河北省雄安新区部分校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题（含解析）

高三数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】已知，，因此.已知全集，因此.2.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由已知得，3.若是奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题意知是奇函数，且当时，，则.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，代入得到切线斜率，再结合切点坐标由点斜式即可写出方程.【详解】因为，将代入导函数，可得，已知切点为，由点斜式可得切线方程为，即.5.若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，令，因为和在上均为增函数，所以为增函数，又因为，所以的解集为，所以的最大值与最小值的差为4.6.函数f（x）的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由，得，所以的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以为偶函数，的图象关于轴对称，故排除选项A，C；当时，，故排除选项D．只能选B．7.已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】设正四棱柱的底面边长为x，由正四棱柱的一个侧面的周长为12，正四棱柱的高为，可得，故，则该正四棱柱的体积，即.8.若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数性质可得，结合基本不等式可求，故可求目标代数式的最大值.【详解】因为，所以，其中，所以．而，故，故即，当且仅当时等号成立，而．故的最大值为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.的充要条件是B.是的必要不充分条件C.是的充分不必要条件D.是的既不充分也不必要条件【答案】BD【解析】【详解】由，得，即，则或，所以的充要条件不是，A错误．由，得，由，得，所以是的必要不充分条件，B正确．若，则，则未必成立，即未必成立，若，则，即，所以是的必要不充分条件，C错误．取，但，所以推不出，，但，所以推不出，所以是的既不充分也不必要条件，D正确．10.已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则（）A. B.C.是奇函数 D.不可能是一次函数【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数的定义、函数单调性的性质，结合一次函数的性质、代入法逐一判断即可.【详解】A：在中，令，，解得，因此本选项说法正确；B：在中，令，，解得，因为，，所以，又因为在上单调，所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确；C：在中，令，，解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确；D：由上可知：，假设是一次函数，设，因为，所以有，当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确.11.已知函数，则（）A.只有一个极值点B.当时，无零点C.当，时，D.当时，集合有7个真子集【答案】AC【解析】【分析】对于A：求导，利用导数分析的单调性和极值即可；对于B：可知函数的最小值为，利用零点代换可得，结合零点存在性定理即可判断；对于C：取即可判断；对于D：根据最小值可得，进而分析判断.【详解】对于选项A：因为函数的定义域为，且，可知函数在内单调递增，且，，则函数在内有且仅有一个零点，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数只有一个极值点，故A正确，对于选项B：由选项A可知：函数的最小值为，且当趋近于0或时，趋近于，又因为，即，，则，令，可知在内单调递增，则，可得，当时，则，所以函数有且仅有2个零点，故B错误；对于选项C：当，时，可得，且，所以，故C正确；对于选项D：当时，则，可得，又因为在内单调递减，在内单调递增，且当趋近于0或时，趋近于，由，则或，可知与均有2个不同的解，则集合有4个元素，其真子集有个，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题“”的否定是______．【答案】【解析】【详解】命题“”的否定是“”．13.若，则______，复数的虚部为______．【答案】①.②.##【解析】【详解】由，得，得，因为，得，所以．因为，所以，得，又，所以，则．因为，所以的虚部为．14.若，则______．【答案】【解析】【分析】先比较与的大小和与的大小，再通过这两组大小去构造出题目条件的不等式，发现构造出大于等于的不等式，故原式只能取等号从而求出的值.【详解】构造函数，，故，所以当时，，故在时单调递减，当时，，故在时单调递增，所以时，取最小值，即，故，当且仅当时，等号成立，同理构造函数，则，当时，，即在时单调递减，当时，，即在时单调递增，故当时，取最小值，即，故（当且仅当时，等号成立），所以，，则，所以．又，所以，当且仅当，即时，等号成立．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求；（2）求的值域；（3）求曲线的对称中心的坐标．【答案】（1）（2）（3）【解析】【小问1详解】.【小问2详解】，∵，∴，∴的值域为.【小问3详解】由（2）知，令，，解得，∴的对称中心的坐标为.16.（1）解方程：．（2）若，求关于的函数表达式．（3）若二次函数是偶函数，且，求t的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质结合对数的性质可求的值；（2）法1：分离常数后反解结合指对数转化可求关于的函数表达式；法2：去分母反解结合指对数转化可求关于的函数表达式；（3）利用待定系数法可求的值.【详解】（1）因为，所以，则，所以．（2）法1：因为，所以，即，则，所以y关于x的函数表达式为．法2：因为，所以，即，则，所以，则，所以y关于x的函数表达式为．（3）依题意设．因为是偶函数，所以由，得，所以，所以，解得．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，且曲线的切线经过点，求的斜率．【答案】（1）当时，在，上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，无增区间；当时，在，上单调递减，在上单调递增．（2）切线的斜率为或.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性；（2）先求得，再根据导数的几何意义可求切线方程的一般形式，代入所过的点后可求切点横坐标，从而可得斜率.【小问1详解】，令，得或．当，即时，若，则，若，则，故在上单调递增；在上单调递减.当，即时，（不恒为零），则在上单调递减，无增区间.当，即时，若，则，若，则，故在上单调递增；在上单调递减.综上，当时，在，上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，无增区间；当时，在，上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】由，得，则，则．设切线与曲线相切于点，则，，所以的方程为，将点的坐标代入，得，则，即，解得或．当时，；当时，．故的斜率为或．18.对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值．（1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一．（2）若定义在上的函数的值域为，且在上先减后增，试问是否为俏函数？说明你的理由．（3）若函数，求的最大值与俏值．【答案】（1）对，，当且仅当时等号成立，因此，函数在上有最小值，故函数为俏函数，是的一个俏值，对任意大于的正整数，函数在上有最小值，故都不是的俏值，综上所述，是俏函数，且是其唯一的俏值.（2）是俏函数，理由如下：设，的图象可由的图象向右平移个单位得到，因为定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增，所以定义在上值域为，在上先单调递减再单调递增，不妨设，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上有最小值，又因为的值域为，所以，故是俏函数，是它的一个俏值.（3）最大值为，俏值为【解析】【分析】（1）先求的最小值并找出一个俏值证明其是俏函数，再证明该俏值的唯一性；（2）先分析函数的单调性及值域，再根据俏函数的定义证明；（3）先将转换为一个二次函数与的复合函数，可求得最大值，再结合二次函数及的单调性和对称性，分类讨论，确定俏值.【小问1详解】略【小问2详解】略【小问3详解】经化简，函数，设，则由基本不等式得当且仅当时等号成立，对，，，则恒成立，所以的图象关于对称，对，且，则，因为，所以，，即，因此，即，因此在上单调递减，在上单调递增，且代入可得，，，可大致画出图象，因此存在，使得，此时可取最大值；由二次函数的性质可知，在时单调递增，在时单调递减，即越大，则越小，而，，，而当时，且单调递增，所以单调递增，因此对于，当时，，所以此时在区间上没有最小值；当时，此时有最小值，所以是的一个俏值；当时，此时有最小值，所以不是的俏值；当时，因，所以，所以都不是的俏值.综上所述，的最大值为，俏值为.19.已知函数．（1）证明：．（2）若函数在上有零点，求的取值范围．（3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：．【答案】（1）设，则，令，得；令，解得；令，解得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在处取极小值，也是最小值，故，所以.（2）（3）设,，那么得到，，所以，即，由（1），得即，设，则函数在上单调递增，，由（1）可得，故.故，所以,故，要证，只需证，即证，令，则.由于，所以由得，即，解得，要证，即证，即证，要证，只需证,即,又，即证，即证，即，设，则，那么令，得，所以函数单调递增，又，故在区间上，即，所以，故.【解析】【分析】（1）构造函数，通过求导，证明函数最小值大于0即可得证;（2）方法一：对函数求导得到函数的单调性，再通过虚设导函数零点，要使在上有零点，则，从而求得的取值范围；方法二：在上有零点等价于在上有解，先证明不等式，则，那么，再通过分类讨论确定的取值范围；（3）设,，则，由交点坐标可得，设，则函数在上单调递增，结合（1）的结论可证，所以,从而得到，结合换元法代入化简，最终只需证，再通过构