chapt1.1-1.2 复数与复数运算

先修课程

高数、线性代数和普物后续课程信号与系统、自动控制原理、电磁场理论、微波技术、光纤通信等。考核方式平时*40%+期末*60%数学物理方法MathematicalMethodsofPhysics主讲人：李月娥一、复变函数的内容：１解除了实数领域中若干禁令;２建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系;３将实变函数中函数、极限、连续、微商、积分、级数等概念推广至复变函数中；二、复变函数的应用：1求解偏微分方程的边值问题

保角变换法2计算实积分，如留数定理第一篇复变函数二阶线性偏微分方程的建立和求解：行波法,分离变量法和保角变换法.

第二篇数学物理方程第一章解析函数

TheoryofAnalyticFunctions学习目的：1、熟练掌握复数的各种表示及运算规则；2、熟练掌握复变函数中与实变函数平行的概念；3、重点掌握解析函数的概念及性质。中心内容：解析函数§1.1复数与复数运算一.复数的基本概念2.复平面

复数平面或z平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.3.复数的无序性

实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的.（尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的）.4.无穷远点（复数球）复平面上一点与球面上的点一一对应（测地投影）复平面上无穷远点与球面上N相对应NS（O）A’A二、复数的四则运算加法交换律、结合律，乘法交换律结合律分配律均成立共轭复数：

z=x-iy与z=x+iy互为共轭复数三、复数的几种表示法：

1.几何表示用从原点指向该点的矢量(或向量)

来表示复数,称为复数的几何表示。z=x+iy称为复数的直角坐标表示或代数表示z1z2z1+z2yxyxz1z2矢量与复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。z1-z22.复数的三角形式和指数形式用极坐标ρ,φ代替直角坐标x和y来表示复数z,有则复数z可表示为

分别叫做该复数的模和辐角指数式说明：复数的幅角不能唯一地确定.如果φ0是其中一个幅角，则φ=φ0+2kπ(k=0,±1,±2,…..)也是其幅角；属于(-π,π]的幅角称为主值幅角，记为arg

z.-π<argz≤πII)复数“零”的模为零，幅角无定义；复数“无限远点”的模为无穷大，幅角无定义；III)当ρ=1时,称为单位复数.利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：3.复数的乘方与开方：非零复数ｚ的整数n次幂为:例：因非零复数ｚ的整数n次根式为:例1.1

已知空间电场为E=-1-i，求其大小和方向解：

大小方向解：由代入有例1.2试确定不等式

所确定的点集是什么图形？即例1.3

解方程解：

解方程

1.复数的实部和虚部

real(z);

imag(z);

2.共轭复数

conj(z);

3.模和幅角

abs(z);

angle(z);

四、基于MATLAB的复数运算z=[1+i1/(sqrt(3)+i)

(i^21+2i+1)/i]

real(z)

ans=1.00000.43303.0000

imag(z)

ans=1.0000-0.2500-1.0000

abs(z)

ans=1.41420.50003.1623

angle(z)/pi*180

ans=45.0000-30.0000-18.4349

conj(z)

ans=1.0000-1.0000i0.4330+0.2500i3.0000+1.0000i例1.4运用MATLAB计算如下复数1.2复变函数一.复变函数的概念

1.复变函数

w=f(z)(z∈E)实变函数：f:x→y

复变函数：f:z→w举例f(z)=znf(z)=exp(z)f(z)=ln(z)分析与比较定义域和值域相同点：都是数集不同点：实数集是一维的，可以在直线上表示；复数集是二维的，必须在平面上表示。典型例子：|x|<2是连通的，2<|x|是不连通的；|z|<2是单连通的，2<|z|是复连通的。-222映射相同点在形式上：y=f(x),w=f(z)不同点在变量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。联系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。复变函数

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(z∈E)u=u(x,y),v=v(x,y)

可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。例如：复变函数

令有因而对应两个二元实变函数

2.复变函数的分类二.区域的概念：满足一定条件的特殊集合

10点的邻域：以z0为中心，任意小正数ε为半径的圆内点的集合，称为z0的ε邻域，即

20

内点：若z0及其邻域均属于E，则称z0为E的内点.30

界点：若z0的任意邻域总有属于点集E和不属于点集E的点称为E的界点。界点的全体构成边界。

z0z0ε

40

区域：满足下列两个条件的点集B称为区域。（1）每一点均为内点。（开集性）（2）B内任意两点都可用完全属于B的曲线连接起来。(连续性)50

闭区域：区域B+边界Γ=闭区域例如：由所构成的域为闭区域，而由所构成的域为区域.60

单连域：在区域B作任何简单闭曲线(没有重点）内所包围的点全属于B。70

复连通域:

若一个区域不是单连通域，就称为复连通域（或复连通区域,简称复通域）

80复连通区域单连通化：作一些适当的割线能将复通区域的不相连接的边界线连接起来可以将复通区域变为单通区域.（注意：连接边界的分开方式不唯一）如图所示.(a)(b)(c)90边界的正方向：规定：（当人）沿边界环行时，所包围的区域始终在人的左手边，则前进方向为边界线的正方向。

例1.5试说出下列各式表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域？是单连通还是复连通区域？三.复变函数的极限和连续

区别：因为z是复平面上的变量，当z→z0时，从任意方向。设z＝x＋iy，

例1.5判断