初二数学（北京版）-中点四边形-1教案

教案教学基本信息课题中点四边形学科初中学段：数学年级初二教材书名：北京教育科学研究院编《北京课改版义务教育教科书数学》八年级下册出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课的内容是中点四边形．借助中点四边形的研究进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质与判定，及它们之间的联系与区别，进一步应用三角形中位线定理．发展学生的合情推理能力，提高演绎推理能力，养育学生几何直观与数学抽象的核心素养．教学重点：中点四边形的形状、特殊性与原四边形对角线的关系．教学难点：确定影响中点四边形形状的因素．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入中点四边形是安排在三角形中位线定理之后的，探究学习的内容．对中点四边形的探究，能有效地将特殊四边形的性质、判定及三角形中位线的性质等知识点有机结合．BABADFE明确中点四边形在教材中的位置，理解它的地位与作用．新课一、创设情境、引出课题教师引导：我们已经学习了三角形中位线的定义及它的性质定理．让我们结合图形回忆一下：三角形中位线的定义是什么？三角形中位线定理是什么？如图，在△ABD中，点F，E分别是AB，AD的中点．1．三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．即FE∥BD，且．BADFE问题1：如图，在△ABD中，点F，E分别是ABBADFEBBDFEA(1)若∠AFE=60°，则∠B=°；(2)若FE=8cm，则BD=cm；任意改变点A的位置(点A，B，D不共线)，其他条件不变，则BD=cm．BADFECGH(3)如图，在BD的下方找一点C，连接BC，DC，取BC，DC的中点G，H．连接FG，GHBADFECGH(4)四边形EFGH是怎样的四边形？教师引导：四边形EFGH可以看成是顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H形成的，把这样的形成的新的四边形EFGH叫做中点四边形．中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．本节课，我们一起来探究中点四边形的形状问题．三角形中位线的定义和性质定理是本节课的理论基础，BADBADFEF1E1A1温故知新，自然引出中点四边形的定义及本节课的研究主题，为本节课的探究做好开端．引出中点四边形的定义．二、深入探究、验证结论BADFECGHBADFECGH分析：任意改变四边形ABCD的形状，四边形可能是凸四边形，也可能是凹四边形，但三角形的中位线和第三边的关系不变．结论：任意四边形的中点四边形都是平行四边形．(6)你能证明这个结论吗？求证：任意四边形的中点四边形都是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．思路一：如图，证明FE∥GH，且FE=GH．分析：如图，连接BD．由点F，E分别是AB，AD的中点，点G，H分别是BC，DC的中点，得FE，GH分别是△BAD和△BCD的中位线．得，．得．由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得，四边形EFGH是平行四边形．证明：如图，连接BD．BADFECGH∵点FBADFECGH∴FE∥BD，．同理可证GH∥BD，．∴FE∥GH，EF=GH．∴四边形EFGH是平行四边形．思路二：证明FE∥GH，FG∥EH．分析：如图，连接AC，BD．因为点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，由三角形中位线定理得EF∥BD；GH∥BD．所以FE∥GH．同理可得FG∥EH．由平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，得四边形EFGH是平行四边形．BADFECGH证明：BADFECGH∵点F，E分别是AB，AD的中点，∴FE∥BD．∵点G，H分别是BC，CD的中点，∴GH∥BD．∴FE∥GH．同理可证FG∥EH．∴四边形EFGH是平行四边形．思路三：证明两组对边分别相等．证法小结：本题的证明方法有多种，这里不再做一一介绍，将上述三种方法放到一起进行比较，方法一，作一条辅助线即可完成证明，方法更为简洁．我们在遇到一题多证法的问题时，要对比优劣，选用更简洁的方法．问题2：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，那么它的中点四边形EFGH的形状会有怎样的变化呢?(1)如果四边形ABCD为平行四边形，那么它的中点四边形EFGH是．(2)如果四边形ABCD为矩形，那么它的中点四边形EFGH是．(3)如果四边形ABCD为菱形，那么它的中点四边形EFGH是．将问题(2)与问题(3)的条件结合起来，提出第(4)个问题(4)如果四边形ABCD为正方形，那么它的中点四边形EFGH是．具体分析如下：ACHDBFEGACHDBFEGAACHDBFEG(1)分析：由刚才的探索可知，任意四边形ABCD的中点四边形EFGH是平行四边形，所以，□ABCD的中点四边形EFGH首先是平行四边形，因为□ABCD具有的性质，不能决定中点四边形EFGH的两条邻边互相垂直或相等，所以四边形EFGH仍是平行四边形．(2)如果四边形ABCD为矩形，那么它的中点四边形EFGH是．OCOCDFBGHEACDFBGHEA(2)分析：首先矩形ABCD的中点四边形EFGH是平行四边形．我们知道，矩形的对角线相等，如图，AC=BD．由三角形中位线定理可知，，等量代换得，EF=FG，也就是说中点四边形EFGH的一组邻边相等．由菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，可得四边形EFGH是菱形．(3)如果四边形ABCD为菱形，它的中点四边形EFGH是．(3)分析：首先菱形ABCD的中点四边形EFGH是平行四边形．我们知道，菱形的两条对角线互相垂直，如图，AC⊥BD于点O，则∠1=90°．由三角形中位线定理可得，FG∥AC，EF∥BD，所以∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3．所以∠3=90°．由矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，可得四边形EFGH是矩形．将问题(2)与问题(3)的条件结合起来，提出第(4)个小问题GHEFBCDAOGHEFBCDAOGHEFBCDA(4)分析：首先正方形ABCD的中点四边形EFGH是平行四边形．我们知道，正方形的两条对角线互相垂直且相等．如图，AC⊥BD，且AC=BD．由AC⊥BD，可得∠FEH=90°，即□EFGH的一个角是直角，则中点四边形EFGH是矩形；再由AC=BD，可得EF=EH，即矩形EFGH的一组邻边相等，所以中点四边形EFGH是正方形．由前面的分析，请同学们完成下表．编号原四边形形状中点四边形的图形中点四边形形状1任意四边形或平行四边形2矩形3菱形4正方形问题3：原四边形的什么条件决定中点四边形的形状?得出，原四边形两条对角线的位置关系和数量关系决定中点四边形的形状．判定中点四边形形状的方法：1.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.例如，矩形的中点四边形是菱形.2.对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形.例如，菱形的中点四边形是矩形.3.对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.例如，正方形的中点四边形是正方形.体会任意四边形的中点四边形都是平行四边形．复习平行四边形的判定方法，三角形中位线定理，培养学生发散思维.引导学生初步体会原四边形的一条对角线决定中点四边形一组对边平行且相等，进而中点四边形是平行四边形．理解利用对角线将四边形问题转化为三角形问题是解决四边形问题的常用思路.体会原四边形的两条对角线的关系决定中点四边形的一组邻边的关系．体会平行四边形具有的性质，不影响它的中点四边形的一组邻边互相垂直或相等．体会如果原四边形的对角线相等，那么它的中点四边形的一组邻边相等．体会如果原四边形的对角线互相垂直，那么它的中点四边形的一组邻边互相垂直．体会如果原四边形的对角线互相垂直且相等，那么它的中点四边形的一组邻边互相垂直且相等．学生经历由“特殊”到“一般”再到“特殊”的研究方法，在认识上循序渐进．理解原四边形对角线的位置关系与数量关系是影响中点四边形形状的关键因素．在不知不觉中，培养学生运动变化与形数互助的思想，培养学生的创新思维．三、逆向思维、深入思考问题4：我们能由原四边形的形状得到它的中点四边形的形状，反过来，我们能不能由中点四边形的形状得到原四边形的形状呢？请同学们思考以下四个小问题：(1)如果一个四边形的中点四边形是菱形，那么原四边形一定是矩形吗?(2)如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形一定是菱形吗?(3)如果一个四边形的中点四边形是正方形，那么原四边形一定是正方形吗?(4)如果一个四边形的中点四边形是平行四边形，那么原四边形是特殊的四边形吗?(1)不一定．反例AC=5.77cmAC=5.77cmDB=5.77cm中点四边形是菱形时，原四边形对角线相等，但原四边形不一定是矩形．(2)不一定．反例OOHCGBFADE∠∠DOA=90°中点四边形是矩形时，原四边形对角线互相垂直，但原四边形不一定是菱形．(3)不一定．反例AC=5.77cmAC=5.77cmDB=5.77cm∠DOA=90°中点四边形是正方形时，原四边形的对角线垂直且相等，但原四边形不一定是正方形．(4)一个四边形的中点四边形是平行四边形，对原四边形的对角线没有任何要求，原四边形是任意四边形．由问题4的探索，得出的结论：1．如果中点四边形是菱形，那么原四边形的对角线相等．2．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线互相垂直．3．如果中点四边形是正方形，那么原四边形的对角线互相垂直且相等．4．如果中点四边形是平行四边形，那么原四边形是任意四边形．提炼小结：从我们研究的正反两个角度可知，原四边形对角线的位置关系与数量关系决定中点四边形的形状，反之，中点四边形的形状决定原四边形对角线的位置关系与数量关系．所以，原四边形的对角线是解决中点四边形问题的关键．引发学生深入思考，培养学生的逆向思维．体会由中点四边形是菱形，只能确定原四边形的两条对角线相等，问题转化为两条对角线相等的四边形是否是矩形的问题．体会由中点四边形是矩形，只能确定原四边形的两条对角线互相垂直，问题转化为对角线互相垂直的四边形是否是菱形的问题．体会由中点四边形是正方形，它的两条邻边互相垂直且相等，只能确定原四边形的两条对角线互相垂直且相等，问题转化为对角线互相垂直且相等的四边形是否是正方形的问题．体会当一个四边形的中点四边形是平行四边形时，则它的两条邻边一般不垂直也不相等．提高学生归纳、总结的能力．例题例如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边DA，AB，BC，CD的中点．(1)探索四边形EFGH的周长与四边形ABCD的两条对角线之和的关系；(2)请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形．(1)分析：如图，连接AC，BD．结合图形，把所求翻译成符号语言，即探究EH+EF+FG+HG与AC+BD的关系．因为点E，F，G，H分别为边DA，AB，BC，CD的中点．所以四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，易得EF=HG，EH=FG，又把问题转化为，探索EH，EF的和的2倍与AC，BD的和的关系．解：如图，连接AC，BD．利用三角形中位线定理可得AC=2EH，BD=2EF．所以AC+BD=2(EH+EF)=EH+EF+FG+HG．所以，四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线之和．结论：中点四边形的周长等于原四边形的两条对角线之和．(2)分析：要使中点四边形为菱形，只需原四边形的对角线相等．解：添加的一个条件，是AC=BD．理解中点四边形的形状与原四边形的对角线相关．总结五、课堂小结、凝练提升(一)中点四边形的定义．(二)判定中点四边形形状的方法．(三)已知中点四边形形状判定原四边形对角线的位置关系与数量关系．注意：1．任意四边形的中点四边形是平行四边形．2．中点四边形为特殊的平行四边形，它的形状取决于原四边形的对角线是否垂直和相等．3．四边形的形状与它的中点四边形的形状，通过原四边形的对角线的