2025-2026学年高校教师试讲教案

2025-2026学年高校教师试讲教案科目Xx授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师张老师授课班级、授课课时2025年12月授课题目（包括教材及章节名称）课程基本信息1.课程名称：高等数学

2.教学年级和班级：大学一年级数学分析班

3.授课时间：2025年10月15日星期五上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算和直观想象等核心素养。通过引入实际问题，引导学生运用数学知识分析和解决问题，提升学生的数学思维能力和应用能力。同时，通过小组合作和探究活动，培养学生的团队合作精神和创新意识。重点难点及解决办法重点：

1.连续函数的介值定理及其应用

2.利用导数研究函数的极值和最值

难点：

1.介值定理的直观理解和证明

2.导数在求解极值和最值中的应用及判断

解决办法与突破策略：

1.通过实例和图形演示介值定理的直观含义，结合定理的证明步骤，帮助学生理解其应用。

2.在讲解导数时，强调导数的几何意义，通过导数与函数单调性的关系，帮助学生掌握极值和最值的求解方法。

3.设计实践性问题，让学生在解决问题的过程中，加深对连续函数性质和导数应用的理解。

4.通过小组讨论和课堂练习，培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。教学资源准备1.教材：《高等数学》教材，确保每位学生人手一册。

2.辅助材料：准备与连续函数和导数相关的教学视频、图表和图形动画，以便于学生直观理解概念。

3.实验器材：无实验要求。

4.教室布置：设置小组讨论区，配备白板和投影仪，以便于展示教学内容和互动讨论。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对连续函数的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道什么是连续函数吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于连续函数在自然界和社会生活中的应用实例，如温度变化曲线、心跳频率等，让学生初步感受连续函数的魅力或特点。

简短介绍连续函数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.连续函数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解连续函数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解连续函数的定义，包括其主要组成元素或结构，如函数的定义域、值域、图像等。

详细介绍连续函数的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.连续函数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解连续函数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的连续函数案例进行分析，如连续函数的间断点、极限等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解连续函数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对数学理论发展的影响，以及如何利用连续函数解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论连续函数在实际应用中的挑战，如如何确定函数的连续性，以及如何处理间断点等，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与连续函数相关的主题进行深入讨论，如“如何判断一个函数的连续性”或“连续函数在物理学中的应用”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对连续函数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调连续函数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括连续函数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调连续函数在数学理论研究和实际问题解决中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用连续函数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于连续函数的短文或报告，以巩固学习效果，并要求学生思考连续函数在某一具体领域中的应用潜力。学生学习效果学生学习效果是教学过程中最为重要的评价标准之一。在本节课的学习结束后，学生应达到以下效果：

1.理解连续函数的基本概念和性质：学生能够准确解释连续函数的定义，理解连续函数与间断函数的区别，掌握连续函数的性质，如极限、导数等。

2.掌握连续函数的判定方法：学生能够运用连续函数的性质，如介值定理、导数等，来判断一个函数在某区间内是否连续。

3.熟悉连续函数的应用：学生能够将连续函数应用于实际问题中，如物理学中的温度变化、经济学中的供需关系等，解决实际问题。

4.提升逻辑推理能力：通过本节课的学习，学生在连续函数的性质和应用中，培养了严密的逻辑推理能力，能够更好地理解和运用数学知识。

5.增强解决问题的能力：学生在案例分析、小组讨论等环节中，学会了如何分析问题、解决问题，提高了实际操作能力。

6.培养团队合作精神：小组讨论和课堂展示环节，让学生在合作中互相学习、互相启发，培养了团队协作精神。

7.提高自主学习能力：课后作业的完成，要求学生自主查找资料、整理思路，提高了自主学习能力。

8.增强数学思维能力：连续函数的学习，涉及极限、导数等概念，有助于学生提高数学思维能力，为后续学习打下坚实基础。

9.激发学习兴趣：通过本节课的学习，学生对连续函数产生了浓厚的兴趣，激发了进一步学习数学的积极性。

10.培养创新意识：在小组讨论中，学生提出了创新性的想法和建议，培养了创新意识。

-学生对连续函数的理解更加深入，能够灵活运用所学知识解决实际问题；

-学生的逻辑推理能力和解决问题的能力得到提升；

-学生的团队合作精神和自主学习能力得到加强；

-学生的数学思维能力和创新意识得到培养；

-学生对数学产生了浓厚的兴趣，激发了进一步学习数学的积极性。板书设计①连续函数的基本概念

-定义：函数f(x)在区间I内，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0<|x-x₀|<δ时，有|f(x)-f(x₀)|<ε，则称函数f(x)在点x₀处连续。

-连续函数的性质：极限存在且唯一，函数的值域是实数集。

②连续函数的判定方法

-介值定理：如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于f(a)和f(b)之间的任意一个值c，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c。

-导数的应用：如果一个函数在某点的导数存在且不为零，则该函数在该点连续。

③连续函数的应用实例

-物理学中的应用：描述温度随时间的变化，如温度变化曲线。

-经济学中的应用：分析市场需求和供给的变化，如供需曲线。重点题型整理1.题型：判断函数在某点是否连续。

例题：已知函数f(x)=x²-3x+2在x=1处是否连续？

解答：计算f(1)=1²-3*1+2=0，同时计算极限lim(x→1)f(x)=1²-3*1+2=0。因为f(1)=极限值，所以函数在x=1处连续。

2.题型：证明函数在某区间内连续。

例题：证明函数f(x)=√(x²+1)在区间(-∞,+∞)内连续。

解答：由于f(x)=√(x²+1)是一个多项式函数的开方，且多项式函数在实数域内连续，开方运算也保持连续性，因此f(x)在区间(-∞,+∞)内连续。

3.题型：利用介值定理求解问题。

例题：证明方程x³-3x+2=0在区间[-1,2]内至少有一个实根。

解答：计算f(-1)=(-1)³-3*(-1)+2=4>0，计算f(2)=2³-3*2+2=2>0。由于f(-1)和f(2)同号，且f(x)在区间[-1,2]内连续，根据介值定理，存在至少一个ξ∈(-1,2)，使得f(ξ)=0。

4.题型：求函数的间断点并判断间断点的类型。

例题：判断函数f(x)=(x²-1)/(x-1)在x=1处的间断点类型。

解答：计算f(1)=(1²-1)/(1-1)=0/0，这是不定形式。计算极限lim(x→1)f(x)=lim(x→1)(x²-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2。因此，x=1是可去间断点。

5.题型：应用连续函数求解极值问题。

例题：求函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[0,3]内的最大值和最小值。

解答：计算f'(x)=3x²-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。计算f(0)=1，f(1)=5，f(3)=1。因此，函数在x=1处取得最大值5，在x=0和x=3处取得最小值1。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了连续函数的基本概念、判定方法以及应用。通过实例分析和小组讨论，同学们对连续函数的性质有了更深入的理解。以下是本节课的要点总结：

1.连续函数的定义：函数在某点连续，意味着在该点的极限存在且等于函数值。

2.连续函数的性质：连续函数的极限存在且唯一，连续函数的值域是实数集。

3.连续函数的判定方法：介值定理和导数的应用是判断函数连续性的重要工具。

4.连续函数的应用：连续函数在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握程度，以下是一些当堂检测题目：

1.判断题：如果一个函数在某点的导数存在，那么该函数在该点一定连续。（）

2.填空题：函数f(x)=|x|在x=0