初二数学-第01讲-勾股定理（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-勾股定理授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解勾股定理的内容；掌握勾股定理的判别条件；掌握勾股定理的应用。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识梳理1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有：。2、勾股定理的常见证明：3、勾股数：我们把满足勾股定理的这样一组数称为够勾股数。常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15；4、直角三角形的判定：若三角形的三条边满足两边的平方等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。其中第三边所对的角是直角。5、勾股定理的应用（1）在直角三角形中，已知两边长求第三边长；（2）求立体图形表面上的两点间的最短距离。考点一：勾股定理例1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解析】过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，∴AE==3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD长为正整数，∴点D的个数共有3个，故选：C．例2、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A．86 B．64 C．54 D．48【解析】如图1，S1=AC2，S2=AB2，S3=BC2，∵BC2=AB2﹣AC2，∴S2﹣S1=S3，如图2，S4=S5+S6，∴S3+S4=45﹣16+11+14=54．故选C．例3、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=5，BC=12，则AD的长为．【解析】连接AE．∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC．设EC=x，则AE=EC=x，BE=BC﹣EC=12﹣x，∵在直角△ABE中，AE2=AB2+BE2，∴x2=52+（12﹣x）2，解得：x=．即EC=．∵AD∥BC，∴∠D=∠OEC，在△AOD和△COE中，，∴△AOD≌△COE，∴AD=EC=．故答案是：．例4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB=45°，CD=10．（1）求AB的长；（2）求EC的长．【解析】（1）在Rt△ACD中，∵∠D=60°，CD=10，∴AC=，∠DAC=30°，又∵AD∥BC，∵∠ACB=∠DAC=30°，∴在Rt△ACB中，AB=AC==．（2）在Rt△ABE中，∠AEB=45°，∴BE=AB=，由（1）可知，BC=AB==15，∴EC=BC﹣BE=．考点二：勾股定理的判定例1、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6【解析】选D．例2、一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【解析】∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，故选C．例3、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角 B．∠C为直角C．∠B为直角 D．不是直角三角形【解析】∵（a+b）（a﹣b）=c2，∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．例4、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3③△ABC中，a：b：c=13：5：12④△ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有4个．【解析】答案为：4．例5、如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=90度．【解析】∵S1=3，S2=2，S3=1，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，故答案为：90．例6、有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是15．【解析】设第三个数为x，∵是一组勾股数，∴①x2+82=172，解得：x=15，②172+82=x2，解得：x=（不合题意，舍去），故答案为：15．例7、如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【解析】连接BD，∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°，∴BD=5cm，S△ABD=×3×4=6cm2又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm，∴BD2+CD2=BC2∴∠BDC=90°，∴S△BDC=×5×12=30cm2∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．考点三：勾股定理的应用例1、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里【解析】由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP==30（海里）故选：D．例2、长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．（）A．7 B． C．24 D．【解析】①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H′E===7，②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H′E==故选B．例3、有一棵大树在离地面高9m处断裂，大树顶部在离其底部12m处，大树折断之前的高度是（）A．16m B．20m C．3m D．24m【解析】如图：∵AB=9米，AC=12米，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴BC=15米，∴树折断之前有24米．故选：D．例4、一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解析】（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．例5、校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米．已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒．（1）求CD的长．（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.414，=1.73）【解析】（1）作DE∥AB交BC于E，如图所示：则∠CDE=∠A=60°，设CD=x米，∵AC⊥l，∴∠ACB=90°，∴∠CED=30°，∴DE=2CD=2x，∴CE=x，∵∠BDC=75°，∴∠BDE=15°，∵∠CED=∠BDE+∠DBE，∴∠DBE=15°=∠BDE，∴BE=DE=2x，又∵∠A=60°，∴BC=AC，∴x+2x=（x+40），解得：x=20，即CD=20米；（2）这辆车在本路段不超速；理由如下：由（1）得：x=20，∴BC=CE+BE=×20+2×20=60+40（米），校车从B到C匀速行驶用时10秒，速度为（60+40）÷10=6+4（米/秒）≈46.67千米/小时＜50千米/小时，∴这辆车在本路段不超速．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【解析】选C．2、在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【解析】故选B．3、下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5【解析】选D．4、如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（）A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm【解析】由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，∴x2=（12×4）2+202，所以彩带最短是52cm．故选D5、从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A．24 B．12 C． D．2【解析】由题意可得，在Rt△ABC中，AB===2（m），故选：D．6、小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（）A．1m B．2m C．3m D．m【解析】选D．7、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了0.5米．【解析】在直角△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC==2米，在直角△CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，∴CE==1.5米，∴AE=2米﹣1.5米=0.5米．故答案为：0.5．8、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．【解析】∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，又∵CD=3，DA=1，∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故∠DAB的度数为135°．9、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙ON上，这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？【解析】在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB=2.5米，BO=0.7米，则根据勾股定理求得AC==2.4米，∵A点下移0.4米，∴CO=2米，在Rt△COD中，已知CD=2.5米，CO=2米，则根据勾股定理DO==1.5米，∴BD=OD﹣BO=1.5米﹣0.7米=0.8米，所以梯子向外平移0.8米．10、如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？【解析】（1）地毯的长度=AB+BC=7+6+3=13+3（米）；（2）设EN=DM=BF=x，则BM=DF=CF=7﹣x，∵EN⊥AB，∠EAB=30°，∴AN=EN=x，∵AB=AN+MN+MB，∴x+2+（7﹣x）=6+3，解得：x=3，即平台的高度为3m，所需费用为100×3×（AN+EN）+120×3×（ED+DF+CF）=100×3×（3+3）+120×3×（2+4+4）=900+4500（元）；答：用地毯铺满整个楼梯共需要花费（900+4500）元钱．课后反击1、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【解析】选C2、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【解析】根据题意画出图形，如图所示，选C．3、在△ABC中，已知AB=1，BC=2，AC=，则（）A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．∠A=60°【解析】选：A．4、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm【解析】将长方体展开，连接A、B′，则AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′==10cm．故选C．5、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m【解析】在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7由勾股定理得：AB==，由题意可知AB=A′B′=，又OA′=3，根据勾股定理得：OB′==，∴BB′=7﹣＜1．故选A．6、如图是一块地，已知AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．【解析】连接AC，∵CD⊥AD∴∠ADC=90°，∵AD=4，CD=3，∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，又∵AC＞0，∴AC=5，又∵BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=169，又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC﹣S△ADC=30﹣6=24m2．7、探索：如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连结BE、CD，试确定BE与CD有怎样数量关系，并说明理由．应用：如图②，要测量池塘两岸B、E两地之间的距离，已知测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．【解析】探索：BE=CD，理由：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中∵，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；应用：如图②，过点A作AD⊥AB，且AD=AB，连接BD，由探索，得△CAD≌△EAB，∴BE=DC，∵BC=AB=100m，∴AB=AD=100m，∵∠DAB=90°，∴∠ABD=45°，BD=100m，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=100m，BD=100m，∴CD==100（m），则BE=100m，答：BE的长为100m．8、某单位有一块四边形的空地，∠B=90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？【解析】连接AC，∵∠B=90°，∴在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC=32+42=52，在△ACD中，CD2=132，AD2=122，∵52+122=132，∴AC2+AD2=CD2，∴∠DAC=90°，∴S四边形ABCD