初二数学（北京版）-一元二次方程复习（第一课时）-1教案

教案教学基本信息课题一元二次方程复习（一）学科数学学段：第三学段年级八年级教材书名：数学出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.掌握一元二次方程的有关概念，能够正确识别一元二次方程.2.掌握一元二次方程四种解法的一般步骤和思路，理解一元二次方程根的判别式的作用，会根据方程特点合理选择解法.3.建立符号意识，提升学生对于方程的合理变形能力和正确的运算技能.4.进一步体会数学的基本思想，形成严谨求实的科学态度.重点：一元二次方程定义、解法及根的判别式的作用.难点：合理选择一元二次方程的解法，正确解方程.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入新课首先我们来回忆一下本章所讲主要内容和知识结构：指出本节课的主要学习任务.新授一、一元二次方程有关概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0）.其中ax2、bx、c分别是二次项、一次项、常数项；a、b分别是二次项系数、一次项系数.例1.判断下列方程是不是一元二次方程.（1）x（x＋2）=1；（2）3x2＋2y＋1=0.分析：如何判断给出的方程是不是一元二次方程?一元二次方程需满足三个条件：①方程左右两边都是整式形式；②方程中只含有一个未知数；③方程化为一般形式后未知数的最高次数是2.（1）解：原方程整理为：x2＋2x-1=0.符号三个条件，所以方程是一元二次方程.（2）解：因为方程中含有两个未知数，所以原方程不是一元二次方程.二、一元二次方程的解法：回忆一元二次方程的解法有哪些？1.开平方法；2.配方法；3.公式法；4.因式分解法.其中开平方法和因式分解法只适用于部分一元二次方程，但是求解比较简便；配方法和公式法适用于任何一元二次方程，是解一元二次方程的通法.下面我们分别复习各种解法.（一）开平方法：适用条件：可化为x2=m(m≥0)或(x＋n)2=m(m≥0)的方程.依据：平方根的意义.即如果x2=m(m≥0)，那么x=±m.一般步骤:1.将方程整理为x2=m(m≥0)或(x＋n)2=m(m≥0)的形式；2.开平方，将原方程化为两个一元一次方程；3.分别解这两个一元一次方程，写出原方程的解.例2.用开平方法解下列方程：（1）2x2-8=0；（2）3(x-2)2=1.解：（1）原方程可化为：2x2=8x2=4开平方得：x=±2∴原方程的解为x1=2，x2=－2.（2）原方程可化为：(x－2)2=开平方得：x－2=±13=±x=2±3∴原方程的解为x1=2＋33，x2反思：开平方法解一元二次方程的基本思路：利用开平方，将一元二次方程降次，将其转化为两个一元一次方程.（二）因式分解法：适用条件：方程可以化为两个一次因式的乘积等于0的形式(即A·B=0).依据：两个因式的积为0，那么这两个因式至少有一个等于0.(即如果A·B=0，那么A=0或B=0.)步骤：1.将方程化为右边是0，左边是两个因式乘积，即A·B=0的形式；2.依据“若A·B=0，则A=0或B=0”得到两个一元一次方程；3.解这两个一元一次方程得出原方程的解.例3.用因式分解法解下列方程：（1）x2=5x；（2）(x-3)2+2x(3-x)=0；（3）x2-5x+6=0.解：（1）x2=5x移项得x2-5x=0提取公因式得x(x-5)=0（A·B=0）所以x=0或x-5=0（A=0或B=0）原方程的解为：x1=0，x2=5.错例分析：看看小李同学的解法：解：在方程两边同时除以x,得x=5.所以方程的解是x=5.反思：错误的原因是违背了等式的基本性质2，是直接方程两边同时除以5造成丢解.解方程时，不能在方程两边都除以含有未知数的代数式，否则会造成丢解.（2）(x-3)2+2x(3-x)=0；原方程化为：(x-3)2-2x(x-3)=0提取公因式得(x-3)(x-3-2x)=0(x-3)(x+3)=0x-3=0，x+3=0原方程的解为：x1=3，x2=-3.反思：本题要特别关注x-3与3-x的关系.（3）x2-5x+6=0运用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，原方程可以变形为(x-2)(x-3)=0原方程的解为：x1=2，x2=3.反思：1.因式分解法虽然不是解一元二次方程的通法，但是如果方程符合应用因式分解法的条件，利用因式分解法会使运算简便，应优先选择.2.因式分解法解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程降次，使其转化为一元一次方程.（三）配方法：条件：配方法是解一元二次方程的通法，是将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方转化为(x+n)2=m(m≥0)的形式，再利用开平方法求出方程的解.依据：利用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2将方程进行恒等变形.一般步骤：1.把方程整理成一般形式，二次项系数化为1；2.把常数项移到等号右边；3.方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方的形式；4.利用开平方法解方程.例4.用配方法解下列方程：（1）x2－6x＋6=0；（2）2x2＋4x－1=0.解：（1）原方程可化为：x2－6x=－6x2－6x＋9=－6＋9(x－3)2=3x－3=±3x=3±3∴原方程的解为x1=3＋3，x2=3－3（2）原方程可化为：x2＋2x－12x2＋2x=1x2＋2x+1=12+∴原方程的解为：

x反思：1.可以发现，对任意一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）都可以用配方法将其转化为(x＋n)2=m的形式，在m≥0时用开平方法求解.2.通常当方程的一次项系数是二次项系数的偶数倍时，适用配方法求解.（四）公式法：利用配方法可以推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=-一般步骤:1.把方程整理为一般形式ax2＋bx＋c=0（a≠0），确定a、b、c的值；2.计算b2-4ac的值（注意b2-4ac<0时，方程没有实数根）；3.在b2-4ac≥0时，把a，b和b2-4ac的值代入求根公式x=-b例5.用公式法解下列方程：（1）x2－5x＋2=0；（2）3x2-23x+1=0.解：（1）x2－5x＋2=0；由于a=1，b=－5，c=2，所以b2-4ac=(－5)2－4×1×2=17代入公式，得x=∴原方程的解为：x（2）3x2-23x+1=0.由于a=3，b=-23，c=1，所以b2-4ac=(-23)2－4×3×1=12-12=0.代入公式，得x=∴原方程的解为：x反思：1.对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时都可用公式法求解.而且：当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根.2.公式法的特点：观察一元二次方程求根公式可以发现：直接将各项系数代入公式计算，即可得出方程的解，避免了配方的过程，对于用配方法求解比较繁琐的方程，更适合应用公式法.（五）根的判别式：△=b2-4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）根的判别式.当b2-4ac>0时方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时方程没有实数根.作用：不解方程，根据△=b2-4ac的取值情况判断一元二次方程根的情况.例6.不解方程判断下列关于x的一元二次方程根的情况.（1）x2－4x＋5=0；（2）x2＋mx=2.分析：将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，代入根的判别式b2-4ac，通过计算与0比较大小，即可得出判断.解：（1）∵a=1，b=－4，c=5，∴△=b2-4ac=(－4)2-4×1×5=16-20=-4<0，∴方程x2－4x＋5=0没有实数根.（2）原方程整理为：x2＋mx－2=0.∵a=1，b=m，c=－2，∴△=b2-4ac=m2-4×1×(－2)=m2+8，∵对于任意实数m，总有m2≥0∴△=m2+8>0，∴方程x2＋mx=2有两个不相等的实数根.例7.用适当方法解下列方程：（1）3(x-3)2-48=0；（2）2x2-2=5x；（3）(y+3)2=2y+6；（4）x(x-4)=4(x-1).分析：（1）因为原方程很容易化为(x-3)2=16，所以用开平方法比较简便；（2）将原方程化为一般式得2x2-5x-2=0，观察发现若要利用配方法，计算会比较繁琐，可以选择公式法；（3）观察发现等号右边可以化为2(y+3)，则可以移项后提取公因式，因此选择因式分解法比较简便；（4）原方程表面看不出什么特点，可先将其整理化为一般式得x2-8x+4=0，发现二次项系数为1，一次项系数是偶数，用配方法比较方便.解：（1）原方程可化为(x-3)2=16x-3=±4x=3±4∴原方程的解为：x1=3+4，x2=3-4.（2）原方程可化为2x2-5x-2=0由于a=2，b=-5，c=-2，所以b2-4ac=(-5)2－4×2×（-2）=5+16=21代入公式，得x=∴原方程的解为：x（3）原方程可化为(y+3)2=2(y+3)(y+3)2-2(y+3)=0(y+3)(y+3-2)=0(y+3)(y+1)=0y+3=0，y+1=0∴原方程的解为：y1=-3，y2=-1.（4）原方程整理化为x2-8x+4=0x2-8x=-4x2-8x+16=-4+16(x-4)2=12x-4=±x=4±∴原方程的解为：x1=4+23，x2=4-反思：1.合理选择一元二次方程解法的关键，是要认真观察方程的特点，首先考虑是否能用开平方法或因式分解法求解，其次考虑配方法或公式法；2.当方程形式比较复杂不容易看出适用于哪种方法时，可以先将其化为一般形式再判断；3.解一元二次方程的基本思路是：将一元二次方程降次转化为一元一次方程.回忆一元二次方程的有关概念通过辨析更好的理解一元二次方程的有关概念复习开平方法解一元二次方程的适用条件，依据和一般步骤.利用开平方法解一元二次方程提升运算技能，体会解一元二次方程的基本思路.反思提升复习因式分解法解一元二次方程的适用条件、依据和一般步骤.利用因式分解法解一元二次方程，体会因式分解法的便捷，提升代数式变形技能和运算能力，进一步体会解一元二次方程的基本思路降次.复习配方法解一元二次方程的基本思路和一般步骤，理解配方法是将不能直接用开平方法求解的一元二次方程转化为可以用开平方法去解的形式,提升代数式变形技能和运算能力.复习公式法解一元二次方程的一般步骤和思路，理解公式法是由配方法推导出来的直接联系方程的根与系数间关系的结论，可以避免配方过程而直接求出根，提升运算技能.反思提升认识理解根的判别式的概念，体会根的判别式的作用.培养学生根据方程特点合理选择一元二次方程的解法的能力，提升辨别能力和计算能力