2027北师大版数学九上第一章-专题05 特殊平行四边形中的旋转问题（专项训练）

专题05特殊平行四边形中的旋转问题常考题型·精准突破题型1菱形中的旋转问题（难）题型2矩形中的旋转问题（难）题型3正方形中的旋转问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1菱形中的旋转问题1．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______．2．（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____．3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）综合与实践【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题．【操作发现】(1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系．【探究验证】(2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【拓广探究】(3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米．①求小型菱形钢架的边长．②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度．◆题型2矩形中的旋转问题4．（2025·河南新乡·一模）如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，将绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是、，当A、、三点共线时，的度数为__________．5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，．将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点落在对角线上．（1）旋转角的度数为______；（2）连接，则的长度为_______．6．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为．(1)如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点．①则的长为______；②求证：．(2)如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点、、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由．(3)小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线于点，小红说她可以计算出的长，则______．◆题型3正方形中的旋转问题7．（24-25九年级上·河南开封·阶段检测）如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为____．8．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接，，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，的面积为______．

9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转．(1)如图1，若．①直接写出旋转过程中线段的最大值；②连接、，若、交于点，求的度数；(2)如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（2025·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（

）

A．3 B．4 C．5 D．2．（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（

）A． B． C． D．3．（2025·浙江台州·二模）如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小（）

A．随着旋转角度的增大而增大B．随着旋转角度的增大而减小C．不变，都是D．不变，都是二、填空题4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是________．5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______．6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________．三、解答题7．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G．(1)如图①，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长；(2)如图②，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积；(3)如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点H，连接，直接写出，的值．8．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示．(1)如图2，求证：；(2)请在下列①、②中任选一问进行证明．①在旋转过程中，的度数不变；②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变．9．（25-26八年级下·山东济南·期末）综合与实践：问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位：），旋转后的菱形为，在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决．观察证明：(1)如图1，若旋转角，与相交于点M，与相交于点N，请写出与的数量关系，并说明理由；操作计算：(2)如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为；(3)如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度．10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动．【操作发现】（1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角）（2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________．【深入探究】（3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由．【迁移探究】（4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值．专题05特殊平行四边形中的旋转问题常考题型·精准突破题型1菱形中的旋转问题（难）题型2矩形中的旋转问题（难）题型3正方形中的旋转问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1菱形中的旋转问题1．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______．【答案】【分析】过点作于点，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的中位线，根据三角形的中位线定理可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形三边关系可得当点、、三点共线时，取最小值，最小值为．【详解】解：如下图所示，过点作于点，四边形是菱形，，又，是等边三角形，，点是的中点，又点是的中点，为的中位线，，，，，是等边三角形，，四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，，，当点、、三点共线时，取最小值，最小值为．2．（2025·宁夏银川·一模）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶体．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点的坐标为，点在第一象限，，将菱形绕原点沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点重合），则旋转第四次得到的点的坐标是_____．【答案】【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转，含30度角的直角三角形的性质；如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标．【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，四边形是菱形，，，，的坐标是，，，，，，，，，的坐标是．故答案为：．3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）综合与实践【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题．【操作发现】(1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系．【探究验证】(2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【拓广探究】(3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米．①求小型菱形钢架的边长．②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度．【答案】(1)(2)解：仍然成立，理由如下：∵四边形和均为菱形，∴，∵，∴，即，在和中，∵，∴，∴；(3)①米；②6米或米【分析】（1）证明，即可解答；（2）证明，即可解答；（3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解；②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，即可求解．【详解】（1）解：∵四边形和均为菱形，∴，在和中，∵，∴，∴；（2）略（3）解：①如图，过点E作于点H，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，米，∴，∴米，即菱形的边长为米；②如图，连接，过点B作于点M，则，在菱形中，，，∴，∴，，∴，∴，由①得：菱形的边长为米，∴，当点G在线段上时，如图，∵A，B，F三点在同一条直线上，∴，∴，∴A，G，C三点也在同一条直线上，∴；当点G在线段的延长线上时，连接，如图，∵四边形为菱形，∴，∵A，B，F三点在同一条直线上，∴，∴A，G，C三点也在同一条直线上，∴；综上所述，的长为6米或米．◆题型2矩形中的旋转问题4．（2025·河南新乡·一模）如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，将绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是、，当A、、三点共线时，的度数为__________．【答案】或【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解．【详解】解：如图，当点在线段上时，，，，，，∵将绕点B旋转至，，，，，又，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，，，，，；如图：当点在线段的延长线上时，，，，∵将绕点B旋转至，，，，，在与中，，，，点在上，综上，的度数为或，故答案为：或．5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，．将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点落在对角线上．（1）旋转角的度数为______；（2）连接，则的长度为_______．【答案】【分析】（1）如图，取的中点O，连接，首先利用勾股定理求出，然后由斜边中线的性质得到，推出点和点O重合，证明三角形是等边三角形，即可得到旋转角的度数为；（2）如图，过点作交于点F，，交于点，由旋转得，，证明四边形是矩形，，得到，，然后多次利用勾股定理求解．【详解】解：（1）如图，取的中点O，连接∵四边形是矩形∴，∴∵点O是的中点∴由旋转得，，点落在对角线上∴点和点O重合，∴∴三角形是等边三角形∴∴旋转角的度数为；（2）如图，过点作交于点F，交于点∵∴由旋转得，，∴∵四边形是矩形∴∵∴∴四边形是矩形，∴，∴∴，∴∴．6．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为．(1)如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点．①则的长为______；②求证：．(2)如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点、、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由．(3)小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线于点，小红说她可以计算出的长，则______．【答案】(1)①1；②证明：如图，连接，过点作于点，∵，，∴，由①可知，，∵，∴，在和中，，∴，∴．(2)小明的发现正确，理由如下：如图，连接，由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形，∴，，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴点，，在同一条直线上．(3)【分析】（1）①先由折叠得：，，由勾股定理得，可得的长；②连接，过点作于点，利用等面积法可得，证明，可得结论；（2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再证明，可得，即可得结论；（3）连接，，先证明，由等面积法可得，则可得，设，在中，根据勾股定理列方程即可求解．【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，，∴，，，∵将边向上翻折，使与重合，折痕为，∴，，，由旋转可得，，在中，，∴．②略（2）略（3）解：如图，连接，，由（2）知：，，三点共线，四边形是平行四边形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，∴．◆题型3正方形中的旋转问题7．（24-25九年级上·河南开封·阶段检测）如图，边长都为的正方形与正方形，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长可取的整数值为____．【答案】或【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，线段最值的计算，掌握旋转的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理，旋转的性质得到的最小值为，最大值为，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形都是边长为的正方形，∴，在中，，当点共线时，取等号，∴的最小值为，如图所示，正方形绕顶点旋转一周，在中，，当点共线时，取等号，∴的最大值为，∴，∴线段的长可取的整数值为或，故答案为：或．8．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转，得到正方形，连接，，在旋转角从到的整个旋转过程中，当时，的面积为______．

【答案】或【分析】当点在直线右侧时，如图，过点作于，延长交于，由旋转的可得，，由等腰三角形的性质可求，通过证明四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求的长，可得的长，由三角形面积公式可求解；若点在直线的左侧时，过点作于，交于，相同的方法求解即可得．【详解】解：当点在直线右侧时，如图1，过点作于，延长交于，

将边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转，∴，，，，，，，四边形是矩形，，，，，的面积为；点在直线的左侧时，如图2，过点作于，交于，

同理可得：，，的面积为；综上，的面积为或．故答案为：或．9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转．(1)如图1，若．①直接写出旋转过程中线段的最大值；②连接、，若、交于点，求的度数；(2)如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．【答案】(1)①8；②；(2)存在，的长为或4．【分析】（1）①根据已知条件，由两点之间线段最短，可以得到线段的最大值②由已知条件，证明，推得再利用三角形内角和，求出；（2）分类讨论当矩形旋转到不同位置时构成平行四边形的情况，分别求出线段的长．【详解】（1）①解：由已知，，，，当时，的最大值为8；②解：∵四边形为正方形，，，∵四边形为矩形，，．在和中，，，，，，又，，；（2）解：①当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形，此时，点与点重合，；②当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形此时，点、、三点共线，；③当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形，此时，又，，，，又，，即点、、在同一条直线上．在中，，由勾股定理得：．综上所述，的长为或4．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（2025·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答；【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形，，，，，∴四边形是平行四边形,，，∴四边形是平行四边形，，∴阴影部分的面积，故选：A2．（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市市花为迎春花，某文创工作室以迎春花花瓣为原型设计了菱形图案．如图所示，在平面直角坐标系中，初始菱形花瓣图案的顶点的坐标为，点在第一象限，．将菱形绕原点顺时针方向旋转，每次旋转，第一次旋转得到菱形花瓣．若持续旋转，第2026次旋转后，顶点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，首先确定，结合菱形的性质以及旋转的性质，确定旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上；连接，过点作轴于点E，易得，，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，的长度，结合点在第三象限即可确定其坐标；根据图像变化规律可知第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同，即可获得答案．【详解】解：连接，如下图，∵点的坐标为，∴，∵四边形是菱形，，∴，∴，由旋转得，∴，∵点B在y轴上，∴点在x轴上，∴旋转第四次时，点落在x轴的负半轴上，连接，过点作轴于点E，如图，则，由旋转可知，，，∴，∴，∵点在第三象限，∴，又∵，∴第2026次旋转后，顶点的坐标与点的坐标相同，∴．3．（2025·浙江台州·二模）如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小（）

A．随着旋转角度的增大而增大B．随着旋转角度的增大而减小C．不变，都是D．不变，都是【答案】D【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的综合运用．连接，，，，依据正方形的性质，即可得到，进而得出，根据全等三角形的性质，可得．同理可得，，根据，可知在正方形旋转过程中，的大小不变，是．【详解】解：如图所示，连接，，，，

正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，，，又，，，又，，．同理可得，，．在正方形旋转过程中，的大小不变，是．故选：D．二、填空题4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是________．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答．【详解】解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______．【答案】【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合进行求解即可．【详解】解：连接，作于点，则，∴，，，∴，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，∴，，，，，，，∴，，点在上，，∴，，，∴∴，∴，，∴，∴，∴，旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是，故答案为：．6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________．【答案】7或17【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴；如图所示，当点E在上方时，过点A作于T，∴，∴，∴，∴；如图所示，当点E在下方时，过点A作于T，同理可得，∴；综上所述，的长为7或17；故答案为：7或17．三、解答题7．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A，B，D的对应点分别是点E，F，G．(1)如图①，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长；(2)如图②，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积；(3)如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点H，连接，直接写出，的值．【答案】(1)1(2)(3)50【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键．（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长；（2）如图②：过点C作于点H，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，然后再根据三角形面积公式求解即可；（3）如图：连接，，易得；由旋转的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据矩形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图①∵四边形是矩形，，∴，由矩形旋转可知：，．（2）解：如图②，过点C作于点H，在中，，由矩形旋转可知：，，∴，，，∴，．，．（3）解：的值为50，如图③，连接，易得由矩形旋转可知：，，，，，，∵四边形是矩形，，∵，，，即，在中，，在中，，在中，，在中，，，即的值为50．8．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示．(1)如图2，求证：；(2)请在下列①、②中任选一问进行证明．①在旋转过程中，的度数不变；②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变．【答案】(1)证明见解析(2)选①证明见解析；选②证明见解析【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证；（2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证；选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立．【详解】（1）证明：∵在正方形和正方形中，，，即，；（2）解：选①证明：设与交于点，，在和中，∵，，在旋转过程中，的度数不变选②证明：如图，，，，，，在旋转过程中，与之间的数量关系不变．9．（25-26八年级下·山东济南·期末）综合与实践：问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位：），旋转后的菱形为，在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决．观察证明：(1)如图1，若旋转角，与相交于点M，与相交于点N，请写出与的数量关系，并说明理由；操作计算：(2)如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为；(3)如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度．【答案】(1)解：，理由如下：∵四边形是菱