2026下半年高中数学教资面试函数专项真题演练试卷

2026下半年高中数学教资面试函数专项真题演练试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（下列各题选项中，只有一项符合题意，请将正确选项的字母填在题后的括号内。每小题5分，共20分。）1.函数f(x)=√(x-1)+√(4-x)的定义域是（）。A.[1,4]B.(-∞,1)∪(4,+∞)C.(-∞,1]∪[4,+∞)D.[1,4]2.设函数g(x)=|x+1|-|x-1|，则g(x)是（）。A.奇函数非偶函数B.偶函数非奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数3.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,2)内的零点个数为（）。A.0B.1C.2D.34.将函数y=sin(x)的图像向左平移π/3个单位，再向上平移2个单位，得到的函数图像对应的函数关系式是（）。A.y=sin(x+π/3)+2B.y=sin(x-π/3)+2C.y=sin(x+π/3)-2D.y=sin(x-π/3)-2二、多项选择题（下列各题选项中，有多项符合题意，请将正确选项的字母填在题后的括号内。每小题6分，共18分。若漏选、错选、多选均不得分。）5.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列结论中正确的是（）。A.a>0B.Δ=b²-4ac=0C.f(x)在其定义域上存在最小值D.f(x)在(1,+∞)上单调递增6.函数y=logₐ(x²-2x+3)(a>0,a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是（）。A.a=1B.0<a<1C.a>1D.a∈(0,1)∪(1,+∞)7.已知函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，且满足f(2)=1，f(f(x))>f(x)对任意x∈(1,+∞)恒成立，则实数x的取值范围是（）。A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,1/2)D.(1,2)∪(2,+∞)三、填空题（请将答案填在题中横线上。每小题6分，共18分。）8.函数y=2^(x+1)-3在区间(-1,1)上的值域是__________。9.若函数f(x)=(x-a)²+b的最小值为3，且其图像关于直线x=-1对称，则a+b的值为__________。10.设函数g(x)=|x+1|+|x-1|，则函数g(x)的最小值是__________，此时x的取值范围是__________。四、解答题（请按题目要求作答。共44分。）11.（本小题满分12分）已知函数f(x)=(m²-1)x²-2mx+m+1。(1)若函数f(x)在定义域上恒为正值，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)的图像与x轴恰有两个交点，且这两个交点关于原点对称，求实数m的值。12.（本小题满分14分）设函数f(x)=e^x-ax+1。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,2)上存在零点，求实数a的取值范围。13.（本小题满分18分）高中函数是数学学习的重要内容，函数概念及其图像蕴含着丰富的数学思想方法。请设计一个关于“函数的单调性与导数”的高中数学新授课教学方案片段，包含以下内容：(1)本节课的教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）；(2)教学重难点分析；(3)“新授”环节的主要教学活动设计（包括教师活动、学生活动、设计意图等）；(4)板书设计要点。试卷答案一、单项选择题1.A2.A3.C4.B二、多项选择题5.A,B,C6.C,D7.A,D三、填空题8.(1,1)9.-410.2,(-1,1)四、解答题11.解析：(1)函数f(x)在定义域上恒为正值，需分类讨论：当m²-1=0，即m=±1时，若m=1，f(x)=-2x+2，不恒为正值，舍去；若m=-1，f(x)=2，恒为正值，符合条件。当m²-1≠0时，需Δ=(-2m)²-4(m²-1)(m+1)<0且m²-1>0，解得m<-1。综上，m的取值范围是(-∞,-1]。(2)函数f(x)的图像与x轴恰有两个交点，且这两个交点关于原点对称，说明对称轴x=-b/(2a)=m=0，且f(0)=m+1=0，解得m=-1。答：m的值为-1。12.解析：(1)函数f(x)的导数f'(x)=e^x-a。①若a≤0，则f'(x)=e^x-a>0恒成立，函数f(x)在R上单调递增。②若a>0，令f'(x)=0，得x=ln(a)。当x∈(-∞,ln(a))时，f'(x)<0，函数f(x)在(-∞,ln(a))上单调递减；当x∈(ln(a),+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在(ln(a),+∞)上单调递增。综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(ln(a),+∞)，单调递减区间为(-∞,ln(a))。(2)函数f(x)在区间(0,2)上存在零点，即存在x₀∈(0,2)，使得f(x₀)=0。由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0,2)上单调递增，且f(0)=2>0，f(2)=e^2-2a+1>0，此时f(x)在(0,2)上无零点。当a>0时，需f(x)在(0,2)上既有递减区间又有递增区间，即ln(a)∈(0,2)，即0<ln(a)<2，得e^0<a<e^2，即1<a<e^2。或需f(x)在(0,2)上单调递增，且f(2)≤0，即e^2-2a+1≤0，得a≥(e^2+1)/2。此时ln(a)≥ln((e^2+1)/2)∈(0,2)，符合ln(a)∈(0,2)的条件。综上，实数a的取值范围是(1,e^2)∪[(e^2+1)/2,+∞)。13.解析：(1)教学目标：知识与技能：理解导数与函数单调性之间的关系；能利用导数判断函数的单调性；能求函数的单调区间。过程与方法：经历观察、猜想、证明、应用的过程；体会数形结合、化归与转化等数学思想方法。情感态度与价值观：感受数学的严谨性和逻辑性；体会导数在研究函数性质中的工具作用；激发学习数学的兴趣。(2)教学重难点：重点：导数与函数单调性之间的关系，利用导数判断函数单调性。难点：利用导数求函数单调区间，含参数时单调性的讨论。(3)“新授”环节主要教学活动设计：教师活动：1.引入：复习函数单调性的定义，并列举几个常见函数的图像，提问这些函数的导数有什么特点？（引导学生观察图像与导数符号的对应关系）2.猜想：基于观察，引导学生猜想“导数的符号与函数单调性之间可能存在某种联系”。3.推导：选取具体函数f(x)=x²(x∈R)，利用定义法证明其单调性与导数符号的关系；再选取f(x)=-x²(x∈R)进行类似证明。引导学生归纳一般情况，推导出导数与单调性的判定定理。（证明过程可由教师引导，也可小组合作完成）4.应用：出示例题，如求函数g(x)=x³-3x+1的单调区间。引导学生分析：①求导数g'(x)；②解不等式g'(x)>0和g'(x)<0；③确定单调区间并注意定义域。强调步骤的规范性和结论的完整性。学生活动：1.回忆函数单调性的定义，观察教师展示的函数图像；2.积极思考，尝试描述图像与导数符号的关系，进行小组讨论；3.参与定理推导的过程，记录关键步骤；4.跟随教师思路，或独立尝试完成例题的求解，展示解题过程，进行同伴互评。设计意图：通过观察具体函数的图像和导数，让学生直观感受二者的联系，激发猜想；通过定义法证明，让学生理解结论的来源，建立逻辑联系；通过定理的应用，让学生掌握利用导数判断单调性的方法和步骤，体会数学思想。(4)板书设计要点：①函数单调性定义回顾②观察与猜想：f'(x)与f(x)单调性关系