上海上师大附中2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（2026.6）(含答案)

上师大附中2025-2026学年第二学期高二年级数学期末统考2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，集合，则．

2．不等式的解为．

3．某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为48的样本，则应从高二年级抽取学生人数为．

4．已知随机变量服从二项分布，且，则．

5．在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为．

6．已知由如下表格数据得到的线性回归方程为，则的值是．34562.544.57．已知正数满足，则的最小值为．

8．设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换2次后，黑球还在罐中的概率为．

9．已知某港口一天内潮水的深度（单位：米）与时间（单位：小时）近似满足函数关系，则时潮水涨落的的时速度为米/小时.

10．已知复数满足（为虚数单位），且，则的最大值为．

11．已知不等式对任意恒成立，则的取值范围是．

12．已知全集，任取的两个子集（可以相等），记事件；事件，则．

二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）

13．已知集合，若，则的取值范围为（）.

A．B．C．D．

14．袋子中有4个标数字1，2，3，4的球，从中不放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件＂第一次取出的球的数字是1＂，乙表示事件＂第二次取出的球的数字是2＂，丙表示事件＂两次取出的球的数字之和是5＂，丁表示事件＂两次取出的球的数字之和是4＂，则下列选项不正确的是（）.A．甲与丙相互独立B．甲与乙相互独立C．丙与丁互斥D．乙与丁互斥

15．若数据：的中位数是；数据：的平均数是4．则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（）.

①平均数一定是4；②中位数可能是3；③方差一定不是．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

16．已知.对满足等式的实数得出结论：

①；②．对这两个结论的判断，正确的是（）.

A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假

三、解答题（17－19每题14分，20－21每题18分，共78分）

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知复数满足

（1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求；

（2）若复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，求实数的值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知．

（1）若，求函数在上的最小值；

（2）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

19．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第2小题满分分．

为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房、体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点、街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表：青壮年中老年合计商业健身场馆60社区公共运动场50合计80170（1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关；

（2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望.参考公式及数据：，其中．0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出下凸函数的定义：

定义1：设函数在区间上有定义，若对于任意，有，当且仅当时等号成立，则称为上的下凸函数；

定义2：设函数在区间上有定义，若对于任意，有，当且仅当时等号成立，则称为上的下凸函数；

可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题：

（1）若，判断是否为上的下凸函数，并说明理由；

（2）若，且为上的下凸函数，求实数的取值范围；

（3）若，且为上的下凸函数，设为常数，且，求的最小值．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数且.

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；（3）若函数的图像与的图像相交于不同的两点和，求的取值范围．上师大附中2025-2026学年第二学期高二年级数学期末统考2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，集合，则．

【答案】

2．不等式的解为．

【答案】

3．某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为48的样本，则应从高二年级抽取学生人数为．

【答案】18

4．已知随机变量服从二项分布，且，则．

【答案】12

5．在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为．

【答案】0.1

6．已知由如下表格数据得到的线性回归方程为，则的值是．34562.544.5【答案】3

7．已知正数满足，则的最小值为．

【答案】

8．设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换2次后，黑球还在罐中的概率为．

【答案】

9．已知某港口一天内潮水的深度（单位：米）与时间（单位：小时）近似满足函数关系，则时潮水涨落的的时速度为米/小时.

【答案】

10．已知复数满足（为虚数单位），且，则的最大值为．

【答案】

11．已知不等式对任意恒成立，则的取值范围是．

【答案】

12．已知全集，任取的两个子集（可以相等），记事件；事件，则．

【答案】

二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）

13．已知集合，若，则的取值范围为（）.

A．B．C．D．

【答案】C

14．袋子中有4个标数字1，2，3，4的球，从中不放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件＂第一次取出的球的数字是1＂，乙表示事件＂第二次取出的球的数字是2＂，丙表示事件＂两次取出的球的数字之和是5＂，丁表示事件＂两次取出的球的数字之和是4＂，则下列选项不正确的是（）.A．甲与丙相互独立B．甲与乙相互独立C．丙与丁互斥D．乙与丁互斥

【答案】B

15．若数据：的中位数是；数据：的平均数是4．则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（）.

①平均数一定是4；②中位数可能是3；③方差一定不是．

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【答案】D

16．已知.对满足等式的实数得出结论：

①；②．对这两个结论的判断，正确的是（）.

A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假

【答案】A

三．解答题（17－19每题14分，20－21每题18分，共78分）

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知复数满足

（1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求；

（2）若复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，求实数的值．

【答案】（1）（2）或17.【详解】（1）设，则

（2）设，那么，得到．由此可知．

若．因为，所以，解得．又因为，所以．

若．因为，所以或-3．那么或-3．

综上所述或17.

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知．

（1）若，求函数在上的最小值；

（2）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）

【详解】（1），

令，得，故 -1 1 严格增极大值严格减极小值严格增,当时，最小值为

（2）极大值，且极小值即可，即，所以

19．（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第2小题满分分．

为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房、体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点、街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表：青壮年中老年合计商业健身场馆60社区公共运动场50合计80170（1）请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关；

（2）用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望.参考公式及数据：，其中．0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）能（2）分布列见解析，

【解析】（1）根据已知数据计算空缺值，得到完整列联表如下：青壮年中老年合计商业健身场馆6040100社区公共运动场205070合计8090170因为,

因此有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关．

（2）选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为，

因此抽取的样本中青壮年人数：，中老年人数：．

设抽取的7人中中老年人数为，则青壮年人数为．

因为青壮年共4人，故，解得，又，因此，对应的可能取值为．总情况数为，（对应或）时，，（对应）时，，（对应）时，，（对应）时，，因此，的分布列为：1357所以

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出下凸函数的定义：

定义1：设函数在区间上有定义，若对于任意，有，当且仅当时等号成立，则称为上的下凸函数；

定义2：设函数在区间上有定义，若对于任意，有，当且仅当时等号成立，则称为上的下凸函数；

可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题：

（1）若，判断是否为上的下凸函数，并说明理由；

（2）若，且为上的下凸函数，求实数的取值范围；

（3）若，且为上的下凸函数，设为常数，且，求的最小值．

【答案】（1）是，理由见解析（2）（3）【解析】（1）因为的定义域为R，任取，

则.

即，所以在上为下凸函数．（2）对于任意，有，即，即，即，当且仅当时等号成立，

若，则成立，若，则须成立，所以，

综上

（3）令，因为在上为下凸函数，

所以函数，在上为下凸函数，

依题意，，

即，

因此，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数且.

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；（3）若函数的图像与的图像相交于不同的两点和，求的取值范围．

【答案】（1）（2），切点坐标为（3）【解析】（1）当时，的定义域为