chapt1.5 平面场(解析函数的应用)

一、平面场的概念

若场与时间无关，则称为恒定场若恒定场在空间某方向上均匀，则称为平面场（场中所有矢量平行于某一平面S，而且垂直于S的任意直线上的所有点上矢量相等。向量场就可以用平面S上的向量场来表示）1.5平面场(解析函数的应用)无限大平行板间的无限长细直导线(I)周围电场（U）的磁场1.5平面场(解析函数的应用)1.5平面场(解析函数的应用)二、解析函数在平面静电场中的应用

静电场是有源无旋场，即

无电荷区域故势函数是二元调和函数，因此可以用某一解析函数

的实部或虚部表示电场所处区域D上静电场的电势

1.5平面场(解析函数的应用)

这一解析函数叫做该平面静电场的复势。

设为电势

是静电场的等势线。

和等势线正交，因而是电场的电力线。

因此，只要知道了复电势，就很容易作出等势线和电力线，而且本身就具有物理意义。

通过AB柱面（z方向单位长度）的电通量为xyBAdlnE

穿过该柱面AB的电通量这就是说，在A和B两点之差就是A和B两点之间单位长柱面穿过的电通量，称为通量函数,

N为电通量密度1.5平面场(解析函数的应用)【解】设由CR条件得虚部为等势线方程为复势为电场为

例

已知平面静电场电力线方程为

求等势线方程，复势及电场分布。

三、解析函数的保角性-保角变换1、保角变换的定义解析函数

w=f(z)z=x+iyw=u(x,y)+iv(x,y)yxz平面w平面由w=f(z)确定的这种对应叫做映射（变换）；z0原像

w0像点例：试求在映射下，下列各点的像更具体一些：解析函数w=f(z)给出了从z平面点集G（曲线，区域）到w平面的点集G’之间的一个对应关系。三、解析函数的保角性-保角变换w平面Cyxz平面三、解析函数的保角性-保角变换根据解析函数的定义，如果

w平面Cyxz平面保角性三、解析函数的保角性-保角变换其长度被“放大”了倍，称为长度伸缩性。改变场域的形状另外，由三、解析函数的保角性-保角变换1.z平面上两相互正交曲线变换到w平面上两曲线仍相互正交，且其有相同的物理意义。2.3.可以把一个给定的、其场域几何特征比较复杂的两维场问题变换为另一个场域几何特征比较简单的两维场问题。三、解析函数的保角性-保角变换3、常见的几种保角变换(1)幂函数变换令则有解析函数思考:(1)z平面上的圆周变换到w平面是什么曲线？(2)z平面上的原点出发的射线变换到w平面是什么曲线？特点:(1)z平面的圆周变换到w平面上的圆周(2)z平面的射线变换到w平面的射线(3)z平面的单位圆变换到w平面的单位圆，正实轴变换到w平面的正实轴(4)z平面的圆环域变换到w平面的圆环域；(5)z平面的以原点为顶点的角形域变换为

以原点为顶点的角形域；思考：哪个特点具有实用价值？

讨论变换

yxz平面w平面

解析函数令故(2)对数变换

思考:(1)z平面上的圆周变换到w平面是什么曲线？(2)z平面上的原点出发的射线变换到w平面是什么曲线？特点:(1)z平面的圆周变换到w平面上线段(2)z平面的射线变换到w平面上直线z平面

w平面lnr0θ0特点:(1)z平面的圆周变换到w平面上线段(2)z平面的射线变换到w平面上直线z平面

w平面lnr0θ0r0θ0z平面(3)z平面的圆环域变换到w平面的带形域

(4)z平面的以原点为顶点的角形域变换为w平面上平行于u轴的带形域；r2

w平面lnr1θ0lnr2思考：对数变换可以用于解决什么形状边界的二维场问题？(3)z平面的圆环域变换到w平面的带形域

(4)z平面的以原点为顶点的角形域变换为w平面上平行于u轴的带形域；z平面r2

w平面lnr1θ0lnr2思考：对数变换可以用于