广东省五校2026-2027学年高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省五校2026-2027学年高三上学期第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题p:∃x∈R，x2−x+1≤0，那么¬p为(

)A.∀x∈R，x2−x+1>0 B.∃x∈R，x2−x+1>0

C.∀x∈R，x22.已知集合P={x∈N|y=5−xln(x−1)}，则A.7 B.8 C.15 D.163.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2aA.11 B.50 C.55 D.604.已知l,m是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是(

)A.若l//m,m⊂α，则l//α B.若l//α,m//β,α//β，则l//m

C.若α⊥β,l⊂α,m⊂β，则l⊥m D.若m⊥β,l//α,l//m，则α⊥β5.已知变量x和y的统计数据如表：x12345y66788根据上表可得回归直线方程y=0.6x+a，据此可以预测当x=8时，A.8.5 B.9 C.9.5 D.106.已知b>0，且3a⋅9b=3，则A.1 B.2 C.3 7.近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点。现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件A=“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件B=“甲和乙选择不同的景点”，则P(B|A)=(

)A.89 B.910 C.10118.已知函数fx=ex+2,x≤0x+1x,x>0，若A.2,3 B.2,3 C.3,+∞ D.3,+∞二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的是(

)A.若z∈R，则z=z B.若z2∈R，则z∈R

C.若z2+1=0，则z=±i 10.已知数列an的首项a1=3，且满足n+1aA.a2=2B.数列nan为等差数列

C.数列an−1an+1−1的前n11.已知定义域为R的偶函数f(x)满足fx+2=−f−x，当x∈1,2时，fA.f−1=0 B.f(x)的图象关于点3,0成中心对称

C.f2026三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.x−25的展开式中x3的系数是13.已知函数f(x)=x+4x,x≥a14x+4,x<a14.已知正四面体ABCD的棱长为42，用满足MA2+MB2=MC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知f(x)=−f′(1)(1)求f′(1)并写出f(x)的表达式;(2)证明：f(x)≤x−1．16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A(1)求证：平面ACC1A(2)求二面角B−AC117.(本小题15分)

某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球．

(1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率：

(2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略：

若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大．18.(本小题17分)已知数列an的前n项和为Sn，且a1(1)求数列an(2)记bn=n2−Snn∈N(3)记cn=2−Snnn+1n∈N∗，数列cn的前n项和为19.(本小题17分)函数fx(1)当a=e+1时，求函数fx在1(2)若存在x∈0,+∞，使得fx≤0(3)若函数fx有两个零点x1、x2，且2x11.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】40

13.【答案】4

14.【答案】815.【答案】解：(1)因为f′(x)=−2x·f′(1)+1+2x，令x=1解得f′(1)=1，所以f(x)=−x2+x+2lnx.

(2)构造F(x)=f(x)−x+1=−x2+2lnx+1，F′(x)=−2x+2x=2(1−x)(1+x)x．

当0<x<1时，F′(x)>0，于是F(x)在[0,1]单调递增;

当16.【答案】解：(1)第一步：找到两个线线垂直，其中一个由正方形提供，一个由勾股定理的逆定理提供因为侧面ACC1A1是边长为4的正方形，

所以CC1⊥AC，C1C=AC=4.

因为AB=2，AB⊥BC，所以BC=23.第二步：完成面面垂直的证明因为BC∩AC=C，BC，AC⊂平面ABC，所以CC1⊥平面ABC，因为CC1⊂平面(2)第一步：建系，求相关点及向量的坐标以A为坐标原点，AC，AA1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

因为AC=4，AB=2，BC=23，所以∠BAC=π3，

所以A(0,0,0)，B(第二步：求法向量，其中有一个法向量可直接写出设平面ABC1的法向量为n1=(x,y,z)，

由AB⋅n1=0AC1⋅第三步：求二面角的余弦值所以cosn1,n2=n1⋅

17.【答案】解：(1)某篮球运动员在训练中进行投篮练习，

其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立，

在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球，

记选择2分球为事件A，选择3分球为事件B，投一次篮命中为事件C，

则P(A)=P(B)=0.5，

∴他投一次篮命中的概率为：

P(C)=P(CA+CB)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5×0.8+0.5×0.5=0.65．

(2)当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为ξ，ξ可取值有0，2，3，4，

则P(ξ=0)=(1−0.8)(1−0.5)=0.1，

P(ξ=2)=0.8×(1−0.8)=0.16，

P(ξ=3)=(1−0.8)×0.5=0.1，

P(ξ=4)=0.8×0.8=0.64，

∴随机变量ξ的分布列为：ξ0234P0.10.160.10.64∴E(ξ)=0+0.32+0.3+2.56=3.18，

当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为η，η可取值有0，2，3，6，

可得P(η=0)=(1−0.5)(1−0.8)=0.1，P(η=2)=(1−0.5)×0.8=0.4，

P(η=3)=0.5×(1−0.5)=0.25，P(η=6)=0.5×0.5=0.25，

∴随机变量η的分布列为：η0236P0.10.40.250.25∴E(η)=0+0.8+0.75+1.5=3.05，

∵3.18>3.05，即E(ξ)>E(η)，

∴该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大．

18.【答案】解：(1)由递推关系an+1=n+1因此数列ann是首项为a1故ann=(2)S两边同乘12得：1①−②得：12S因此Sn=2−n+22nbn+1−bn=(n+1)(n+3)2当n≥2时，bn+1−bn<0因此bn的最大值为b由bn≤λ对任意n∈N∗恒成立，得λ≥2，即(3)由(2)得cn裂项得：n+2n(n+1)因此cn前n项和Tn又{Tn}为单调递增数列，故T由m≤Tn<k所以m≤34．即实数m的最大值为34，整数k的最小值为1

19.【答案】解：(1)当a=e+1时，fx=e令mx=f′x因为y=ex和y=−1x在12所以m′x>m′(12)=又因为f′1所以当x∈12,1时，f′x<0所以函数fx的单调递减区间是12,1(2)解：由不等式fx≤0，可得即a≥e因为存在x∈0,+∞，使得fx≤0成立，即a≥令t=exx构造函数tx=e当0<x<1时，t′x<0；当x>1时，所以tx在0,1递减，在1,+∞递增，所以txmin又因为函数y