初二数学（北京版）-一次函数的应用（第二课时）-1教案

教案教学基本信息课题一次函数的应用（第二课时）学科数学学段：第三学段年级初二教材书名：数学出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点目标：本节课主要涉及一次函数的概念、图象和性质，通过分析实际问题，建立一次函数（含分段函数）模型，并利用一次函数的有关知识解决实际问题，根据已知的函数图象还原图象所含的信息，尝试解决一些方案选择问题。发展学生的分析能力，识图能力，模型思想，应用意识等。教学重点：与图象有关的一次函数的应用.教学难点：根据图象上的点和图象特征判断实际意义.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入上节课我们以等腰三角形的周长，降价销售，阶梯水价，生产安排等为例解决了以下几个一次函数问题：根据题目条件列出一次函数表达式；根据实际问题的意义确定自变量的取值范围；求给定条件的函数值；求给定条件的函数的最大值等.除了这些内容外，一次函数还有哪些应用呢？事实上一次函数的应用较为广泛，让我们开始今天的学习.介绍本节课的知识背景并引入新课，激发学生的学习兴趣新课例1.甲、乙两个通信公司分别制定了一种移动电话的收费办法.甲公司规定：每月收取月租费50元，每通话一分钟再收费0.4元；乙公司规定：不收取月租费，每通话一分钟收费0.6元.那么，应当怎样选择通信公司才能节省电话费？（通话不到1分钟按1分钟收费）分析：这是一个电话收费问题，涉及到两种收费方式.想要选择节省电话费的公司，也就是要比较通话时间相同时两个公司的电话费的大小，然后选择费用少的.我们首先要知道在通话时间相同的情况下两个公司的收费分别是多少.显然，电话费是通话时间的函数.为此可以设通话时间是t分钟，分别列出两家公司的电话费，再进行比较.解：设按照甲、乙两个通信公司的收费标准通话t分钟的话费分别为y1元和y2元，则这两个函数的表达式分别为：y1=0.4t+50（t≥0，t为整数）y2=0.6t（t≥0，t为整数）法一：当y1=y2时，即0.4t+50=0.6t.解得，t=250，当月通话时间为250分钟时，两公司收费相同.当y1>y2时，即0.4t+50>0.6t.解得，t<250，当月通话时间少于250分钟时，应选择乙公司.当y1<y2时，即0.4t+50<0.6t.解得，t>250，当月通话时间多于250分钟时，应选择甲公司.法二：在同一坐标系中画出两个函数的示意图.结合图象示意图可以得到如下结论：当月通话时间为250分钟时，两公司收费相同；当月通话时间少于250分钟时，应选择乙公司；当月通话时间多于250分钟时，应选择甲公司；小结：1.利用函数图象的直观性可以帮助分析、解决问题.2.要挖掘函数图象所蕴含的信息，如交点、高低等的实际意义。例2.练习1.北京居民用水价按家庭年用水量计算，标准如下：第一阶梯上限180立方米，水费为5元/立方米；第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；第三阶段为260立方米以上，水费价格为9元/立方米.设家庭年用水量x立方米，年水费y元.请用图象表示年水费y关于年用水量x的函数关系解：当0≤x≤180时，y=5x；（0,0）、（180,900）当180<x≤260时，y=7x-360；（180，900）、（260,1460）当x>260时，y=9x-880.（260，1460）、（300,1820）练习2.小宋计划用30分钟到离家15公里的学校，先乘公交车,发现公交车的速度比预想的快，所以他在乘车18分钟时下车，改骑共享自行车完成余下行程，并准点到校.设小宋出发后的时间为x分钟，离家的距离为y公里，下面图象中能表示y与x之间的函数关系的图象可能是（C）例2.甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图所示，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了________h；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析：线段OA，这是货车离开甲地的距离关于时间的函数关系，线段OA上有已知点O（0,0）、A（5,300），可求表达式为y=60x.(0≤x≤5)其实际意义是货车从甲地出发，匀速行驶5小时到相距300km的乙地.下面看折线BCDE。线段BC上有已知点B（1,0）、C（2,80），可求表达式为y=80x－80.(1≤x≤2)，其实际意义是轿车自货车出发1小时后出发，经1小时行驶了80公里.线段CD上有已知点C（2,80）、D（2.5,80）.两点纵坐标相同，CD与x轴平行.其实际意义是轿车在货车出发的第2到第2.5小时间没有行驶.线段DE上有已知点D（2.5,80）、E（4.5,300）.可求表达式为y=110x－195.(2.5<x≤4.5)其实际意义是轿车在货车出发的第2.5小时再次出发，并于第4.5小时到达乙地.所以折线BCDE表示轿车晚于货车一小时出发，行驶1小时后于途中停留0.5小时，然后继续行驶，在货车出发4.5小时后到达乙地.对比端点数据可知，轿车比货车早到0.5小时。通过图象有一个交点可知，此时两车距甲地距离相等，其实际意义是轿车于此时追上货车.解：（1）线段CD表示轿车在途中停留了________h；停留时间是C、D两点横坐标的差，2.5－2=0.5，所以停留了0.5小时（2）求线段DE所在直线的函数表达式；线段DE上有已知点D（2.5,80）、E（4.5,300）.可求表达式为y=110x－195.(2.5<x≤4.5)解得3.9－1＝2.9，也就是轿车出发2.9小时后追上货车练习4.请根据右图所示函数图象,自编一个符合函数图象的实际背景，并提出能用一次函数解决的问题.解：对一个容积为1000升的水池做注水试验，先开注水管，注满后观察一段时间，检验水池的密封性能，而后单开出水管排水.如图是水池中水的体积y(升)与时间x（分钟）之间的函数图象。问题1关注到图象中的已知点，我们可以求函数的表达式，并要求写出自变量的取值范围.问题2知道了函数表达式，我们还可以求当时间取某一数值时水的体积，如当45分钟时水的体积，在解决这个问题的时候要看时间在哪一段，再确定代入哪段的表达式。问题3除了给时间求水的体积，还可以给体积求时间，比如水的体积是600升，求时间。解决这个问题，就是要把y=600代入函数表达式，但代入哪个呢？我们可以过点（0,600）作与y轴平垂直的直线，看与图象的交点在哪段，再确定代入哪个表达式。显然，这里需要代入两段函数的表达式。问题4我们也可以对图象信息做出一些改动，比如放水段隐去与x轴交点，而给另一点，求何时能放完水。小结：就象函数表达式一样，同一个图象也可以有不同的实际背景。所以我们要有意识的建立起实际生活和一次函数的联系，并能从函数和实际生活两个角度考虑问题.另外，对于上节课的思考问题，已知函数值，应代入哪段表达式呢？我们有了新的思路，可以过y轴上表示这个函数值的点作垂直于y轴的直线，看与图象在哪段有交点，在哪段有交点，就把函数值代入这一段。通过方程和不等式以及图象法解决方案选择问题，体会用图象高低进行比较的方法，体会估算的价值。画分段的函数的图象的方法介绍图象倾斜程度的涵义体会图象特征和实际意义的联系体会图象特征和实际意义的联系，结合图象的已知点得到具体的信息体会函数图象与实际问题的联系，能从图象特征建立起与实际生活中的对应关系，并从图象或实际意义提出问题总结本节课我们解决了几个与图象有关