初二数学（北京版）-一元二次方程应用（第四课时）-1教案

教案教学基本信息课题一元二次方程应用（第四课时）学科数学学段：第三学段年级八年级教材书名：数学出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.会应用一元二次方程解决与图形面积有关的实际问题.2.经历观察、分析数量之间的关系，找出等量关系，完成与图形面积有关的实际问题的解答.3.提升学生的通过阅读提取信息处理信息的能力，提升分析问题解决问题能力.4.体会数学建模思想的应用，感受数学在实际生产生活中的应用价值.重点：应用一元二次方程解决与图形面积有关的实际问题.难点：正确分析题意找到等量关系列出方程.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习引入1.回顾一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）答题.2.已经研究过的主要题型：数字问题、增长率问题、几何图形问题、销售利润问题等.这节课我们来研究如何利用一元二次方程解决和图形面积有关的一些实际问题.与前面课程相衔接，指出本节课的主要学习任务.探索新知巩固新知探索新知巩固新知例1：如图，用80m长的篱笆在墙边（墙的长度不限）围一个矩形草坪，当矩形面积是750m2时，它的长和宽应为多少？分析：由于所围矩形借助于墙边，所以垂直于墙有两边，平行于墙有一边.根据题意知：AB＋BC＋CD=2AB＋BC=80m，S矩形=AB·BC=750m2..若设垂直于墙的边AB=CD=xm，则根据第一个等量关系可知平行于墙的一边BC=（80-2x）m，根据第二个等量关系即可列出方程.解：设垂直于墙的边AB=CD=xm，则平行于墙的边BC=（80-2x）m.根据题意，可列方程x（80－2x）=750.整理，得x2－40x＋375=0.解得x1=25，x2=15.所以80－2x=30或50答：矩形草坪的长为30m、宽为25m，或长为50m、宽为15m.反思：1.题中明显包含有两个未知量长和宽，包含两个等量关系：篱笆长2AB＋BC=80m；矩形面积AB·BC=750m2.设其中一个未知量为x，则根据第一个等量关系可以用含x的代数式表示另一个未知量，再根据第二个等量关系即可列出方程.2.列出方程的关键是用不同形式的代数式表示同一个图形面积.练习1：如图，在△ABC中，∠C=90°，它的面积为96cm2，两直角边的和为28cm.求它各边的长.分析：结合图形根据题意可知AC＋BC=28cm，S△ABC=ACBC=96cm2.若设一条直角边的长为xcm，则根据第一个等量关系可知另一条直角边的长为(28－x)cm，这样可以根据第二个等量关系列出方程，解方程可以求出两条直角边，再根据勾股定理可求出第三边即斜边的长.解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为(28－x)cm.根据题意，列方程得x(28－x)=96.整理，得x2－28x＋192=0.解得x1=16，x2=12.根据勾股定理第三边即斜边=(cm).答：它的各边分别为12cm、16cm、20cm.反思：1.当题目中含有两个未知量时，通常也会含有两个等量关系，我们可设其中一个未知量为x，根据其中一个等量关系将另一个未知量用含有x的代数式表示，再根据第二个等量关系列出方程.2.解决与几何图形有关的问题时要充分利用图形本身的性质，挖掘隐含条件.例2：有一个长25cm、宽15cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为231cm2的无盖的盒子，求这个盒子的容积.分析：方法1：在已知盒子底面面积的情况下求盒子的容积，只需求出盒子的高，而小正方形的边长和盒子的高相等.设盒子的高为xcm，则盒子底面长方形的长为（25－2x）cm、宽为（15－2x）cm.可根据底面面积的两种表达方法列出方程.解：设盒子的高为xcm.根据题意列方程，得(25－2x)(15－2x)=231.整理，得x2－20x＋36=0解得x1=18，x2=2.因为小正方形的边长必须小于cm才有意义，所以x=18不合题意，舍去.符合题意的解为x=2.当盒子的高为2cm时，盒子容积为2×231=462（cm3）答：这个盒子的容积为462cm3.方法2：盒子底面面积还可以用大长方形减去四周的部分，进而得到方程.解：设盒子的高为xcm.根据题意列方程，得25×15－(25x×2＋15x×2－4x2)=231.整理，得x2－20x＋36=0解得x1=18，x2=2.其中x=18不合题意，舍去.符合题意的解为x=2.当盒子的高为2cm时，盒子容积为2×231=462（cm3）答：这个盒子的容积为462cm3.反思：1.根据题意确定设哪个量为未知数.2.本题列出方程的关键是用不同代数式表示同一个图形面积.3.多角度观察图形可以得到不同解法.练习2：如图所示，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与矩形的宽平行，另一条与矩形的宽垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽.分析：方法1：设甬路宽为x米，三条甬路总面积可以表示为：（40x＋26x×2－2x2）平方米.根据题意可知共有6块草坪，草坪总面积为144×6平方米.甬路的总面积加上草坪的总面积等于矩形场地面积，可以列出方程.解：设甬路宽为x米，根据题意列方程，得40x＋26x×2－2x2＋144×6=40×26.整理，得x2－46x＋88=0解得x1=44，x2=2.显然x=44不合题意，舍去.符合题意的解为x=2.答：甬路的宽为2米.方法2:设甬路宽为x米.如图，将三条甬路都靠在边上，6块草坪合在一起成为一个矩形，长为（40－2x）米，宽为（26－x）米，草坪总面积为(40－2x)(26－x)平方米.解：设甬路宽为x米，根据题意列方程，得(40－2x)(26－x)=144×6.整理，得x2－46x＋88=0解得x1=44，x2=2.显然x=44不合题意，舍去.符合题意的解为x=2.答：甬路的宽为2米.反思：1.本题中列出方程的关键是用不同方法表示同一个图形面积.方法1中利用整个矩形场地面积的两种表示方法.矩形场地面积＝甬路的总面积＋草坪的总面积.矩形场地面积＝矩形长×宽.方法2中利用六块草坪总面积的两种表示方法.2.将分散的图形集中在一起考虑可以使问题简单.方法2中将六块草坪拼在一起成为一个矩形.培养阅读能力，正确审题提取信息分析信息的能力.体会建模思想方程思想的应用.规范解题过程学会严谨表达.培养反思习惯提炼解题方法巩固例1分析问题解决问题的思路和方法培养阅读能力，正确审题提取信息处理信息的能力.体会建模思想方程思想的应用.规范解题过程学会严谨表达.培养反思习惯提炼解题方法从不同角度分析问题，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.提升利用前面的学习经验解决相关问题的能力.体会检验的必要性培养反思习惯提炼解题方法巩固例2分析问题解决问题的思路和方法培养多角度思考问题解决问题的能力.体会数学在解决实际问题中的作用，增强应用意识培养反思习惯提炼解题方法总结提升了解：一元二次方程是刻画现实世界中某些数量关系的