2025-2026学年广东省湛江市湛江二十一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省湛江二十一中高二（上）开学考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。2.已知复数z=(1+i)(2_i)，则z的虚部为()3.已知集合A={_4,0,1,2,8}，B={x|x3=x}，则A∩B=()4.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64(单位：cm)，则下列说法错误的是()A.铁棍的长度的极差为0.04cmB.铁棍的长度的众数为3.62cmC.铁棍的长度的中位数为3.625cmD.铁棍的长度的第80百分位数为3.63cm5.设α,β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是()6.已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足=2，则向量=()ABC.+Dxy7.已知x+y=4，且x>0，y>0，则1+1的最小值是(xyA.1B.2C.2D.228.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为()二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。A.+=(3,6)B.⊥C.=2D..10.已知函数f=sin则下列结论中正确的有()A.函数f(x)在区间[_,]上单调递增B.直线x=_是函数f(x)的一条对称轴C.函数f(x)的图象关于点0)中心对称D.若函数y=f(x+θ)的图像关于y轴对称，则正数θ的最小值为11.如图，正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是()A.三棱锥A1_APD的体积为定值B.A1P//平面ACD1C.AP+B1P的最小值为22D.当A1，C，D1，P四点共面时，四面体B1PA1C1的外接球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。__12.设复数z满足z_i=1+i，则=．__13.设A，B是随机事件，且P(A)=，P(B)=，P(AUB)=，则P(A∩B)=．14.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆E(正方形ABCD内部，含边界)上，则.的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知a2_b2=aC_C2．(1)求B；若b=5，C0sC求C．16.(本小题15分)中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的[35,45)，[45,55)，[55,65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求m的值；(2)求这500名中国AI大模型用户的年龄在[35,65]内的人数；(3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数(各组数据以该组区间的中点值作代表)．l7.(本小题15分)如图，在四棱锥P_ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA丄底面ABCD，E是PD的中点，F是AC的中点．(1)证明：EF//平面PAB；(2)证明：BD丄平面PAC；(3)证明：平面PBD丄平面PAC．l8.(本小题17分)Deepseek是由中国杭州的Deepseek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高Deepseek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加Deepseek培训．(1)已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次Deepseek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率；(2)此次Deepseek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P_ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC//AD，平面PAB丄平面PBC，且AB=BC=2，PA=AD=4．(1)若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC//l；(2)求l与AC所成的角；(3)求二面角C_PD_A的余弦值．参考答案1.A2.A3.D4.D5.D6.B7.A8.B9.ACD10.BCD11.ABD15.(1)a2_b2=aC_C2变形为：a2+C2_b2=aC，根据正弦定理得：即解得：C16.(1)10×(0.01+0.03+0.04+m+0.005)=1⇒m=0.015；(2)根据题意可知，这500名中国AI大模型用户的年龄在[35,65]内的人数为500×10×(0.04+0.015+0.005)=300人；(3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为17.证明：(1)如图，连接BD，因为四边形ABCD是菱形，所以AC和BD互相平分，因为F是AC中点，所以F也是BD中点，又因为PE=DE，所以EF//PB，因为PBC平面PAB，EF丈平面PAB，所以EF//平面PAB；(2)因为PA丄平面ABCD，BDC平面ABCD，所以PA丄BD，因为四边形ABCD是菱形，所以AC丄BD，又因为AP∩AC=A，AP，ACC平面PAC，所以BD丄平面PAC；(3)由(2)知BD丄平面PAC，因为BDC平面PBD，故平面PBD丄平面PAC．18.(1)记A部门的3名领导为a1，a2，a3，B部门的3名领导为b1，b2，b3，从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有：a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共15种，选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：a1a2，a1a3，a2a3，共3种，所以全部来自A部门领导的概率为(2)记C=“每位员工经过培训合格”，Ai=“每位员工第i轮培训达到优秀”(i=1,2,3)，___则P(A1)=P(A2)=,P(A3)=，C=A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3UA1A2A______依题意，P(C)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)___=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)221121211221233233233233233所以每位员工经过培训合格的概率为2．319.(1)证明：因为BC//AD，BC⊄平面PAD，ADC平面PAD，所以BC//平面PAD，又因为BCC平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以l//BC．(2)过点A在平面PAB内作AH⊥PB，垂足为点H，如图所示：因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AHC平面PAB，因为AH⊥PB，所以AH⊥平面PBC，因为BCC平面PBC，所以AH⊥BC，因为PA⊥平面ABCD，BCC平面ABCD，所以BC⊥PA，因为PA∩AH=A，PA、AHC平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为ABC平面PAB，所以BC⊥AB，因为l//BC，所以l与AC所成的角为LACB或其补角，又因为AB=BC=2，则△ABC为等腰直角三角形，所以LACB4则l与AC所成的角为π.4(3)取AD的中点0，连接C0，因为AD=4，BC=2，AD//BC，所以A0=2=BC，所以四边形ABC0为平行四边形，所以CO//AB，CO丄AD，因为PA丄平面ABCD，COC平面ABCD，所以CO丄PA，又因为PA∩AD=A，PA，AD