初二数学-第12讲-一元一次不等式与一元一次不等式组（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第12讲-一元一次不等式与一元一次不等式组授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解不等式的概念；掌握一元一次不等式的概念、解法及应用；掌握一元一次不等式组的解法及应用。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识梳理1、不等式的定义：一般的，用符号“”（或“”）“”(或“”)连接的式子叫做不等式。2、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。3、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若，则。（2）传递性：若，，则。（3）若，则同号，反之，若同号，则；若，则异号，反之，若异号，则。（4）若，则，反之，若，则；若，则，反之，若，则。4、不等式的解集（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。（3）不等式的解与不等式的解集的区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。5、不等式解集的两种表示方法：（1）用不等式表示；（2）用数轴表示。6、一元一次不等式的概念：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。7、一元一次不等式的解法：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，（5）系数化1。8、一元一次不等式与一次函数：（1）利用一次函数的图象解一元一次不等式（或）。（2）利用一次函数的图象解一元一次不等式（或）9、一元一次不等式组的概念：一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。10、一元一次不等式组的解集的概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。11、一元一次不等式组的解法步骤一：根据不等式的性质求出每一个不等式的解集步骤二：将每一个不等式的解集利用数轴进行合并得到不等式组的解由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中)不等式图示解集(大大取大)(小小取小)(大小小大中间找)无解(大大小小解不了)12、一元一次不等式组的应用列不等式组解决实际问题的一般步骤（1）找：找出问题中的不等关系；（2）设：设出未知数；（3）列：根据前面的不等关系列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）答：检验后答出结果。考点一：不等式的基本性质例1、下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b|C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2【解析】选：C．例2、下列判断中，正确的序号为①④⑤．①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．【解析】答案为：①④⑤．例3、利用不等式的性质把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）2x﹣1＞7；（2）3x＞7x﹣8；（3）6x﹣1＞12x+6；（4）2x+1＞7x+6．【解析】（1）解得：x＞4；（2）解得：x＜2；（3）解得：x＜﹣；（4）解得：x＜﹣1．考点二：一元一次不等式（组）例1、不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0【解析】不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0，故选D例2、已知不等式4x﹣a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是（）A．8＜a＜12 B．8≤a＜12C．8＜a≤12 D．8≤a≤12【解析】不等式4x﹣a≤0的解集是x≤，因为正整数解是1，2，而只有当不等式的解集为x≤2，x≤2.1，x≤2.2等时，但x＜3时，其整数解才为1，2，则2≤＜3，即a的取值范围是8≤a＜12，故选B例3、已知不等式组有解，则n的取值范围是n＜1．【解析】不等式组有解，则n的取值范围是n＜1，故答案为：n＜1．例4、关于x的两个不等式①＜1与②1﹣3x＞0（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．【解析】（1）由①得：x＜，由②得：x＜，由两不等式的解集相同，得=，解得：a=1；（2）由不等式①的解都是②的解，得到≤，解得：a≥1．例5、解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：（1）+1＞x﹣3；（2）．【解析】（1）去分母得：x﹣5+2＞2x﹣6，解得：x＜3，在数轴上表示出来为：；（2），由①得：x≤1，由②得：x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示出来为：考点三：一元一次不等式（组）与一次函数例1、直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（）A．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤0【解析】选A．例2、如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是x＞3．【解析】当x＞3时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞3．故答案为：x＞3．例3、如图，函数y=﹣2x+3与y=﹣x+m的图象交于P（n，﹣2）．（1）求出m、n的值；（2）直接写出不等式﹣x+m＞﹣2x+3的解集；（3）求出△ABP的面积．【解析】（1）∵y=﹣2x+3过P（n，﹣2）．∴﹣2=﹣2n+3，解得：n=，∴P（，﹣2），∵y=﹣x+m的图象过P（，﹣2）．∴﹣2=﹣×+m，解得：m=﹣；（2）不等式﹣x+m＞﹣2x+3的解集为x＞；（3）∵当y=﹣2x+3中，x=0时，y=3，∴A（0，3），∵y=﹣x﹣中，x=0时，y=﹣，∴B（0，﹣），∴AB=3；∴△ABP的面积：AB×=×=．考点四：不等式的综合应用例1、为了更好地治理木兰溪水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有AB两种设备，AB单价分别为a万元/台b万元/台月处理污水分别为240吨/月200吨/月，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．（1）求a、b的值．（2）经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．【解析】（1）由题意，得，解得：．答：a=12，b=10；（2）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，由题意，得：0≤12x+10（10﹣x）≤105，解得：0≤x≤2.5，∵x为非负整数，∴x=0，1，2∴有三种购买方案：方案1：购买A种设0台，购买B种设备10台，方案2：购买A种设1台，购买B种设备9台，方案1：购买A种设2台，购买B种设备8台，（3）由题意，得240x+200（10﹣x）≥2040，解得：x≥1，设购买需要的总费用为W万元，由题意，得W=12x+10（10﹣x），=2x+100．∴k=2＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=1时，W最小=102，∴购买A种设1台，购买B种设备9台最省钱．例2、某蔬菜培育中心决定向某灾区配送无辐射蔬菜和水果共3200箱，其中水果比蔬菜多800箱．（1）求水果和蔬菜各有多少箱？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批水果和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装水果400箱和蔬菜100箱，每辆乙种货车最多可装水果和蔬菜各200箱，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费4000元，乙种货车每辆需付运费3600元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【解析】（1）设水果有x箱，则蔬菜有（x﹣800）箱，则x+（x﹣800）=2300，解得x=2000，则x﹣800=1200．答：水果和蔬菜分别为2000箱和1200箱．（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（8﹣a）辆．根据题意，得，解得：2≤a≤4．因为a为整数，所以a=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×4000+6×3600=29600元；②3×4000+5×3600=30000元；③4×4000+4×3600=30400元．故方案①的运费最少，最少运费是29600元．所以，运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是29600元．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、如果a＞b，那么下列不等式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＞﹣5b C．＞ D．﹣0.5a＜﹣0.5b【解析】选：B．2、不等式无解，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2【解析】选：C．3、若关于x的不等式2x﹣m≤0的正整数解只有4个，则m的取值范围是（）A．8＜m＜10 B．8≤m＜10 C．8≤m≤10 D．4≤m＜5【解析】关于x的不等式2x﹣m≤0的正整数解只有4个，∴不等式2x﹣m≤0的4个正整数解只能为1、2、3、4，∴4≤m＜5，∴8≤m＜10．故选B．4、若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0【解析】选C．5、若关于x不等式组有且只有四个整数解，且一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解析】解不等式组得，＜x≤2，∵不等式组有且只有四个整数解，∴其整数解为：﹣1，0，1，2，∴﹣2≤＜﹣1，即﹣4≤k＜﹣2．∵一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限，∴，解得﹣5≤k＜﹣3，∴﹣4≤k＜﹣3，∴k的整数解只有﹣4．故选D．6、下列各式中，正确的有③⑤（把所有正确的答案都写上）①由a＜b可得ac＜bc；②由2x＜﹣6可得x＞﹣3；③由xz2＜yz2可得x＜y；④由x＜y可得xz2＜yz2；⑤由2﹣x=2可得x=0；⑥由2﹣x＞2可得x＞0．【解析】答案为③⑤．7、如图，已知函数y=ax+2与y=bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则根据图象可得不等式ax＞bx﹣5的解集是x＜2．【解析】∵ax＞bx﹣5，∴ax+2＞bx﹣3，从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，y=ax+2的函数值大于y=bx﹣5的函数值，∴ax＞bx﹣5的解集是：x＜2．8、已知关于x、y的方程组的解满足不等式3﹣x＜2y，求实数a的取值范围．【解析】方程组的解为：∵3﹣x＜2y，∴3﹣，解得：a＞1．9、解下列不等式及不等式组，并把解在数轴上表示上出来：（1）（2）．【解析】（1）原不等式可变形为：6x﹣6＜3﹣2x+6x，解得：x＜4.5，此解集在数轴上表示为：（2）原不等式组可转化为：，解得：﹣1≤x＜3，此解集在数轴上表示为：10、如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）当x≤1时，kx+b≥mx﹣n；（2）不等式kx+b＜0的解集是x＞3；（3）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：的解；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．【解析】（1）当x≤1时，kx+b≥mx﹣n；（2）不等式kx+b＜0的解集为x＞3；（3）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组的解；（4）把A（0，﹣1），P（1，1）分别代入y=mx﹣n得，解得，l1的解析式为y=2x﹣1，当y=0时，2x﹣1=0，解得x=，所以M点的坐标为（，0）；把P（1，1）、B（3，0）分别代入y=kx+b得，解得，直线l2的解析式为y=﹣x+，当x=0时，y=﹣x+=，则N点坐标为（0，），所以四边形OMPN的面积=S△ONB﹣S△PMB=×3×﹣×（3﹣）×1=1．课后反击1、若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y2【解析】选D2、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3【解析】∵关于x的不等式组无解，∴a≤3．故选：A．3、已知不等式2x﹣a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（）A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12【解析】解得：x≤a．根据题意得：5≤a＜6，解得：10≤a＜12．故选D．4、直线l的解析式是y=kx+2，其中k是不等式组的解，则直线l的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解得：k＜﹣9，∵直线l的解析式是y=kx+2，k＜0，2＞0，∴直线l的图象不经过第，三象限，故选C．5、己知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3；④x＞3时，y1＜y2．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据图示及数据可知：①k＜0正确；②a＜0，原来的说法错误；③方程kx+b=x+a的解是x=3，正确；④当x＞3时，y1＜y2正确．故正确的个数是3．故选：C．6、已知﹣2＜x+y＜3且1＜x﹣y＜4，则z=2x﹣3y的取值范围是1＜z＜11．【解析】﹣2＜x+y＜3①，1＜x﹣y＜4②，设a（x+y）+b（x﹣y）=2x﹣3y，则有，解得：a=，b=故z=，即﹣×（3）+1×＜z＜所以1＜z＜11故答案为：1＜z＜11．7、如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是﹣3．【解析】∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n的交点的横坐标为﹣2，∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，∴整数解可能是﹣3．故答案为：﹣3．8、已知x=1满足不等式组，求a的取值范围．【解析】3x﹣5≤2x﹣4a，解得x≤5﹣4a；解3（x﹣a）＜4（x+2）﹣5，解得x＞3﹣3a．由x=1满足不等式组，得，解得＜a≤1，a的取值范围是＜a≤1．9、观察如图，对照图象，请回答下列问题：（1）当x取何值时，2x﹣5=﹣x+1？（2）当x取何值时，2x﹣5＞﹣x+1？（3）当x取何值时，2x﹣5＜﹣x+1？【解析】（1）由图象可知，直线y=2x﹣5与直线y=﹣x+1的交点的横坐标是2，所以当x取2时，2x﹣5=﹣x+1；（2）由图象可知，当x＞2时，直线y=2x﹣5落在直线y=﹣x+1的上方，即2x﹣5＞﹣x+1；（3）由图象可知，当x＜2时，直线y=2x﹣5落在直线y=﹣x+1的下方，即2x﹣5＜﹣x+1．10、某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，已知：购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元；购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品50台，其中电脑机箱不少于24台．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有几种进货方案？【解析】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据题意得：，解得：．答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元．（2）设购进电脑机箱a台，则购进液晶显示器（50﹣a）台，根据题意得：，解得：24≤a≤26．又a为整数，∴a=24，25，26．故该经销商有3种进货方案．直击中考直击中考1、【2016•丰台】下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2