2025-2026学年河北省邢台市卓越联盟高二上学期第三次月考（1月）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考（1月）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为的斜率为，所以的倾斜角为．故选：A.2.数列，，，，…的通项公式可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列的首项为负数，排除A，C．对于B，，排除B．故D正确．故选：D.3.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】B【解析】对于A，因为，所以，，共面，故A错误；对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确；对于C，因，所以，，共面，故C错误；对于D，因为，所以，，共面，故D错误．故选：B．4.圆心为，半径为4的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆心为，半径为4的圆的标准方程为．故选：C.5.若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（）A， B.， C.， D.，【答案】B【解析】当时，，是递减数列，则的最小项为；当时，，是递减数列，则的最大项为.故选：B.6.某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（）A.16 B.18 C.20 D.22【答案】C【解析】假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列，则，所以，得．故选：C.7.已知等差数列前项和为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，得，所以．故选：B.8.已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（）A.16 B.15 C.14 D.13【答案】C【解析】设的公比为．由，，得，则．由，得，所以是递增数列．当时，；当时，；当时，．故的最小值为14．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.长轴长为6，离心率为的椭圆的标准方程可能为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为．由得,所以椭圆的标准方程可能为，．故选：AC.10.已知等差数列的各项均不为0，的前项和为，公差为，且，，则（）A. B. C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】B选项，由得，即，因为，所以，B正确；A选项，，则，故，A正确；CD选项，由于，故，又，所以，，即，，故的最小值为，无最大值，C错误，D正确．故选：ABD.11.已知数列的前项和为，，且，则（）A. B.是等比数列C.数列的前100项和为5050 D.【答案】ACD【解析】由，得，则，所以，所以是首项为，公比为3的等比数列．由，得，A选项，，，所以，A正确；B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误；C选项，因为，所以是等差数列，所以的前100项和为5050，C正确；D选项，由，得，得，所以（当且仅当时，等号成立）．故，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量在向量上的投影向量的坐标为________．【答案】【解析】因为向量，向量，所以，，所以在上的投影向量的坐标为．故答案为：.13.已知数列的前项和为，且，则的通项公式为________．【答案】【解析】当时，．当时，．．故答案为：．14.在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________．【答案】【解析】设，则．易得函数为增函数．由，，得，，所以，故的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）若为正项等比数列，且，，求．解：（1）设的公差为．由得所以（2）设的公比为．由得（舍去），．所以．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）∵侧面底面，侧面底面，，底面，∵底面，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴异面直线与所成角的余弦值为．（2）由（1）得，．设平面的法向量为，则令，则，，得平面的法向量为．易得平面的一个法向量为，∴平面与平面夹角的余弦值为．17.在数列中，．（1）求的通项公式．（2）若数列的前项和为，证明：．（3）若，求数列的前项和．（1）解：当时，，得．当时，，，两式相减得，则．当时，符合上式，所以．（2）证明：由（1）得，所以，故．（3）由（1）得，则，，所以，所以．18.已知是双曲线的右焦点，且经过点．（1）求的标准方程；（2）已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且．（ⅰ）求；（ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由题意得，得，所以的标准方程为．（2）（ⅰ）因为，所以是直线的一个方向向量，因为直线的一个方向向量分别为，且，所以，则，整理得．因，所以．（ⅱ）过定点．理由如下：设，，，由，得，则，，，由（ⅰ）知，得，即，整理得，所以或．又，故当时，，不符合题意．当时，，符合题意．综上，，所以过定点．19.对于给定的闭区间，现将按如下规则构造的区间列称为的“就近隔离区间列”：（i）确定，取；（ii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设；（iii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设；（iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定.已知数列满足，区间是的“就近隔离区间列”.（1）求的通项公式及.（2）证明：.（3）设是给定的正整数，求集合中的元素之和.（1）解：由，得，则是等差数列，设的公差为，则，解得，所以，，所以.（2）证明：设，则，设且，则，即，于是，即，而，则，由的定义知，，即，则，因此是首项为2，公比为2的等比数列，，即，则，而，所以.（3）解：由，得，当时，，解得；当时，，，，，即，则，当时，若为奇数，则正整数不存在；若为偶数，则，因此当为奇数时，；当为偶数时，，所以.河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考（1月）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为的斜率为，所以的倾斜角为．故选：A.2.数列，，，，…的通项公式可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列的首项为负数，排除A，C．对于B，，排除B．故D正确．故选：D.3.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】B【解析】对于A，因为，所以，，共面，故A错误；对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确；对于C，因，所以，，共面，故C错误；对于D，因为，所以，，共面，故D错误．故选：B．4.圆心为，半径为4的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆心为，半径为4的圆的标准方程为．故选：C.5.若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（）A， B.， C.， D.，【答案】B【解析】当时，，是递减数列，则的最小项为；当时，，是递减数列，则的最大项为.故选：B.6.某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（）A.16 B.18 C.20 D.22【答案】C【解析】假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列，则，所以，得．故选：C.7.已知等差数列前项和为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，得，所以．故选：B.8.已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（）A.16 B.15 C.14 D.13【答案】C【解析】设的公比为．由，，得，则．由，得，所以是递增数列．当时，；当时，；当时，．故的最小值为14．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.长轴长为6，离心率为的椭圆的标准方程可能为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为．由得,所以椭圆的标准方程可能为，．故选：AC.10.已知等差数列的各项均不为0，的前项和为，公差为，且，，则（）A. B. C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】B选项，由得，即，因为，所以，B正确；A选项，，则，故，A正确；CD选项，由于，故，又，所以，，即，，故的最小值为，无最大值，C错误，D正确．故选：ABD.11.已知数列的前项和为，，且，则（）A. B.是等比数列C.数列的前100项和为5050 D.【答案】ACD【解析】由，得，则，所以，所以是首项为，公比为3的等比数列．由，得，A选项，，，所以，A正确；B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误；C选项，因为，所以是等差数列，所以的前100项和为5050，C正确；D选项，由，得，得，所以（当且仅当时，等号成立）．故，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量在向量上的投影向量的坐标为________．【答案】【解析】因为向量，向量，所以，，所以在上的投影向量的坐标为．故答案为：.13.已知数列的前项和为，且，则的通项公式为________．【答案】【解析】当时，．当时，．．故答案为：．14.在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________．【答案】【解析】设，则．易得函数为增函数．由，，得，，所以，故的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）若为正项等比数列，且，，求．解：（1）设的公差为．由得所以（2）设的公比为．由得（舍去），．所以．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）∵侧面底面，侧面底面，，底面，∵底面，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴异面直线与所成角的余弦值为．（2）由（1）得，．设平面的法向量为，则令，则，，得平面的法向量为．易得平面的一个法向量为，∴平面与平面夹角的余弦值为．17.在数列中，．（1）求的通项公式．（2）若数列的前项和为，证明：．（3）若，求数列的前项和．（1）解：当时，，得．当时，，，两式相减得，则．当时，符合上式，所以．（2）证明：由（1）得，所以，故．（3）由（1）得，则，，所以，所以．18.已知是双曲线的右焦点，且经过点．（1）求的标准方程；（2）已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且．（ⅰ）求；（ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由题意得，得，所以的标准方程为．（2）（ⅰ）因为，所以是直线的一个方向向量，因为直线的一个方向向量分别为，且，所以，则，整理得．因，所以．（ⅱ）过定点．理由如下：设，，，由，得，则，，，由（ⅰ）知，得，即，整理得，所以或．又，故当时，，不符合题意．当时，，符合题意．综上，，所以过定点．19.对于给定的闭区间，现将按如下规则构造的区间列称为的“就近隔离区间列”：（i）确定，取；（ii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设；（iii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交