【高考专项复习】专题03 三个二次关系及解不等式（考点清单）

难点解读01高次不等式的解法难点解读02绝对值不等式的解法优题精练·专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用解不含参的一元二次不等式：先求一元二次方程的根解不含参的一元二次不等式：先求一元二次方程的根，再根据图像找出不等式的知识点01一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式：若二次项系数含参先讨论参数，若能因式分解的则可以求出两根讨论，若不能因式分解则先讨论判别式，再考虑求根公式，需对两根大小进行讨论。二次函数的图像、二次不等式的解集都与二次方程的根相关，探讨根与系数之间的关系。知识点03一元二次不等式恒成立二次函数的跟与定值k的关系，可以结合图像来讨论，主要从开口方向、关键点的函数值，对称轴的位置等来确定知识点04一元二次函数根的分布二次函数的根与区间的位置关系，结合图像来讨论，主要从开口方向、关键点的函数值，对称轴的位置等来确定将分式不等式化成乘法不等式，注意分母不能为0求解对应的方程的根，在数轴上表示出来，从数轴右上方穿线，根据“奇穿偶不穿”的原则，画出对应的图像与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形.难点解读02绝对值不等式的解法难点解读01高次不等式的解法知识点05分式不等式的解法知识点02三个二次的关系考点01一元二次不等式的解法①求出相应的一元二次方程的根(根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根);②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：②若可以因式分解，则能求出两根来；【新题对点练】求关于x的不等式ax²-2≥2x-ax(a∈R)的解集.二次函数二次方程(a>0)的根无实根二次不等式(a>0)的解集{x1x<x1或x>R二次不等式(a>0)的解集øø则则bx²-ax+c>0,即-3ax(1)在R上恒成立(讨论△)(2)在区间上恒成立(参变分离或讨论)A.[-6,2]B.[-6,-2]C.[-2,6]考点04一元二次函数根的分布两根都小于k,即x1<k,xz<k两根都大于k,即x1>k,xz>k一根小于k,一根大于k,即x12、二次函数的根与区间的位置关系(讨论开口向上的情况a>0)两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内另一根在(p,q)内3、只有一根在(m,n)之间(1)当f(m)·f(n)≠0时，分两种情况(2)方程一根大于1,一根小于1.【答案】(2)根据题意画出草图，根据图像得【详解】(1)令f(x)=ax²-2(a+1)x+a-1,当a=0时，方程变为-2x-1=0,即,解出即可.,符合题意；因为方程有一根大于1,一根小于1,则f(x)大致图象如图⑤,⑥,o所以(舍)或解得a>0,所以当a>0时，方程有一根大于1,一根小于1.考点05分式不等式的解法A.-1B.0高次不等式--穿针引线法(零点分段法)②,从数轴右上方穿线，根据“奇穿偶不穿”的原则，画出对应的图像【答案】【答案】【分析】将不等式转化为不等式组，再依次解不等式组，最后取并集即可.或解解且x≠-2,与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形.那么就需要对每个绝对值号进行讨论.A.-3B.1C.3①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若可以因式分解，则能求出两根来；③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况.当a=1时，解集为Ø;当a>1时，不等式的解集为所以若a<-2时，则x>-a或x<2因为f(x)=ax²-(a+1)x+1且a>0,可得ax²-(a+1)x+1≥0,此时，函数y=√f(x)的定义域为(2)已知函数f(x)=-x²-ax+1,x∈[1,5],求函数f(x)的值域.【答案】(1)①【答案】(1)①②答案见详解；(2)答案见详解【分析】(1)①代入可得(2x-1)(x-1)≤0,解不等式即可；②整理可得(ax-1)(x-1)≤0,分类讨论二若a≠0,令(ax-1)(x-1)=0,解得或x=1,C.不等式ax+b<0的解集为(-∞,1)D.不等式ax²+(c-1)x+2>0的解集为有两个不相等的实数根x₁,x₂,且x₁<x₂,则下列说法正确的是(),解得D选项，将x=n代入得,因为,因此(-∞0,-2)(3,+∞),则()不等式cx²-bx+a<0可化为-6ax²+ax+a<0,即6x²-x-1>0,解得或D选项正确.{x|-3≤x≤4},则下列说法正确的有().C.a+b+c<0对于B,c²-bx+a<0=-12a²+ax+a<0,所以对于D,当x=-3时，9a-3b+c=0,故D错误.实数a的取值范围为()A.[0,4]B.(2,4)C.(1,2)D.[0,2]设函数0<a<2√2,令解得或(舍去).围是()A.(1,9)B.[2,+∞]C.[1,+∞]m的取值范围为()题型04一元二次不等式在区间上恒成立一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下A.-5f(x)m=-4,所以a≥-ax²+(b-5)x+4a≤0恒成立，其中a,b为实数.则|a|+|2a+b+20|的取值范围是()A.[17,37]B.[25,35]C.[17,45]D.[21,45]介介 【答案】=(sinθ+cosθ+1)x²-(1+2cosθ则f(0)=cosθ>0,f(1)=sinθ+cosθ+1-1-2cosθ+cosθ=sinθ>0,故有△=(1+2cos0)²-4(sinθ+cosθ+1)cosθ=1-4sinθcosθ<0,即一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：的取值范围是()A.(2√2,+∞)B.(-∞,2√2)C.(充分不必要条件是()的最小值为6.[-1.2]=-2[-1.2]=-2,若,使得[x]²-m[x]+4>0成立，则实数m的取值范围为()令t=[x]得：,再令的取值范围为().A.(-∞,1)B.[3434则的最大值为,所以根的分布由三个关键因素决定：判别式(是否有实根)、对称轴(根的大致位置符号(根是否在区间内)。大于1的()方法2:设f(x)=(2m+1)x²-2mx+(m-1),一个解”是假命题，则m的取值范围是(),解得：分式不等式：移项通分化为相乘的形式，转高次不等式：因式分解，画出数轴标出各根，从右上方开始“穿根”(奇x-1|≤2,解得-1≤x≤3,故B=[-A.(-∞0,1)u[4,+∞)B.[1,4]C.(1,2)U(2,4]故,解得x≥4或0<x≤1,当方程或不等式中含参数且最高次项为二次时，二次项系数可能为零，此时方程退化(一次或常数),解法截然不同。必须先讨论系数是否为零，再分情况求解，不能直接默认是一元二次问【典例2】若关于【典例2】若关于x的不等式(m²-4)x²-(m-2)x-1<0的解集为R,则实数m的取值范围为()的取值范围是()【详解】因为命题p:Vx∈R,ax²+2ax-3≤0解得-3<m<0,A.A.[-∞,-5]B.(-∞,-2)C.(-5,+∞)D.[-5,+∞]那么a<(x²-4x),设f(x)=x²-4x=(x-2)²-4.②当时，即则1+a+b|+|1-a+b|≥|2+2b|,所以4m≥2|1+b|,即2m≥|1+b|,可得右端点值2m=b+1,顶点值(函数图象在x=0处交点)m=-b,【分析】(1)将问题转化为全称量词命题为真命题，再利用一元二次型不等式恒成立求解.(2)分类讨论求解含参数的不等式.【详解】(1)由命题p:3x∈R,使得f(x)>1-x成立为假命题，得命题-p:Vx∈R,f(x)≤1-x为真命不等式f(x)≤1-x⇔ax²-(1-2a)x-2≤1-x⇔ax²+2ax-3≤0,所以实数a的取值范围是-3≤a≤0.(2)不等式f(x)<0⇔ax²-(1-2a)x-2<0⇔