06C 置信区间构造

同学们好！（ppt第1页）前面学习了仿真结果分析的基本知识，了解到置信区间可以用于仿真结果分析，用来满足仿真结果分析的精度和可靠度要求，这节课在置信区间基础知识学习的情况下，讲解构造置信区间的方法，（第2页）为“仿真结果分析”的动手操作提供有力支持。（第3页）本节课将在回顾相关概念的基础上，基于中心极限定理给出置信区间构造的方法，同时给出几点可以使用的重要规律。（第4页）我们知道样本均值是随机变量X均值的一个点估计，但是无法知道估计值与均值的“真值”之间相差多少，为了解决这个问题于是采用区间估计的方法（第5页）。假设sita为系统的一个参数，θ下一bar和θ上一bar为两个统计量且满足θ下一bar不大于θ上一bar，用从θ下一ba到θ上一bar的区间去估计𝜃可能存在的范围，就是区间估计；参数的真实值有一定概率落在测量结果周围的程度称为置信度，可以理解为被测量参数的测量值的可信程度。（第6页）假设从θ下一ba到θ上一bar的区间是一个区间估计，若对于任意给定的正数1-𝛼(0<𝛼<1)使得这个概率表达式（视频中突出显示下P(𝜃

̲≤𝜃≤𝜃

̅)=1−𝛼）成立，则称这个区间估计为sita的一个显著水平为1−𝛼的置信区间，θ下一ba为置信下界，θ上一bar为置信上界。这里的𝛼为显著水平（Significantlevel），(1−𝛼)×100%为置信度。表达式，𝜃∈(𝜃

̲,𝜃

̅)（视频中突出显示这个表达式）表示这个区间包含常数sita，或说常数sita落在区间内。（第7页）比如一次大选中某人支持率为55%，而显著水平0.95以上的置信区间为（50%，60%）。它表示真实支持率有95%的概率落在50%和60%之间，真实支持率不足一半的可能性小于2.5%。（第8页）这里回顾了置信区间的基本定义，上节课我们从区间估计与点估计之间的联系出发，从枢轴量法的角度，基于标准正态分布介绍了置信区间构造的推导过程，这节课将直接基于中心极限定理具体的置信区间构造方法，把上一节的结论用起来。中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理，由数学家DeMoivre在十八世纪提出来，拉普拉斯将其价值显现了出来。（第9页）这里给出了中心极限定理的内容。针对独立同分布的X1到Xn，在已知其均值μ＝E(Xi)和方差σ2=D(Xi当然同学们可能会说，Zn还不知道呢，确实还不知道，咱们接着看后面（第10页），当n趋于无穷大时，Zn的分布函数Fn服从标准正态分布，标准正态分布是已知的。再回想下上节基于标准正态分布的置信区间案例，所以miu的置信区间上界、下界有机会求取出来，从而构造出其置信区间。（第11页）当n很大的时候，样本的方差S2(n)收敛于随机变量的方差，这样表达式变为样本方差的形式，加上已知X(n)一bar为样本均值，由此结合上节课的结论和中心极限定理，从Z（负2分子alpha）到Z（2分子alpha）的区间包含Zn的概率，原来的概率表达式P变为这个表达式（视频凸显第11页表达式第1行），通过变换，可以得到随机变量X的均值miu落在所示区间（视频凸显第11页表达式第2行这两部分（文本显示下界），（文本显示上界））的概率为1减alpha（视频凸显第11页表达式第3行）。（第13页）可以解得当样本数目n足够大时，置信度水平为(1-alpha)的μ置信区间，给出其置信区间上界和下界（第13页），上界为X[n]一bar加上Z（1减2分子alpha）的值与根号n分之S2(n)，下界为X[n]一bar减去Z（1减2分子alpha）的值与根号n分之S2(n)。其中Z（1减2分子alpha）的值与根号n分之S2(n)也称为半宽，即置信区间的一半。（第14页）对应标准正态分布上，负Z（1减2分子alpha）和Z（1减2分子alpha）两个分位点，如图所示，二者中间部分阴影的面积为1减alpha，除去这部分两端各占二分之alpha的面积。这个问题是不是解决了？（稍停顿）还没有，因为实际中要满足样本数目n足够大很难做到，那怎么办呢？（第15页）需要利用t分布与标准正态分布的关系，t分布也称学生分布，n自由度t分布是n个正态分布之和的分布，当n足够大时，t分布收敛于标准正态分布。大家可以从这个图上看到二者关系。（第16页）在样本数目较少的时候，用n减1个自由度的t分布来替代n个自由度的标准正态分布，只要n大于2就可以用，这样子就方便使用了。（第17页）由此构造置信区间时，其半宽表达式中的Zn（1减2分子alpha）就用tn减1（1减2分子alpha）替代了，对应的分位点，或者叫临界点也是t分布上的了，置信区间上界、下届求取表达式也变化了。（第18页）接下来用个例子加以说明，已知有10个样本，要求构造μ的置信度为90％的置信区间。第1步求取样本均值X(10)一bar，得到均值miu的点估计1.34；第2步求取样本方差S(10)平方等于0.17；（第19页）根据样本数量n减1，即10减1等于9，和显著水平alpha的一半，即1减去0.9，再除以2，即0.05（视频中文本显示：双侧90%相当于单侧95%），第3步到t分布表（第20页，视频动画对应选中行列，然后突出显示交叉点那格）中查值得到临界点1.8331；（回到第19页）第4步计算半宽0.24，构造出90%置信度的置信区间，从1.10到1.58这个区间。（第21页）这四步也总结在这里了，即算均值、算方差、查临界和造区间，比较简单也很重要，大家要记住。接下来介绍下置信区间构造的三条规律，这也很重要。（第22页）第1条当显著水平alpha的值固定时，样本数n的取值越小，置信区间越大。t分布是若干个正态分布的和，样本数目越大，t分布越接近标准正态分布；反之，样本数目越小，则t分布的概率密度函数曲线越扁平，临界点的数值越大，对应即置信区间的半宽越大。（第23页）第2条当样本数目n固定时，显著水平alpha越小，置信区间越大。从t分布的概率密度函数曲线图上可以看到显著度alpha值越小，对应的临界值越大，相应地置信区间的半宽越大。也就是说，如果要求置信区间具有较高的置信度，那么置信区间就会比较大。第3条是保持显著水平alpha不变，样本数量由n增加到4n，置信区间大约缩短一半，也就是半宽约减少一半，这是经验所得，大家也可以试着找下原因。现在我们总结下本节课的内容（第24页）。本节基于上节知识和中心极限定理，给出了置信区间构造的算均值、算方差、查临界、造区间四步方法并举例说明，其中重点是假设样本数量足够式服从标准正态分布和应对通常样本数量少的情况而采用低一个自由度的t分布替代的思想；最后给出的三条重要规律体现alpha、样本数n与半宽beta间的关系，从表