初二下册数学-第07讲-图形的平移与旋转（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲-图形的平移与旋转授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标认识图形的平移与旋转；掌握图形的平移与旋转的性质；掌握平移与旋转的作图步骤。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。2、平移的性质：①一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行且相等；②对应线段平行且相等，对应角相等。3、平移作图的步骤与方法：一般步骤：（1）分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离；（2）分析所作的图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点；（4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；（5）写出结论。平移作图的方法：“对应点连接法”和“全等图形法”4、图形的坐标变化与平移：（1）纵坐标保持不变，横坐标分别加①当为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移个单位长度；②当为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移个单位长度；（2）横坐标保持不变，纵坐标分别加①当为正数时，原图形形状、大小不变，向上平移个单位长度；②当为负数时，原图形形状、大小不变，向下平移个单位长度；5、图形平移的变换（1）图形在坐标系中的平移其实就是点的坐标平移；（2）一个图形依次沿轴方向、轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到。变换的方法：①一次平移的方向是由原图形的点到平移后图形的对应点的方向；②若沿轴方向平移的单位长度为，沿轴方向平移的单位长度为，则原图形经过一次平移的距离为.旋转1、旋转的概念（1）在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。（2）旋转不改变图形的大小和形状。2、旋转的性质（1）一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；（2）对应线段相等，对应角相等。3、旋转作图的常见形式、步骤与方法（1）旋转作图常以下列两种形式出现：①已知原图、旋转中心和一对对应点或一对对应线段，做旋转后的图形；②已知原图、旋转中心、旋转方向和旋转角，作旋转后的图形.（2）旋转作图的一般步骤：①分析题目要求，找出旋转中心、旋转角；②分析所作图形，找出构成图形的关键点；③沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点；④顺次连接各个关键点的对应点，并标上相应的字母；⑤写出结论.考点一：图形的平移例1、如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm【解析】选C．例2、如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】此题意得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2．选：A．例3、如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（）A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【解析】选A．例4、在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4【解析】点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限，∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D．例5、如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为13cm．【解析】∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，∴EF=DC=4cm，FC=7cm，∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C，BF=5cm，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm，∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．故答案为：13．例6、如图所示，直线a平移后得到直线b，∠1=60°，∠B=130°，则∠2=70°．【解析】过B作BD∥a，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴BD∥b，∴∠4=∠2，∠3=∠1=60°，∴∠2=∠ABC﹣∠3=70°，故答案为：70°．例7、在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）已知A（2，0），B（﹣1，﹣4），C（3，﹣3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；（2）将△ABC向上平移4个单位，得到△A1B1C1；（3）求四边形A1B1BA的周长．【解析】（1）△ABC如图所示；（2）△A1B1C1如图所示；（3）根据勾股定理，AB==5，所以，四边形A1B1BA的周长=5+4+5+4=18．考点二：图形的旋转例1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2 C．3 D．2【解析】选：A．例2、如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【解析】旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．例3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A． B．2 C．3 D．2【解析】故选A．例4、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是+．【解析】如图，连接AD，由题意得：CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CA，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=AD=2，∵AC=AD，CE=ED，∴AE垂直平分DC，∴EO=DC=，OA=CA•sin60°=，∴AE=EO+OA=+，故答案为+．例5、如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=46度．【解析】∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，即∠BCB′=∠ACA′，∴∠BCB′=67°，∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，故答案为：46．例6、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【解析】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、下列图形中，周长最长的是（）A． B． C． D．【解析】选：B．2、△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，则下列说法错误的是（）A．四边形ABED是矩形 B．ADCFC．BC=CF D．DF=CF【解析】选C．3、如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将Rt△ABC沿着BC的方向平移到Rt△DEF的位置，已知AB=5，DO=2，平移距离为3，则阴影部分的面积为（）A．12 B．24 C．21 D．20.5【解析】∵△ABC沿BCC的方向平移到△DEF的位置，∴S△ABC=S△DEF，∴S阴影部分+S△OEC=S梯形ABEO+S△OEC，∴S阴影部分=S梯形ABEO=×（5﹣2+5）×3=12．故选：A．4、在坐标平面上两点A（﹣a+2，﹣b+1）、B（3a，b），若点A向右移动2个单位长度后，再向下移动3个单位长度后与点B重合，则点B所在的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（3，﹣1） C．（3，﹣3） D．（3，0）【解析】选B．5、如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=4，那么P，P′两点间的距离为（）A．4 B．4 C．4 D．8【解析】连接PP′，∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即线段AB旋转后到AC，∴旋转了90°，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=4，∴PP′===4，故选B．6、将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）A．96 B．69 C．66 D．99【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．故选：B．7、如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【解析】∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B．8、把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能【解析】∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．9、将点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为（﹣2，2）．【解析】∵点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣3=﹣2，纵坐标为﹣3+5=2，∴A′的坐标为（﹣2，2）．故答案为（﹣2，2）．10、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=．【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===．故答案为．11、如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？【解析】平移后得绿化部分长为（20﹣2）米，宽为（32﹣2）米，面积为（20﹣2）×（32﹣2）=18×30=540（平方米）．答：则绿化的面积为540平方米．12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；（2）求四边形AEFC的周长．【解析】（1）∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，∴AD=BE=CF，BC=EF=3cm，∵AE=8cm，DB=2cm，∴AD=BE=CF==3cm；（2）四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18cm．课后反击1、如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解析】选：C．2、已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1） B．B（1，7） C．（1，1） D．（2，1）【解析】选C．3、如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）【解析】由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，则P（a﹣2，b+3）故选A．4、如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．85°【解析】选C．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）A．4 B．6 C．3 D．3【解析】选B．6、如图所示，将△ABC绕点A按逆时针旋转50°后，得到△ADC′，则∠ABD的度数是（）A．30° B．45° C．65° D．75°【解析】选C．7、如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为25°．【解析】∵∠B=55°，∠C=100°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣100°=25°，∵△ABC平移得到△A′B′C′，∴AB∥A′B′，∴∠AB′A′=∠A=25°．8、在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是（2，2）．【解析】答案为（2，2）．9、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD=5（提示：可连接BE）【解析】连接BE，如右图所示，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB=3，BC=4，∠ABC=30°，∴∠BCE=60°，CB=CE，AE=BD，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE=60°，BE=BC=4，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，∴AE=，又∵AE=BD，∴BD=5，故答案为：5．10、已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，∠α=70°，∠β=30°．（1）如图①，求∠AEC的度数；（2）如图②，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．【解析】（1）过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD=∠α，∵∠α=70°，∴∠BCD=70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD=70°=35°，∵EF∥l2，∴∠FEC=∠ECD=35°，同理可求∠AEF=15°，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=50°；（2）过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD=∠α，∵∠α=70°，∴∠BCD=70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD=70°=35°，∵EF∥l2，∴∠FEC=∠ECD=35°，∵l1∥l2，∴∠BAD+∠β=180°，∵∠β=30°，∴∠BAD=150°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=×150°=75°，∵EF∥l1，∴∠BAE+∠AEF=180°，∴∠AEF=105°，∴∠AEC=105°+35°=140°．11、如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，求线段B′E的值．【解析】∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，∴AB==3，∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3，∵点E为BO的中点，∴OE=BO=×6=3，∴OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，S△A′OB′=×3•OF=×3×6，解得OF=，在Rt△EOF中，EF==，