初二数学（北京版）-一元二次方程复习（第二课时）-1教案

教案教学基本信息课题一元二次方程复习（二）学科数学学段：第三学段年级八年级教材书名：数学出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.巩固应用一元二次方程解决实际问题的一般步骤、思路和方法.2.经历画关键词、列表、画示意图等方法提取题中有效信息，分析数量之间的关系，找出等量关系，完成实际问题的解答.3.提升数学阅读理解获取有效信息、分析数量关系解决实际问题的能力.4.进一步体会数学的建模思想，感受数学在实际生产生活中的应用.重点：应用一元二次方程解决实际问题.难点：正确分析题意找到等量关系列出方程教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入新课一元二次方程这一章主要研究了三个方面的知识：一元二次方程有关概念、一元二次方程解法和一元二次方程应用.上节课我们复习了前两部分内容，这节课我们来复习如何应用一元二次方程解决实际问题.指出本节课的主要学习任务.新授例1.某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，从今年1月份起使用新设备，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元.求使用新设备后，2、3月份生产收入的月增长率.分析：这是一道关于平均增长率的问题，首先我们要清楚平均增长率问题中基本量之间的关系：设平均增长率为x增长次数达到数值第0次a(基数)第1次a(1+x)第2次a(1+x)2本题中信息量比较大，数据比较多，要能够快速提取有效信息.我们可以在题中画出关键词，提取有效信息，找到等量关系.由于1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，可设2月、3月生成收入的月增长率为x.则：月份生产收入（万元）1100（基数）2100(1+x)3100(1+x)2累计100+100(1+x)+100(1+x)2解：设2月、3月生成收入的月增长率为x.根据题意，得100+100(1+x)+100(1+x)2=364.整理得x2+3x-0.64=0.(x-0.2)(x+3.2)=0.解这个方程得x1=0.2，x2=-3.2.其中x2=-3.2不合题意，舍去，所以x=0.2=20%.答：2月、3月生成收入的月增长率为20%.反思：1.对于信息量比较大，数据比较多的实际问题，要能够正确理解题意，准确提取有效信息.2.解决和增长率有关的问题时，要清楚增长率问题中基本量之间的关系.3.解方程的方法是利用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解；求出方程的解后要检验是否符合实际意义，根据增长率>0舍去不合题意的解.练习：一电器商城，3月份某品牌冰箱的价格是每台2500元，连续两次调价后，5月份每台冰箱的价格降至2025元，该品牌冰箱价格的月平均降低率是多少？分析：回顾平均降低率问题中基本量之间的关系：平均降低率是x，则降低次数达到数值第0次a(基数)第1次a(1x)第2次a(1x)2对照前面分析的基本量，在表格中填入相关数据月份价格（元）3250042500(1x)52500(1x)2解：设该品牌冰箱价格的月平均降低率是x，根据题意，得2500(1-x)2=2025.(1-x)2=0.81.解得x1=0.1，x2=1.9.其中x2=1.9不合题意，舍去，所以x=0.1=10%.答：该品牌冰箱价格的月平均降低率是10%.例2.某商场以每件60元的价格购进一批衬衫，如果每件售价定为100元，平均每天可售出20件.为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，在一定范围内，衬衫的销售单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的售价应定为每件多少元？分析：首先我们要清楚题中都涉及了哪些基本量.本题中涉及的数量关系：利润＝售价－进价.单件利润＝单件售价－单件进价.总利润＝单件利润×销售量.实际销售量＝原销售量＋增加销售量.设衬衫的售价应定为每件x元(60<x<100).相关数量如下表降价前降价后单件进价（元）6060单件售价（元）100x单件利润（元）100-60x-60销售量（件）2020+2(100x)总利润（元）(100-60)×20(x-60)[20+2(100x)]解：设衬衫的售价应定为每件x元，根据题意列方程，得(x-60)[20+2(100x)]=1200.整理，得x2-170x+7200=0.(x-80)(x-90)=0.解得x1=80，x2=90.答：售价定为80元或90元，都能使每天盈利1200元，因为要尽量减少库存，所以衬衫的售价应定为每件80元较合适.不同解法：解：设衬衫的售价每件降了y元，则售价应定为每件(100-y)元，根据题意列方程，得(100-y-60)(20+2y)＝1200.整理，得y230y+200=0.解得y1=10，y2=20.因为要尽量减少库存，所以y=20更合理.此时100-y=80.答：衬衫的售价应定为每件80元.反思：1.本题的难点在于涉及数量较多，数量关系较为复杂，以表格形式梳理题中的数量关系比较清晰直观，易于理解.2.解决销售问题时必须清楚基本量间的关系，如：利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售量.3.本题设未知数时可以直接设也可以间接设，直接设时，列出方程求解后得到的符合题意的解就是问题答案；间接设时要注意列出方程求解后得到的不是问题答案，要记得去求所求量.例3.要在一个8cm×12cm照片外侧的四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和照片的面积相等，那么银边的宽应该是多少？分析：根据题意可知，照片本身是长为12cm，宽为8cm的长方形，镶上银边后成为如图所示的大长方形，可将条件标在图中，因为银边的面积和照片的面积相等，所以大长方形的面积等于照片面积的两倍，即2×8×12（cm2），如果设银边的宽为xcm，那么镶上银边后的大长方形的长为(12+2x)cm，宽为(8+2x)cm，面积为(12+2x)(8+2x).进而可以列出方程求解.解：设银边的宽为xcm，根据题意，得(12+2x)(8+2x)=2×8×12.整理得x2+10x-24=0.(x+12)(x-2)=0.解得x1=-12，x2=2.其中x1=-12不合题意，舍去.答：银边的宽为2cm.不同思路：如图，仍然设银边的宽为xcm，银边部分可以看成由四个长方形和四个小正方形组成，其面积可以表示为2×12x+2×8x+4x2.又因为银边的面积和照片的面积相等，所以银边面积为8×12cm2.得到方程2×12x+2×8x+4x2=8×12，从而得解.反思：1.在利用方程解决和图形面积有关的问题时，常常要用不同方法表示同一图形面积列出方程，在研究图形面积时可以从整体角度看，也可以从局部角度看.2.和图形有关的问题很多条件隐含在图形中，要充分利用图形本身特征和性质挖掘隐含条件.3.结合题意画出图形，将已知和未知条件标识在图形中，有利于发现解决问题的办法.练习：有一条长40cm的绳子，你能否用它围成一个面积为75cm2的矩形？如果能，求出矩形的长和宽；如果不能，说明理由.分析：根据题意画出示意图.用40cm长的绳子围成矩形，说明矩形的周长是40cm，那么长和宽的和为20cm，若设长为xcm，则宽为(20-x)cm，面积为x(20-x).解：设围成的矩形的长为xcm，则宽为(20-x)cm，根据题意列方程，得x(20-x)=75.x2-20x+75=0.解得(x-15)(x-5)=0.x1=15，x2=5.所以20x=15或5.答：分别以15cm和5cm作为矩形的长和宽可以围成符合题意的矩形.思考：用这条长40cm的绳子能成一个面积为101cm2的矩形吗？如果能，求出矩形的长和宽；如果不能，说明理由.解：设围成的矩形一边长为xcm，则另一边长为(20-x)cm，根据题意，得x(20-x)=101.x2-20x+101=0.∵△=(-20)2-4×1×101=400-404=-4<0.∴此方程无实数根.所以用长40cm的绳子不能成一个面积为101cm2的矩形.不同思路：解：设矩形的长为xcm，则宽为(20-x)cm.根据题意可知S矩形=x(20x)=x2+20x(x10)2100∵(x-10)2≥0∴-(x-10)2≤0∴-(x-10)2+100≤100∴S矩形≤100所以能围成的矩形面积的最大值为100cm2，所以不能围成面积为101cm2的矩形.进一步思考当围成的矩形面积达到最大值时，矩形的形状有何特征？解：设矩形的长为xcm，则宽为(20-x)cm.根据题意可知S矩形=x(20x)=x2+20x(x10)2100∴当x=10时，S矩形最大值为100.此时20-x=10.所以此时矩形的长和宽相等，是正方形.反思：1.解决此题的关键是充分理解题意.首先要明确矩形周长为定值，其次要分析出如何设未知数.根据矩形性质可知矩形的长与宽的和为周长的一半，设长为未知数x，则可用含x的代数式表示宽，进而可以表示出矩形面积列出方程.2.周长确定的矩形，面积是不确定的，但却是有上限的，可以运用一元二次方程根的判别式，判断方程实根情况，进而分析出是否可以得到相应矩形；也可以运用配方法分析表示矩形面积的代数式，进而得出矩形面积的取值范围，判断是否可以得到相应矩形.随着学习的深入后面我们还会有其它方法来说明.复习利用方程解决应用题的一般步骤回忆增长率问题中基本量之间的关系，体会建模思想.培养学生的阅读理解能力，准确提取有效信息的能力，体会利用列表的方法分析题中的数量关系指导学生利用表格整理题中涉及的已知量未知量，分析数量关系指导学生在解决和图形有关问题时，可以根据题意画出图形，借