如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC＝2cm，则ED的长为__________．1星题基础练2cm2．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝___________.33.【思维生长】如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点G，BC＝6，AB＝7，则△BCG的周长是(

)A．12

B．13C．14D．15向“逆向思维”生长：如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若△FAC的周长为16，△ABC的周长为22，则AE的长为________．B34．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝P