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文档简介

第七章分离变量法问题的引入(2)(3)行波法达朗贝尔公式考虑力学中驻波的表达式我们想到能否设方程的解为

分离变量法

又称为傅里叶级数法，本征函数展开法，是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法。基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题---本征值问题7.1分离变量理论

对于任何二阶线性齐次偏微分方程一、偏微分方程变量分离及条件

对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？转化为下列标准形式：

假设方程的解代入方程有1.常系数偏微分方程讨论:若方程系数均为常数，并分别用小写的

代替，将方程两边同除以XY,则要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为从而得到两个常微分方程2.变系数偏微分方程上式恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为

，从而得到两个常微分方程由以上讨论知道：常系数二阶偏微分齐次方程总是能实施变量分离。但对于变系数的二阶偏微分齐次方程，需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的函数才能实施变量分离。

第一类边界条件第二类边界条件二、边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点处），常见的

三类边界条件为第三类边界条件假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：

可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件。进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系。7.2直角坐标系中的分离变量法

一、分离变量法的求解步骤例1：具体考虑长为，两端固定的均匀弦的自

由振动泛定方程

初始条件

边界条件

【解】

第一步：分离变量用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：分离变量形式的试探解代入方程和边界条件定解问题的泛定方程变为偏微分方程分离成两个常微分方程:也不依赖于x的常数，不妨设常数为

要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t,由齐次边界条件有故得边界条件是齐次的，才得出这样简单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件。第二步：求解本征值（或称为固有值）问题上面推导的方程注意：二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况：得常系数微分方程的通解：补充:考虑三种可能情况特征方程：和由边界条件确定。（１）将X(x)代入边界条件，有由此解出被排除

（２）方程的解是解出也被排除．

方程的解如

，则仍然解出

（３）只剩下一种可能性：

与对应的函数为

这正是傅里叶正弦级数的基本函数族．常数的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数。X的方程和边界条件构成本征值问题或固有值问题。本征值不能任意取，只能根据边界条件取某些特定值。本征函数不同所对应的解。本征值问题求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题。

定义：对于每一个本征值

，

的方程写为第三步：先求特解，再叠加求出通解方程的解：其中和是待定常数。代入到解得到变量分离形式的特解线性叠加后的解满足原方程和边界条件。初始条件确定叠加系数第

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