多旋翼无人机技术基础(第2版)课件 第5、6章 多旋翼无人机空气动力学、多旋翼无人机结构动力学

多旋翼无人机技术基础

（第2版-5）空气动力学的基本概念1．空气动力学定义

空气动力学来源于流体力学，流体力学是物理学的重要分支，它主要研究流体本身的静止状态和运动状态，以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律。2．空气动力学研究方法和基本问题

（1）空气动力学研究方法

（2）空气动力学研究的基本问题①旋涡与分离流。②激波与边界层。③非定常气动力与动态失速。④湍流现象与描述。旋翼飞行器空气动力学定义和内容1．旋翼飞行器空气动力学定义

旋翼飞行器空气动力学是研究旋翼飞行器（主要是它的旋翼）与周围空气有相对运动时所产生的空气动力的一门科学，它是将空气动力学的普遍原理应用到旋翼飞行器这一个特定研究对象上。2．旋翼飞行器空气动力学研究的内容

（1）基本理论方面

（2）性能计算方面

（3）飞行力学方面

（4）飞行品质方面旋翼的功用和几何参数1．旋翼的功用

（1）产生向上的力（习惯上叫拉力）以克服全机重量。

（2）产生向前的水平分力使旋翼飞行器前进。

（3）产生其他分力及力矩使多旋翼飞行器保持平衡或进行机动飞行。2．旋翼的直径D和半径R3．旋翼桨叶宽度b和尖梢比𝛈ye4．旋翼桨叶数目k5．旋翼实度𝛔6．桨叶剖面安装角φ和桨叶扭度∆φ7．旋翼转速n和角速度𝛀旋翼参数的无因次化1．桨叶剖面所在的相对半径

2．桨叶的相对宽度

3．旋翼运动的无因次化速度

4．旋翼拉力系数CT、扭矩系数mk、功率系数CP的无因次化

式中ρ空气密度，T拉力，Mk旋翼反扭矩，P旋翼功率，CT拉力系数，CP功率系数，mk扭矩系数。旋翼工作环境和桨叶运动1、旋翼桨叶运动旋翼桨叶运动包括旋转运动和直线运动，对于桨叶剖面来说，应有周向速度（等于Ωr）和垂直于旋转平面的速度（等于V0），而合速度是两者的矢量和。用不同半径的圆柱面所截出来的各个桨叶剖面，它们的合速度是不同的：大小不同，方向也不相同。如果再考虑到由于桨叶运动所激起的附加气流速度（诱导速度），那么桨叶各个剖面与空气之间的相对速度情况更加不同。与机翼相比较，这就是桨叶的工作条件复杂，对它的分析比较麻烦的原因所在。

2、旋翼作用

从能量观点来看，旋翼不过是一具“能量转换器”。

（1）把发动机的能量转变成有效功，例如旋翼飞行器的上升状态。

（2）把发动机的能量转变成气流的动能，例如旋翼飞行器的悬停状态。旋翼和桨叶的相对气流

设旋翼飞行器的飞行速度为V0，或者相对来说，速度为V0的来流（未扰动气流）从一定方向吹向旋翼。按照与飞机机翼类似的方式，把来流V0与旋翼的构造旋转平面（S－S平面）之间的夹角αs定义为旋翼构造迎角。把相对气流速度V0分解为沿XS轴与沿YS轴两个方向的分量，并将它们除以桨尖旋转速度ΩR，便得到表征旋翼工作状态的两个重要的速度系数

（1）平行于构造旋转平面（S－S平面）的速度系数μ，称为前进比μ

（2）垂直于构造旋转平面的速度系数λ0，称为轴向来流系数λ0，或称为流入比λ0

旋翼桨叶的挥舞运动

旋翼的桨叶如果是固接在旋转轴上的，前飞时由于旋转平面上气流的不对称，必然引起左右两边的拉力不对称，前行桨叶拉力大，后行桨叶拉力小，因而形成侧倾力矩使旋翼飞行器倾转。前飞速度越大，侧倾力矩也越大，如无有效措施，旋翼飞行器将难以前飞。另一方面，由于桨叶象一根很长的悬臂梁，分布的空气动力载荷引起很大的根部弯矩，而且这种弯矩随着周向气流速度的周期变化而相应地改变。桨叶在大的交变弯矩作用下容易发生疲劳损坏。铰接式旋翼消除了上述障碍，桨叶根部通过挥舞铰与旋转轴相联，桨叶可以绕挥舞铰作上下挥舞运动。桨叶在挥舞运动中偏离S－S平面向上抬起的角度称为桨叶挥舞角β。桨叶挥舞运动所在的平面称为挥舞平面，挥舞平面与S－S平面相垂直。

由于桨叶作周期挥舞运动，在挥舞平面内除拉力、重力，离心力外，还有挥舞惯性力。这些力对挥舞铰的力矩之和应为0，经过简化处理，可推导得到桨叶挥舞运动的近似微分方程：

旋翼桨叶的摆振运动

由理论力学知道，旋转着的质量对旋转轴有相对运动时会受到哥氏力的作用。挥舞运动引起的哥氏力是周期交变力，而且一阶挥舞运动会引起二阶的哥氏力。根据实际例子的计算，发现一片桨叶的哥氏力的最大幅值竟高达桨叶自重的七倍以上，会在旋转平面内造成很大的交变弯矩，对桨叶结构寿命非常不利。另外，桨叶在旋转平面内的空气动力阻力也造成根部弯矩，前飞时气动阻力同样随方位角变化，不过它所造成的弯矩交变部分比哥氏力的交变弯矩小得多。

设桨叶质量为Gye/g，旋转角速度为Ω，经简化推导得到一片桨叶哥氏力的表达式为旋翼动量理论的基本原理

旋翼动量理论的基本原理是依据动量守恒定律，建立了旋翼拉力与流过旋翼桨盘的质量流量和远处尾迹中的诱导速度的关系。把旋翼简单地看做作用盘，它拍击空气并将空气推向下方，而空气加给旋翼的反作用力就是旋翼产生的拉力。根据牛顿第二定律，该力正比于通过旋翼的空气质量流量和空气加速度的乘积。为了计算空气的流量和速度变化，要用到关于流体运动的质量守恒定律、动量定理和能量守恒定律。能量守恒定律把远处尾迹中的诱导速度与旋翼桨盘处的诱导速度联系起来，质量守恒定律则给出了流过旋翼桨盘的质量流量，三者相结合便能得出旋翼桨盘处的诱导速度与旋翼拉力和功率的关系。S0S2S1qS1hV0V1＝V0+v1V2＝V0+v2垂直上升状态（1）旋翼升力系数CT和功率系数CP的计算

旋翼功率等于旋翼拉力与桨盘处的气流速度V1的乘积。在动量理论中这个功率还可以分成两部分：第一部分是拉力与运动速度V0的乘积，称之为“有效功率”；第二部分是拉力与桨盘处诱导速度v1的乘积，称为“诱导功率”，纯为损失。以ρπR2（ΩR）2对T，P无量纲化，进一步得到旋翼拉力系数CT表达式和功率系数CP表达式（2）旋翼效率η计算

按照定义，效率是有效功率与全部消耗功率之比。有垂直下降状态（1）涡环状态：当旋翼飞行器以低下降速度下降时，靠近桨盘的逆行环流和它上方的非定常紊流开始出现。A、低下降率B、高下降率（2）紊流状态

旋翼处于垂直下降状态，当功率为负时，出现紊流状态B、紊流状态A、理想自转平飞状态

旋翼作用盘位于S1截面，模型的边界截面位于上游远处S0截面和下游远处S2截面。在S0截面，气流速度V0在大小上等于旋翼飞行器定直平飞的速度，与平飞速度方向相反；在S1截面和S2截面，气流速度分别增加至V1和V2，α1和α2分别为来流速度V0在S1截面S2截面的夹角根据能量守恒定律，得到旋翼拉力系数和功率系数表达式爬升和下滑状态

旋翼飞行器爬升状态下的均匀载荷旋翼作用盘模型与上升状态下的模型基本一致，只不过此时旋翼桨盘的来流速度

与惯性水平面构成一个夹角

而已。实际上这个夹角

就是旋翼飞行器的爬升角。此种状态下的动量理论分析方法与平飞状态无异，平飞状态中推导的一系列结论对于爬升状态而言都是适用的。值得注意的是，平飞状态爬升率与诱导功率无关，仅仅取决于旋翼飞行器的剩余功率。

旋翼飞行器沿向下倾斜的轨迹所作的飞行，叫做下滑。基于垂直下降状态的分析结果，旋翼飞行器的下滑状态随下滑率增大而可能由正常工作状态转至涡环状态、紊流状态。与垂直飞行状态不同的是，在下滑状态中，旋翼飞行器带有一定的前飞速度。从理论上来说，动量理论分析下滑状态时，其分析方法与垂直状态基本一致。旋翼叶素理论的基础知识

由动量理论确定的理想效率，仅考虑了旋翼的轴向效应，而未考虑旋翼的旋转效应。因此，并不完全符合旋翼的实际气流特征。为了能够较合理模拟桨叶绕流，叶素理论将桨叶分为有限个微小段（称为叶素），然后计算每一个叶素上的气动力，最后沿径向求和得到桨叶上的总气动力。

旋翼飞行器垂直飞行时旋翼叶素理论下桨叶剖面如图所示，选取坐标系0xyz为旋翼叶素坐标系。叶素平面垂直于桨叶变距轴线，坐标原点0位于叶素平面与桨叶变距轴线的交点处。z轴与变距轴线重合，指向叶尖；x轴平行于构造旋转平面，指向叶素的旋转方向；y轴指向上方。α*桨叶剖面的气动迎角，β*桨叶剖面的来流角，φ桨叶剖面安装角，W桨叶剖面的相对气流合速度。旋翼拉力和功率的一般表达式

流向桨叶翼型的相对气流合速度为W，因此作用在翼型上的空气动力（包括升力和阻力）为式中Cy翼型升力系数，Cx型阻系数，翼型升力dY与W相垂直，指向上。型阻dX沿W方向，指向后。dY和dX的合力以dR表示。无因次形式：矩形桨叶旋翼拉力和功率1、矩形桨叶拉力系数

式中Cy7是桨叶特征剖面的升力系数，k桨叶片数，CT/σ表示单位桨叶面积的拉力系数，在旋翼设计的参数选择中要用到。一般来说，旋翼拉力系数值在0.01～0.02之间。2、矩形桨叶型阻功率系数

式中KP称为型阻功率修正系数，其值与桨叶几何形状有关。对于常用的矩形桨叶，KP≈1。梯形桨叶的KP值比矩形桨叶的小。

KP与桨叶根梢比ηye的近似关系表ηye1234KP1.00.940.910.88儒氏旋翼

儒柯夫斯基曾经证明当诱导速度沿桨盘均匀分布时，诱导功率最小，若要保持诱导速度沿桨叶半径不变（称为儒氏条件），须桨叶速度环量沿半径不变，即

实际上，此数为两倍翼型环量。由此拉力系数可以积分出来。

式中σ是以相对半径为0.7处桨叶特征剖面的相对宽度代入的。在矩形桨叶条件下，则

式中φ、α*、β*分别为矩形桨叶儒氏旋翼安装角、来流角、迎角前飞时旋翼桨叶叶素的工作环境

前飞时，旋翼一方面要提供升力以平衡全机的重量，另一方面要提供向前的推进力以平衡旋翼和机身的气动阻力。假定桨叶为中心铰式，而且不考虑摆振运动。取径向位置为r的一个剖面，各速度皆是已化为无因次的相对量（除以ΩR），由图可写出速度沿剖面坐标系各轴的分量：

式中V𝛽

桨叶剖面的挥舞运动速度，μ旋翼前进比，λ0

旋翼流入比，β桨叶挥舞角，𝜓桨叶方位角。考虑到桨叶几何扭转带来的安装角φ变化和诱导速度v1的不均匀分布，桨叶在旋转一周过程中剖面迎角的变化是相当复杂的。即使同一剖面，在不同方位角处迎角也不同，亦即在旋转中剖面迎角作周期变化，变化幅度在10°以上。前飞时旋翼桨叶叶素的空气动力

取桨叶上径向位置为r，宽度为dr的叶素，叶素的空气动力在旋翼的构造轴系中的投影，构成了旋翼的基元力。旋翼空气动力在桨毂中心分解为：基元拉力dTs

沿旋翼轴，向上；基元后向力dHS

垂直于旋翼轴，顺风向后；基元侧向力dSs指向方位角90度方向；基元反扭矩dMk与旋转方向相反。旋翼无周期变距，对于矩形桨叶，桨叶宽度为常数，或者对于有尖削的桨叶近似地取

，又假定诱导速度直线分布，即自前向后直线增大，线性扭转∆φ对拉力系数影响很小，则拉力系数公式简化为

旋翼的功率系数（扭矩系数）为旋翼涡流理论的基本假设

从理论空气动力学的观点来看，旋翼对周围空气的作用，就相当于某一涡系在起作用。旋翼的每片桨叶可用一条附着涡及很多由桨叶后缘逸出的，顺流而延伸到无限远的涡来代替，作以下基本假设：

（1）空气是无粘性、不可压缩的气体。

（2）气流是定常的（相当于无限多片桨叶）。

（3）桨叶环量沿半径不变（只在桨尖有尾涡逸出）。

（4）不计径向诱导速度和周向诱导速度对涡线延伸方向的影响。

（5）轴向诱导速度对涡线延伸方向的影响，用桨盘处的等效诱导速度来代表。垂直飞行轴向气流中旋翼涡系

轴向气流中旋翼涡系由三部分构成：

（1）附着涡盘

：旋翼有k片桨叶，每片桨叶环量为Γ，假设kΓ的总环量均匀分布在桨盘上，即在桨盘有无限多的强度无限小的附着涡。桨盘平面上，中心角为dθ

的微元中，附着环量为（kΓ/2π）dθ。

（2）桨尖涡的园柱面：在叶尖处，每个微元附着涡转换成一条桨尖涡顺流逸出，它与桨盘圆周形成

的螺旋线角度为arctan（V1/Ωρ)，全部螺旋线桨尖涡形成圆筒形涡面。

（3）中央涡束

：在叶根处附着涡汇集成环量为kΓ的中央涡束沿轴进入。

已知在流场内存在着一根或多根涡线时，它们对其周围流体质点激起的诱导速度，在理想情况下可按比奥一沙伐尔定理来确定。假定有一根环量为Γ的涡线，涡线上某一微段

在某点M处所激起的微元诱导速度为

式中l表示涡线微段

到M点的距离，这一诱导速度的方向按矢量法则来规定垂直飞行轴向（y向）诱导速度

求园柱涡面所激起的轴向诱导速度，笫一步沿园柱面的母线积分，因为沿此线的各个微元涡的强度及方向都相同。第二步，沿θ积分，可得整个园柱涡面对M0点所激起的轴向诱导速度。园柱涡面在桨盘平面处周向诱导速度分量vψ在园柱涡面以内为零，在园柱涡面以外方向相逆于桨叶旋转方向，且随远离园柱涡面而减小。考虑到所有的同心园柱涡面的贡献，沿整个半径进行积分，经简化处理，得到轴向诱导速度为

式中Γ*（r）当地的桨叶环量。可以看出，在变环量的情况下，所有的园柱涡面（也就是整个涡系）在桨盘上M0点处所激起的轴向诱导速度，只与该点所在处的桨叶环量有关。同理，可推导出在桨盘平面的r处的周向诱导速度（指向桨叶旋转方向）为垂直飞行时旋翼拉力公式

在涡流理论中，升力是借助于环量来处理的。根据儒柯夫斯基定理，用系数Γ*来表示桨叶剖面当地的环量。拉力系统的公式由涡流理论导出：

式中KT叫做拉力修正系数

在儒氏旋翼的情况下，KT＝3×0.7÷2＝1.05，当环量沿径向按三角形分布，则KT＝1。垂直飞行时旋翼功率公式

旋翼的需用功率为型阻功率、有效功率、诱导功率三项之和1、型阻功率式中Kp型阻功率修正系数，其定义是2、有效功率3、诱导功率。式中J称为诱导功率修正系数，有

当Γ*＝Γ7，在儒氏旋翼的情况下J

＝1。一般情况下，J与Γ*(r)的分布有关旋翼广义涡流理论的基本假设

1961年，王适存创立了旋翼广义涡流理论，采用如下假设：（1）气流是定常的，即分化装叶为无限多片，附着涡满布于桨盘平面。（2）涡系没有收缩，自由涡尾迹不随时间发生变化，是固定的。（3）附加旋转影响不计。（4）涡系延伸方向按浆盘平面处气流合速度方向来考虑：

α＝（－α0）+ε旋翼桨盘平面上的诱导速度

桨盘平面上诱导速度只取一阶谐波为止，而且认为诱导速度是由同阶环量及前阶环量所激起的，根据王适存广义涡流理论，有：式中F为超几何函数：

在悬停时或轴向气流中，以上这些公式就简化为一个零阶的公式了。前飞时拉力系数

沿旋翼桨盘的环量分布以及升力分布是复杂的，为了便于旋翼飞行器空气动力性能估算，可以通过桨叶的挥舞条件，辅以适当的假设近似地处理。所谓挥舞条件，对于铰接式的桨叶来说，取一阶挥舞系数为限。

对于矩形桨叶，半径位置为0.7处Cy为

前飞时需用功率修正系数

旋翼飞行器在前飞状态的需用功率系数，由四个部分组成：

第一项型阻功率系数为

式中型阻功率修正系数

式中Kp0为悬停时型阻功率修正系数

第二项诱导功率修正系数为

式中诱导功率修正系数

，其中J0为悬停时诱导功率修正系数。悬停时旋翼自由尾迹分析1．圆弧曲涡元模型

考虑一有限长度的圆弧线涡元，点A（xA，yA，zA）是该涡元的起点，点B（xB，yB，zB）是终点。设涡元具有常值环量Γe，圆弧半径为r，涡元位于坐标系的xy平面，M（xm，ym，zm）是要计算诱导速度的点。2．自由尾迹分析方法

悬停尾迹具有轴对称的特点，若引入柱坐标（r（ϕ），ϕ，y（ϕ））来表示尾迹点的位置更为方便，以直角坐标系表示的尾迹点可表达为

式中ϕ是尾迹角。对于畸变的尾迹，不同的ϕ角对应不同的r和y值，若保持r=常数，y=kϕ（k=常数），则上式给出非畸变的尾迹形状。前飞时自由尾迹计算的基本步骤

采用圆弧曲涡元和类似Landgrebe时间步进方式建立一个前飞旋翼全展自由尾迹分析模型。采用的远尾迹模型与悬停时的不同，远尾迹的涡线形状依据自由尾迹确定，这种远尾迹模型能较好地保证尾迹的光滑过渡和形状的相似性。

自由尾迹的计算包括两个基本步骤：

（1）计算涡元的诱导速度。

（2）在给定的时间步长内更新尾迹。前飞时自由尾迹分析方法

计算诱导速度时，将尾迹涡线离散为若干个有限长度的圆弧曲涡元。首先求出每一涡元对节点的诱导速度，然后确定各条涡线的全部涡元对该点的诱导速度，最后将所有桨叶的全部涡线的贡献相加就得到该节点的总的诱导速度。对于桨叶的附着环量，其计算在旋翼桨盘不同径向和方位角位置的各离散点上进行，由于前飞尾迹解是周期的，所以各离散方位点要覆盖桨叶完整的一周，即

（l＝1，2……NA）

式中NA是桨叶的方位角步长数，且有Δψ=2π/NA。设在t时刻桨叶当前方

位位置为ψ，考虑一尾迹角为ϕk的涡元。当桨叶以Ω旋转角速度转过△ψ角后，对应的时间变化为∆t=△ψ/Ω。尾迹的更新按下面公式进行

旋翼尾迹涡系的等环量线数值描述（1）沿每一条等环量线上不同的点，虽然是在不同的时刻生成（从桨叶上拖出）的，但却有相同的附着环量。这实际上是亥姆霍兹定理规定，它要求桨叶附着涡量与尾迹涡量连续过渡。（2）由于环量分布随方位角变化，相应的等环量线生成点的展向位置也随方位角变化。（3）当桨叶最大附着环量增加或减少时，新添的涡段只能跨过最大环量线（最大环量点在不同方位时的连线），形成一端封闭的等环量线。桨叶升力面网格法分析（1）旋翼桨叶涡系模型（2）旋翼尾迹模型①在旋翼桨尖处，尾迹涡环量大，涡量集中度高，起着主导作用。②升力面绕流流场满足库塔条件，即升力面后缘处的涡强为零。③离桨叶后缘较近的尾迹称为近尾迹，其尾迹步长角在30°以内。④旋翼远尾迹是指尾迹步长角大于30°的尾迹，是完全自由的尾迹。（3）旋翼桨尖涡模型计算流体力学（CFD）定义和特点1．计算流体力学（CFD）的定义

计算流体动力学（ComputationalFluidDynamics，简称CFD）是建立在流体力学与数值计算方法基础上的新型独立的学科，通过计算机数值计算和图像显示的方法，在时间和空间上定量描述流场的数值解，从而达到对物理问题研究的目的。它兼有理论性和实践性的双重特点，建立了理论和方法，为现代科学中许多复杂流动和传热问题提供了有效的计算技术2．CFD方法的特点CFD方法和传统的理论分析方法、实验测量方法构成了解决流体力学问题的三个支柱手段。三者相互之间并不独立，而是相辅相成的，组成了研究流体流力学问题的完整体系。CFD纯理论纯实验质量守恒方程（连续方程）

任何流体问题都必须满足质量守恒定律。该定律可表达为：单位时间内流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元的净质量。按照这一定律，可以得出质量守恒方程

式中ρ是密度，t是时间，u是速度矢量，u、v、w是速度矢量在x、y、z方向的分量。

若流体不可压，密度ρ是常数，上式变为：

动量守恒方程

动量守恒定律也是任何流体系统都必须满足的基本定律。该定律可表达为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和。该定律实际上是牛顿第二定律。按照这一定律，可导出X、Y、Z三个方向的动量守恒方程

式中，p是流体微元上的压力，τxx、τxy、和τxz是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表面上的粘性应力的分量，Fx、Fy、和Fz是微元体上体力。上式是对任何类型的流体均成立的动量守恒方程。能量守恒方程

能量守恒定律可以表达为：微元体中能量的增加等于进入微元体的净热流量加上体力与面力对微元体所做到功。该定律实际上是热力学第一定律。其表达式如下：

该式可写成展开形式：

式中Cp为比热容，T为温度，k为流体的传热系数，ST为粘性耗散项。需要注意的是虽然能量方程是流体流动与传热问题的基本控制方程，但对于不可压流动，若热交换量很小以至可以忽略时，可以不考虑能量守恒方程。N－S方程

根据达兰贝尔原理：作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零。列出流体微团在质量力和表面力作用下的平衡方程，考虑流体微团在流动中变形的问题，经过进一步的推导，得到不可压缩粘性流体的运动微分方程如下：

此式由法国人L.Navier和英国人G.Stokes先后提出，称为那维尔—斯托斯克方程，简称N－S方程。由N—S方程忽略粘性可得到Euler方程。控制方程的选择形式

对流项采用离散的形式来表示的控制方程，称为控制方程的守恒形式。从微元体的角度，控制方程的守恒型与非守恒型是等价的，都是物理的守恒定律的数学表示。但是数值计算是对有限大小的计算单元进行的，对有限大小的计算体积，两种形式的控制方程则有不同的特性。讨论控制方程守恒型与非守恒型的目的在于：不论节点布置的疏密程度如何，根据控制方程而导出的离散方程也具有对任意大小容积守恒的特性。凡是从守恒型的控制方程出发，采用控制容积积分法导出的离散方程可以保证具有守恒特性。即控制方程的守恒型与非守恒型在数学上是完全等价的。

式中的列向量F、G、H称为通量项，J代表源项（当体积力可忽略时等于零），列向量U被称为解向量。

控制方程的离散化方法

1．有限差分方法（FDM）

有限差分方法（FiniteDifferenceMethod，FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

2．有限元方法（FEM）

有限元方法（FiniteElementMethod，FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是：把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。3．有限体积法（FVM）

有限体积法（FiniteVolumeMethod，FVM）又称为控制体积法。

（1）将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积。

（2）将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段分布的分布剖面。谢谢!

多旋翼无人机技术基础

（第2版-6）符长青博士多旋翼无人机结构动力学的定义

多旋翼无人机结构动力学是一门在多旋翼无人机设计中受到普遍重视且仍处于不断发展中的学科，它主要研究多旋翼无人机结构的强迫振动、自由振动和动稳定性，不考虑空气动力与结构的弹性力、阻尼力和惯性力之间的相互作用，如果涉及空气动力，也只把它作为与结构振动运动无关的外力对待，结构动力学是研究气动弹性响应的基础。

（1）结构

（2）振动

（3）结构动力系统

（4）振动固有特性结构动力系统输入（激励）输出（响应）多旋翼无人机结构动力学目的

多旋翼无人机结构动力学的目的就是研究关于多旋翼无人机结构动力系统振动固有特性，它在外激励作用下产生动响应的基本理论和分析方法，以使多旋翼无人机结构具有优良的动力学特性。根据多旋翼无人机结构动力系统输入、输出与系统特性三者之间的关系，可归纳为三类问题。

①响应计算：已知激励和系统模型求响应，也称正问题

②系统识别：已知激励和响应求系统特性，也称参数识

别或称为第一类逆问题。

③载荷识别：已知系统和响应，求激励，也称第二类逆

问题。多旋翼无人机结构动力学的特点

（1）结构动力问题包含时间变量

静载荷是不随时间变化的稳态力，静力问题具有单一的解答。动力问题则不同，动载荷（输入）是随时间变化的速变力，因此，在动力分析中，输入（激励）的大小、方向甚至作用点，一般都是随时间而变化的。这就决定了动力系统的输出（响应）也随时间而变化，使动力问题不像静力问题那样具有单一的解答，我们必须在动载荷作用的时间范围内求解结构响应的时间历程。（2）惯性力的存在

结构动力的突出特征是存在振动现象。在振动过程中组成结构的质点具有加速度，从而在结构中产生了惯性力。惯性力的存在是动力学问题的又一特性。在结构动力学中，必须十分重视结构的质量大小与分布情况，注意研究振动中惯性力的状况。多旋翼无人机结构动力学研究方法

多旋翼无人机结构动力学的研究方法可分为分析的方法和试验的方法两大类。对多旋翼无人机设计来说，两种方法是相辅相成的，缺一不可。

（1）结构动力试验

多旋翼无人机结构动力试验包括模态试验、动力学环境试验、模拟试验等。这些试验既可以直接考核产品的动力学性能，也为结构动力分析提供必要的验证和数据。

（2）结构动力分析

多旋翼无人机结构动力分析方法是先确定外激励的性质、大小与变化规律，确定初始条件，再将它的实际结构经过去粗取精、去伪存真的过程，简化成结构动力分析模型（物理模型），进而研究建立起与之相应的振动微分方程（运动方程），即数学模型。多旋翼无人机结构动力分析模型

由于多旋翼无人机结构十分复杂，其结构动力学同其他学科一样，不可能将原始结构拿来分析计算，必须根据分析的目的、要求的计算精度、结构的受力、传力特点、现有的计算条件来分析结构各部分在振动中的作用，综合简化成正确反映结构动态特性的力学（物理）模型即分析模型。

一般说来，力学模型可分为连续系统模型与离散系统或称集中参数系统模型，实际模型有时还可能是它们的复合模型。同一实际结构，根据分析的目的、内容、精度要求，可以简化成不同的模型。除了外激励外，构成结构动力学模型还必须包含质量、弹性、阻尼三大要素。对于集中质量系统，这些要素可以具体化为质量件、弹性件与阻尼件。

（1）质量件是离散系统中产生惯性力、储存动能的功能件，通常假定它是刚体，它具有惯性。

（2）弹性件是系统中产生弹性恢复力、提供结构刚度、储存势能的功能件，一般假定它的质量略去不计。

（3）阻尼件是系统中产生阻尼力，使能量从动力系统中耗散出去的功能件。多旋翼无人机振动的类型（1）

1．按照振动系统的自由度数目分类

结构动力系统的自由度是指在振动过程的任何瞬时，为完全确定系统所处的空间位置和运动状态所必需的最少独立坐标数目。

（1）单自由度系统的振动

（2）多自由度系统的振动

（3）连续体振动多旋翼无人机振动的类型（2）

2．按照振动的输入特性（激励）或控制方式分类

（1）自由振动：结构系统受初始干扰产生的振动，或者外激励力消失

后存在的振动。

（2）自激振动：没有周期外力作用下，由系统内部激发及反馈的相互

作用而产生的稳定周期振动。自由振动和自激振动

的区别在于，自由振动的激励来自外界，只在初始受

激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。

（3）强迫振动：结构系统在外激励作用下被迫产生的振动。

（4）参数振动：结构系统自身参数变化激发的振动。

（5）共振：结构系统所受激励的频率与该系统某阶固有频率相接近时，

系统振幅显著增大的现象。多旋翼无人机振动的类型（3）

3．按照振动的输出（响应）性质分类

（1）确定性振动：结构系统特性是确定性的，

不论它是常参数系统还是变参数系统，在

受到确定性激励时，响应也是确定性的，

包括简谐振动、周期振动、瞬态振动等。

（2）随机振动：结构系统在受到随机激励时，

系统的响应亦将是随机的。多旋翼无人机振动的类型（4）

4．按照系统振动的运动规律分类

（1）周期振动：振动量（如位移、速度、加速度等）是

时间的周期函数。

（2）简谐振动：振动量为时间的正弦或余弦函数的周期

振动，是最简单的周期振动。

（3）非周期振动和瞬态振动：非周期振动的振动量是

时间的非周期函数，如果这种振动只在很短的时间内

存在，则称为瞬态振动。

（4）随机振动：振动量不是时间的确定性函数，因而不

能预测，只能用概率统计的方法进行研究。多旋翼无人机振动的类型（5）

5．按照系统结构参数的特性分类

（1）线性振动：线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的振动，可用常系数线性微分方程来描述。线性振动叠加原理成立，系统自由振动的频率及模态是系统所固有的，其特性不随时间改变。

（2）非线性振动：非线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度有一组以上不成线性关系时的振动，微分方程中将出现非线性项。叠加原理不成立。多旋翼无人机振动的类型（6）

6．按振动位移的特征分类

（1）直线振动：直线振动的特征是振动体上质点的

运动轨迹是直线。

（2）圆振动：圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹

为圆弧线。

（3）弯曲振动：弯曲振动是指振动体上质点沿轴方向

振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动

的横向振动。

（4）扭转振动：扭转振动是指振动体上的质点只作绕

轴线的振动，也称之为角振动。简谐振动的表示方法

简谐振动可以用正弦或余弦函数表示，如图所示，其典型的运动方程为

式中简谐振动三要素（振幅、频率、初相位）分别是：A为

振幅，表示振动中的最大位移量；𝜑初相位；ω0圆频率或角

频率，表示频率f的2π倍，单位为弧度/秒(rad/s)；T=1/f为周期ω0=2πf=2π/T简谐振动复数表示方法

根据复数的矢量表示法，在复平面上的一个复数Z代表该复平面(Re，Im)上的一个矢量，如图矢量0P所示。图中Re表示实轴，Im表示虚轴，矢量的模就是复数Z的模A，其位置由复角θ确定。如果矢量0P绕0点以等角速度ω在复平面内逆时针旋转，就是一复数旋转矢量。它在任一瞬时的复角θ=ωt，则复数Z的表达式为

式中i为虚轴的单位长度，即

。简谐振动也可用复数z所代表的复旋转矢量来表示。简谐振动的速度和加速度

简谐振动的速度和加速度仍然为同频率的简谐振动。

式中u(t)和

分别表示速度、加速度，简谐振动加速度的大小与位移成正比而方向相反，始终指向振动的静平衡位置。

无阻尼自由振动的运动微分方程

无阻尼自由振动系统不存在阻尼，没有能量损耗，只受到重力场和弹性力场作用，故属于保守系统，一旦振动起来，将永远振动下去。现取质量为m的质量件的静平衡位置为独立坐标原点，建立线位移x坐标系（向下为正），λ静位移，弹簧刚度为k。单自由度系统固有振动或无阻尼自由振动的运动微分方程

二阶齐次常系数线性微分方程

其通解为无阻尼单自由度系统振动固有频率因为同频率简谐振动之和仍为同频率的简谐振动，其通解可写成式中可得到无阻尼单自由度系统的振动固有圆频率（单位是rad/s）为固有频率（单位是Hz）为无阻尼自由振动的特性（1）单自由度系统无阻尼自由振动为简谐振动，振动频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关，故称为系统的固有频率。（2）刚度相同的两个单自由度系统，其固有频率随质量的增大而减小；质量相同的两个系统，其固有频率随系统刚度的增大而增大。（3）系统的初始条件对系统固有频率没有影响，而振幅X与初相位φ均由初始条件决定。振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。（4）数值不变的常力（如重力W）作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动固有特性。旋翼的结构型式（1）铰接式（2）半铰接式：万向接头式和跷跷板式（3）无铰式（4）无轴承式（5）空气螺旋桨式旋翼桨叶的外形和材料（1）桨叶气动外形设计①翼型②先进的桨尖形状（2）桨叶的结构型式及材料①金属桨叶：上世纪50～60年代，使用寿命可达1000小时

②复合材料桨叶：上世纪70年代以后，旋翼采用复合材料桨叶。经过优化的桨叶悬停效率可达到0.8，旋翼升阻比达到10.5，功率减少10%。旋翼桨叶挥舞方向弯曲振动

假设旋翼桨叶为绕y轴旋转的梁，该旋转梁剖面dr在离心力N和气动力载荷T作用下，利用牛顿法（力平衡法）得到桨叶挥舞平面内的弯曲振动方程。如果桨叶气动力载荷T=0，可得到旋转桨叶的弯曲自由振动方程

式中EJβ为桨叶剖面挥舞弯曲刚度，m为桨叶单位长度质量，y为桨叶挥舞变形。其中为桨叶剖面r承受的离心力。应用分离变量法及固有振型正交性可得出积分表达式：

式中yi为i阶振型函数；ωβi为

i阶振动固有频率。ΩRryrNdrTy桨叶挥舞弯曲振动频率第i阶振型的频率ωi

式中Ki、Mi分别为第i阶振动模态的广义刚度和广义质量。其中广义刚度为

式中右端第一项为弹性刚度，第二项为离心力刚度：第i阶振动模态的广义质量为

桨叶挥舞弯曲振动边界条件旋转桨叶的弯曲自由振动微分方程的边界条件：①铰接式：

②无铰式：

旋翼桨叶弯曲自由振动特点①铰接式：0阶振型是一条直线，振型随转速变化。②无铰式：其一阶振型对应铰接式零阶、二阶振型对应铰接式一阶，区别在桨叶根部：铰接式根部铰支，而无铰式及无轴承式根部固支，模态弯矩根部最大旋翼桨叶弯曲自由振动频率计算

铰接式0阶振动频率：旋翼桨叶是刚体挥舞，基阶模态的固有频率为：

式中lpj、Mpj、Ipj分别为挥舞铰外伸量、绕挥舞铰的质量静矩及惯矩。

当挥舞铰外伸量lpj=0时（中心铰），如翘翘板式旋翼，ωβ0=1Ω。当挥舞铰外伸量lpj>0时，由于构造上的限制，挥舞铰外伸量不可能太大，即使是带弹性铰的旋翼一般lpj/R也不超过5%，所以，铰接式旋翼桨叶ωβ0=1Ω~1.04Ω，,一般不会超过1.04Ω。旋翼桨叶摆振方向弯曲振动

桨叶气动阻力TC=0，可得桨叶摆振面内自由振动微分方程

式中X为旋转面振动位移，J𝜁为桨叶剖面惯性矩，i阶固有频率为ωξi，利用分离变量、固有振型正交性，得能量方程（积分表达式）及固有频率：

式中αi表示弹性变形位能与离心力位能之比。桨叶摆振第0阶固有频率：

式中lcj为摆振铰外伸量，Mcj为桨叶绕垂直铰质量静矩，Icj为桨叶绕垂直铰质量惯矩。显然，摆振铰外伸量越大，桨叶摆振频率越大。桨叶绕轴向铰的扭转振动微分方程

旋翼桨叶的扭转振动除作用有惯性力矩、结构弹性回复力矩外，还有离心力引起的回复力矩，即桨叶上的离心力也附加了刚度。桨叶绕轴向铰轴线的扭转振动微分方程为

式中GJnz为桨叶剖面扭转刚度，Inz为桨叶单位长度的扭转质量惯矩，φ为桨叶扭转角位移，InzΩ2φ项是离心力回复力矩。旋翼桨叶扭转振型方程和频率方程

用分离变量法求解扭转自由振动微分方程，得扭转振型方程和频率方程

式中ωi为桨叶扭转振动固有频率。旋转桨叶的扭转固有频率的平方等于不旋转桨叶扭转固有频率平方与旋翼转速平方之和。

旋翼桨叶扭转振动特点

（1）离心力影响小。（2）桨叶根部受桨距操纵线系的弹性约束，弹性变

形位能包括桨距操纵线系部分，而且桨距操纵

线系刚度是主要的。必须指出，旋翼各片桨叶

扭转运动可以受不同桨距操纵线系约束，不同

线系的刚度不同，扭转频率也不同。（3）桨叶旋转与不旋转扭转振型相同。旋翼桨叶共振图

共振图上桨叶各阶固有频率与转速整倍数的交点即是共振点，为了避免发生共振，旋翼工作转速必须避开所有的共振点。多旋翼无人机旋翼整体振型1．集合型振动模态：旋翼集合型振动模态各片桨叶之间相位差为零（或2π的整数倍数），也就是说振动是同相的。2．后退型振动模态：旋翼后退型振动模态各片桨叶之间的相位顺旋翼旋转方向依次递增2π／k（k为桨叶片数），对于四叶旋翼也就是依次递增π／2。这种振型的几何图像也有明显的特点，桨叶挥舞振动时，各片桨叶的桨尖处在一个倾斜的平面（桨尖平面）中。在旋转坐标系中，桨尖平面保持其倾斜角不变而以与叶振动角频率ω相同的角速度绕旋翼轴线逆旋翼旋转方向而转动，即桨尖平面最高点以角速度ω逆旋翼旋转方向而转动。3．前进型振动模态：旋翼前进型振动模态各片桨叶之间的相位顺旋翼旋转方向依次递减2π/k，对于四桨叶旋翼也就是依次递减π/2。这种振型的几何特点与后退型相类似，区别只在于对于旋转坐标系前进型是顺旋翼旋转方向以角速度ω转动，这也就是前进型取名的由来，而对于固定坐标系前进型就以角速度（ω+Ω）顺旋翼转向而转动。4．无反作用型振动模态：旋翼无反作用型振动模态对于四桨叶旋翼各片桨叶之间的相位依次递增（或减）π。由于两对桨叶的振动是反相的，所以旋翼以这种振型振动时对于旋翼支持系统没有反作用力。无反作用型的摆振振动桨叶的运动类似子剪刀的运动，因而又可以称为“剪刀型”振型。旋翼整体振型的特点（1）旋翼整体振型的数目总是与桨叶片数相同的。对于三叶旋翼就只可能有集合型、后退型及前进型这三种振型。对于五叶旋翼，则除了集合型、后退型及前进型之外，还存在两种所谓“翘曲型”振型，这两种振型同样也不对旋翼支持系统引起反作用力。（2）不同的旋翼振型与旋翼交承系统的耦合关系也不同。①无反作用型不存在耦合问题，其固有特性可以认为与孤立桨叶相同。②集合型的挥舞振动旋翼对旋翼支承系统的作用力是垂直方向的，会与

包括机体在内的旋翼支持系统在桨毂中心处有垂直运动的振型发生耦

合。集合型的摆振振动会与旋翼轴的扭转振动发生耦合。③后退型或前进型摆振振动在桨毂中心处作用有纵向及横向的水平力，

这种振型也就会与桨毂中心处有水平运动的机体振型发生耦合。④无铰式旋翼及水平铰外移量不等于零的铰接式旋翼其后退型或前进型

的挥舞振动会在桨毂中心处引起纵向及横向的力矩，也就会与相应的

机体振型发生耦合。（3）有几个旋翼整体振型也就会有几个不同的固有特性。多旋翼无人机传动轴临界转速定义

当多旋翼无人机传动系统在发动机带动下高速旋转时，由于转轴结构本身总会存在一些微小的质量不平衡（例如，转轴的质心轴线偏离转动轴线）和初始弯曲变形，在这些动不平衡因素的作用下就会产生以离心力为表征的周期性干扰力，从而引起传动轴的横向弯曲振动。如果这种强迫振动的频率与传动轴的弯曲固有频率接近或相等时，就出现了共振现象，产生共振现象时传动轴的转速就是临界转速。

多旋翼无人机传动系统的临界转速与其结构零部件材料的弹性特性、传动轴系的形状和尺寸、支撑形式和零部件质量等有关。理论上传动系统有无穷多个临界转速，因为传动轴在运转过程中总会发生振动，其振动固有频率和振型的数值由小到大可分解为一阶、二阶、三阶直到n阶。传动轴临界转速设计方式

在传动系统的横向弯曲振动设计上，必须在传动轴转速范围内充分地避开任何横向弯曲的频率。

（1）亚临界设计：传动系统最低阶临界转速高于最大工作转速，并留有一定余量。采用亚临界设计的优点是其固有的设计简便性，因为亚临界轴系经检验是可靠的，除了需要进行平衡调整来减小振动外，并无其他的动力学问题。缺点是传动轴系笨重庞大，且不适合于高转速下工作。

（2）超临界设计：传动系统工作转速在一阶和二阶临界转速之间

（3）高超临界设计：传动系统工作转速在二阶和三阶临界转速之间

超临界设计和高超临界设计方案的优点是可让传动系统结构更简单，振动更小，从而减轻重量；传动轴质心更趋于接近旋转中心，需要的支撑弹性刚度更小，对于结构振动的敏感性更低等。因此这两种设计方式目前已成为一种趋势。超临界和高超临界设计的缺点1、附加外部阻尼器：超临界设计和高超临界设计的传动轴系不仅要求有较大的临界转速裕度，而且在运转过程中必须满足苛刻的振动限制条件要求，以保证有足够的疲劳寿命，因此需要首先为传动系统提供外部阻尼器，然后在系统启动阶段很快地通过低阶临界转速。2、稳定性条件：由于超临界和高超临界传动系统内部阻尼会产生不稳定问题，为了消除这种不稳定性，系统在超临界和高超临界转速下，对于传动轴的第i阶横向振动模态，该运动稳定的条件为：

式中ωi第i阶横向弯曲模态固有频率，ζ1无外部阻尼时传动轴横向弯曲模态的阻尼比，ζ2有外部阻尼时传动轴横向弯曲模态的阻尼比，ζint内阻尼比，ζext外阻尼比，Ω传动轴转速。传动轴系各阶临界转速和振型计算

多旋翼无人机传动轴系各阶临界转速ωi和振型的计算

式中m为质量，Ks为广义总刚度系数。显然，两个支承的刚度系数K1的存在总使Ks减小，使传动轴的临界转速降低。当K1无限增大时Ks=K（刚性支承）。

转矩的存在会使传动轴的抗弯刚性降低，因而使临界转速下降。对于一阶临界转速，修正公式为

式中ω10为无转矩轴的临界转速；M为转矩，M1为临界转矩，即在此转矩作用下，传动轴将失稳，挠度无限增加。传动轴段刚度表示法

计算其扭转振动时，系统进行当量转化后的轴段刚度称为当量刚度。当量转动惯量是指系统进行转化后，刚体旋转时所具有的动能与转化前刚体旋转所具有的动能一样，转化后的刚体的转动惯量称为当量转动惯量。

在一长度为L截面积惯性矩为Jp，材料剪切模量为G的轴段的两端施以扭矩MK，则此轴段被扭转的角度为∆φ，它们的关系为

K（刚度）是表征轴段的物理性能的非向量参数，代表轴段被扭转单位角度（弧度）时所需扭矩，单位N∙m／rad。传动轴在串联工作时总刚度表示法

传动轴在串联工作时，在轴的两端作用以扭矩MK则各轴段间的内部弹性力矩均为MK。这时整根轴的总变形为

式中Ki表示各轴段的刚度。

这表明：一个轴段在串联工作时总刚度的倒数为各个分轴段刚度倒数之和实心锥形轴的刚度表示法

将锥形轴当作无穷多个长度为dx，直径逐渐由d1增大到d2的圆柱形轴段串联而成，应用串联轴段的刚度计算概念，可将dx轴段的刚度dKx积分而得锥形轴之刚度。对于钢材料有

式中

，为了便于计算起见，ξ之数值根据不同的

作成曲线。园柱孔锥形轴的刚度表示法

应用串联轴段的刚度计算概念，推导得到园柱孔锥形轴

段的扭转刚度

式中d0为圆柱孔直径，当x=ɑ1和x=ɑ2时，函数f(ɑ1)和f(ɑ2)按曲线图决定。弹性联轴节的刚度表示法

大多数弹性联轴节呈非线性，作为近似可把这条曲线分成两部分，斜率比较低的为刚度K1，斜率较高的为刚度K2。实际计算时根据工作系统弹性联轴节所传递的平均扭矩Mcp所对应的那根曲线的直线段的刚度作为计算用的刚度，则振动系统就成为线性的，大大简化了计算工作量。

对于设计阶段，可以根据每个减振橡皮圈的尺寸和材料，按下列公式估算径向（Y方向）的刚度KY

式中G为橡皮圈的剪切模量。一般弹性联轴节是由几个橡皮圈按半径为R沿圆周均匀排列来传递扭矩，总的弹性联轴节的扭转刚度为：K=nR2KY。传动系统扭转固有特性计算

以具有三片桨叶的旋翼为例，旋翼（