26.2.2二次函数的图象和性质 教学课件

新人教版·九年级上册第二十六章

二次函数26.2二次函数的图象和性质26.2.2二次函数y=ax²+k的图象和性质回顾旧知开口方向

；对称轴

，即

；顶点坐标分别是

；是抛物线最

点；当x

时，函数有最

值当x

时，y随着x的增大而减小；当x

时，y随着x的

而增大；二次函数y=2x²的图象

；二次函数y=2x²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取何值时，函数有最值？增减性如何？y=2x2向上y轴（0，0）直线x=0一条抛物线<0>0=0小增大低探究新知

想一想如何y=ax²+bx+c转化为类似y=ax²+k的简单形式?上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ax²+bx+c=0配方

(x-h)²=k二次函数y=ax²+bx+c类似方程配方转化y=a(x-h)²+k

探究新知

提取a配方整理化简

k≠0探究新知画出二次函数y=x²,y=x2+1，y=x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.x…－2－1012…y＝x2…41014…y＝x2＋1…52125…y＝x2－1…30－103…410145212530－103探究新知（1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？（2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？图象的形状开口方向对称轴抛物线向上y轴函数y=x²y=x²+1y=x²-1顶点坐标（0，0）（0，1）（0，－1）（3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为

、____、

；低小10-1当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.探究新知y1

=x²y2

=x²+1二次项相同+0常数项不同相同的自变量x对应的函数值相差1，即y2比y1多1y1=x²y3=x²-1二次项相同+0常数项不同相同的自变量x对应的函数值相差1，即y3比y1少1y2=x²+1、y3=x²-1与y1=x²函数图象形状相同，位置沿y轴上下平移（4）y=x²+1、y=x²-1的图象可由y=x²的图象如何平移得到？y=x²的图象向上平移1个单位y=x²+1的图像向下平移1个单位y=x²－1的图像y=x²的图象探究新知观察图象填空：函数开口方向对称轴顶点坐标y=x2y=x2＋1y=x2－1向上向上向上y轴y轴y轴(0,1)(0,-1)(0,0)思考：(1)抛物线y＝x2向

平移

⁠个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向

平移

个单位长度可得到抛物线y＝x2－1.(2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝

时，y取最

⁠值为

．上1下10小1探究新知画出二次函数y=-x²,y=-x2+1，y=-x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.x…－2－1012…y＝－x2…－4－10－1－4…y＝－x2＋1…－3010－3…y＝－x2－1…－5－2－1－2－5…－4－10－1－4－3010－3－5－2－1－2－5探究新知（1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？（2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？图象的形状开口方向对称轴抛物线向下y轴函数y=x²y=x²+1y=x²-1顶点坐标（0，0）（0，1）（0，－1）（3）有没有最值？最值分别是多少？增减性是否相同？顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下分别为

、____、

；高大10-1当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.探究新知观察图象填空：函数开口方向对称轴顶点坐标y=-x2y=-x2＋1y=-x2－1向下向下向下y轴y轴y轴(0,1)(0,-1)(0,0)思考：(1)抛物线y＝x2向

平移

⁠个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向

平移

个单位长度可得到抛物线y＝x2－1.(2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝

时，y取最

⁠值为

．上1下10大1思考抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？yOx

y=ax2+k(k<0)y=ax2+k

(k>0)

y=ax2

k

ka>0，开口向上a<0，开口向下yOx

y=ax2+k(k<0)y=ax2+k

(k>0)

y=ax2(a<0)

k

k当k>0时，向上平移k个单位长度得到当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到上下平移规律：上加下减常数项y=ax2顶点(0,0)y=ax2+k顶点(0,k)归纳小结二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质

y=ax2+ka＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上向下y轴（直线x=0）(0，k)当

x=0

时，y最小值

=k当

x=0

时，y最大值

=k当

x＜0时，y随

x

的增大而减小；x＞0时，y

随x的增大而增大x＜0时，y

随x的增大而增大；当

x＞0

时，y

随

x的增大而减小注意：k带前面的符号！思考1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？2.抛物线y=ax2+k

中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k

︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.(1)a决定开口方向：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；|a|决定开口大小：|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大；(2)k决定顶点的纵坐标,对称轴为y轴,顶点坐标为（0，k）.易错提醒（1）作图易错：抛物线必须用光滑曲线连接，不能画折线、直线；取值务必对称，保证图象对称；（2）性质易错：二次函数增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统描述；（3）规律易错：开口宽窄只看|a|，与a的正负无关；（4）最值易错：a>0有最小值、a<0有最大值，最值均为0，切勿记反.课堂练习3.例2(2025广州市二模)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝－x2－2上，且0<x1<x2，则y1

y2.(填“<”“>”或“＝”) 4.(2025珠海市三模)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2＋1图象上，则（A）＞AA．

y1<y2<y3B．

y2<y3<y1C．

y3<y1<y2D．

y2<y1<y3典例精析

例

关于二次函数

y=2x2+4，下列说法错误的是()A．其图象的开口方向向上B．当

x=0时，y

有最大值

4C．其图象的对称轴是

y轴D．其图象的顶点坐标为(0，4)B分析：当

x=0时，y

有最小值

4典例精析例

在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(

)方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．D典例精析如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标.解：当y=0时，0=x2-4解得：x=±2即A点的坐标为(-2,0)，B点的坐标为(2,0).∴AB=4.∵S△PAB=4，设P点纵坐标为b

∴｜b｜=2即b=±2当b=2时，x2-4=2解得x=当b=-2时，x2-4=-2解得x=

课堂小结二次函数y=ax2+k的图象和性质图象1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点的位置；3.对称轴是y轴.性质增减性结合开口方向和对称轴才能确定.与y=ax2的关系平移规律：k正向上；k负向下.拓展1、对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.2、已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.3、抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面