第一章《一元二次方程》单元测试卷（含答案）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第一章《一元二次方程》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列哪个方程是一元二次方程（

）A． B． C． D．2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（

）．A．， B．， C．， D．，3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（

）A．8 B．11 C．13 D．164．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（

）11.11.21.31.40.842.293.76A． B． C． D．5．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（

）A． B． C． D．6．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．7．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．8．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（

）A．2 B．3 C．6 D．79．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（

）A． B． C．或 D．或或10．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（

）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________．12．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______．13．若关于的方程是一元二次方程，则________．14．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________．15．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________．16．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________．三、解答题（共9小题，共72分）17．（4分）用公式法解一元二次方程：．18．（6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围．19．（6分）甲同学在解方程时的解答过程如下：解：移项，得，……①两边同除以，得．……②请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答．20．（8分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件．(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________．(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价．21．（8分）若是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)求出实数的取值范围；(2)若方程的两个实数根满足，求的值．22．（10分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元．(1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率；(2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格．23．（10分）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．24．（10分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：(1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）．(2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？25．（10分）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断：一元二次方程“差1方程”（填“是”或“不是”）；(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．参考答案一、选择题1．D解：A、方程含有2个未知数，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，∴A错误；B、方程含有2个未知数，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，∴B错误；C、方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，∴C错误；D、方程整理为，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，∴D正确．2．C原方程为，将方程移项整理为一般形式得或，整理后可得，二次项系数和一次项系数为或．3．C解：∵，∴移项得，∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，整理得，对比可得，，∴．4．B解：∵当时，；当时，，∴方程必有一个根满足，故选：B．5．A解：∵对于一元二次方程，若是方程的两个实数根，则，，已知方程为，∴，，，∴，，又∵，代入得：．6．D解：∵关于的一元二次方程无实数根，∴，解得．7．A解：∵设研发投入的平均年增长率为，2024年研发投入为亿元，从2024年到2026年共经过年，∴2025年研发投入为亿元，2026年研发投入为亿元，又∵2026年研发投入为亿元，∴列方程得.8．B解：当腰长为3时，将代入，得，解得，此时，原方程为，解得，则三角形三边为3，3，1，∵，∴符合题意；当底边长为3时，方程有两个相等的根，∴，解得，此时，原方程为，解得，则三角形三边为2，2，3，∵，∴符合题意；综上，k的值为3或4，故选：B．9．C解：∵方程的两根为∴根据根与系数的关系得，∵∴两边平方得由完全平方公式变形得代入得整理得解得∵方程有两个实数根，∴判别式当时，，符合要求当时，，符合要求∴的值为或．10．B解：设原规划建设的充电桩个数为，∵原计划为单循环连接，原总线路数为，又∵其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，∴实际总线路满足方程：，解得（负值舍去），所以原规划建设的充电桩个数为11．二、填空题11．解：将代入得，，此方程必有一根为．12．解：是一元二次方程的解，将代入方程得，整理得，．13．2解：关于的方程是一元二次方程，，且，解得，即，由得，．14．解：∵今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，∴明年产量为件，∴第三年年产量为件，∵第三年的产量达到800件，∴．15．解：，是一元二次方程的两个实数根，根据根的定义，得，即，同理可得，化简已知等式的两个因式：，，代入，得：，整理得：，解得或，原方程有两个实数根，根的判别式，即，解得，满足题意，且符合等式的解为．16．解：，∵m是方程的一个根，∴，∴，∴；∵m、n是方程的两个根，∴，∴．三、解答题（共9小题，共72分）17．解：一元二次方程为．其中，，，则，∴，解得，．18．解：关于的一元二次方程有两个实数根，，．19．甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 2分正确解答：，，或解得，．20．（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；（2）解：根据题意可得，，解得，（舍去）．答：该商品的售价为20元．21．（1）解：由题意得，，解得；（2）解：由题意得，，∵，解得，符合题意．22．（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，解得，（不符合题意，舍去）．答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为．（2）解：（元）答：该药剂在年的价格为元．23．(1)证明：已知一元二次方程为，可得，，，∴，，，即，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，.又，可得方程组，解得，将，代入，得，即，解得．24．（1）解：由题意得，每千克利润为元，销售单价相比50元上涨了元，因此月销售量减少千克，月销售量为千克，因此总利润；（2）解：将代入得整理得解得，当时，月销售量为（千克）当时，月销售量为（