chapt6.1-6.3 三类典型的数学物理方程

第二篇数学物理方程数学物理方程:

简称数理方程，是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程．有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程处理问题的步骤1.把物理问题归结为数学上的定解问题,即导出数理方程及定解条件2.解定解问题，求出方程和定解条件的解3.对所得解作适当物理解释根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不同出发点

正向问题，即为已知源求场

逆向问题，即为已知场求源.

前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场电势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程第二篇数学物理方程本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解

重点：行波法,分离变量法和保角变换法.第六章数学建模---数学物理定解问题§6.1基本概念物理规律泛定方程共性边界条件初始条件定解条件定解问题个性§6.2三类典型的数理方程类型一：描述振动和波动特征----波动方程

以电磁波为例说明其导出

电磁波的波动方程（理想介质中）

§6.2三类典型的数理方程类型二：反映输运过程的扩散（或热传导）方程

§6.2三类典型的数理方程类型三：反映稳定过程（状态）的泊松方程

若f=0,无源，则拉普拉斯方程以静电场为例说明其导出§6.2三类典型的数理方程以静电场为例说明其导出§6.3

定解条件引入定解条件的必要性

物理角度数学角度

定解条件：初始条件和边界条件§6.3

定解条件1.初始条件

波动方程

输运方程整个系统的初始状态

例1一根长为的弦，两端固定于和在距离坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开距离h,

如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

x

u

o

b

l

h

【解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有

初始位移如图所示

2.边界条件

常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件

直接规定了所研究的物理量在边界上的数值

第二类边界条件

规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值

第三类边界条件

规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值

其中是时间的已知函数，为常系数．

第一、二、三类边界条件可以统一地写成

其中是边界上的点；表示物理量沿边界外法线方向的方向导数；为常数，它们不同时为零．自然边界条件

出于物理的合理性等原因要求解为有限值，或解出现周期性如：

衔接条件3.数学物理定解问题的适定性

(1)解的存在性

所归结出来的定解问题是否有解；(2)解的唯一性

只有一个解(3)解的稳定性

当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.

4数学物理定解问题的求解方法

解析方法

行波法；分离变量法；保角变换法；

数值计算法

有限差分法例2.

长为l的弦在x=0端固定，另一端自由，且在初始时刻t=0时处于水平状态，初始速度，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题。

【解】（1）确定泛定方程：取弦的水平位置为x轴，一端在原点x=0。弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程(2)确定边界条件

对于弦