chapt7.2 解的物理意义_第1页
chapt7.2 解的物理意义_第2页
chapt7.2 解的物理意义_第3页
chapt7.2 解的物理意义_第4页
chapt7.2 解的物理意义_第5页
已阅读5页，还剩34页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

分离变量法的步骤偏微分方程分离变数常微分方程2常微分方程1解2齐次边界条件分离变数条件解1本征函数所求解=∑本征解本征值本征解初始条件确定叠加系数二、解的物理意义可以改写为驻波叠加振幅分布:固有频率:初相位:波节:波腹:n个波腹由一系列频率不同（成倍增长）、初相位不同、振幅不同的驻波叠加而成，所以分离变量法又称驻波法。

频率与初始条件无关，称为弦的本征频率；

各驻波振幅的大小和相位由初始条件决定。

中最小的一个

称为基频，相应的称为基波．称为谐频，相应的称为谐波．

基波的作用往往最显著。二阶线性偏微分方程的解，不一定是分离变量的乘积形式。分离变量法是有条件的，会受到一定的限制。注意：三、例题分析

上面我们讨论了两个边界均为第一类齐次边界条件的定解问题。下面讨论均为第二类齐次边界条件的定解问题，或既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；注意本征值和本征函数的区别。【解】代入方程及边界条件得例1

解定解问题：

求解本征值问题(1)若

只能得到无意义的解；(2)若，则方程的解为

代入得到

本征函数

（3）若，方程的解为

于是

本征函数是这是情况下的本征值。

可以将本征值

和对应的本征函数统一为将本征值代入到T的方程对应的解为原定解问题的特解叠加得到通解

系数由初始条件确定，有例2

求边长分别为a,b的矩形区域中的电势分布

定解问题为：分析：第一类非齐次边界条件

运用叠加原理得：

本征值本征函数为确定系数，运用非齐次边界条件也可以：

【解】用分离变量法求解.令例3研究定解问题：

代入方程及边界条件得本征值问题及对本征值问题讨论：（1）若，则方程的解为

待定常数由边界条件确定，即有只能得到无意义的解，应该排除．

(2)若

，则解为

，应该排除

（3）若，则方程的解是则即故得到本征值为相应的本征函数是

由

将代入解得叠加得系数由定解条件确定傅里叶展开式系数可确定为为正交三角函数族，即几种常用的本征值问题本征方程边界条件本征值本征函数例4试求下图所示的半无限长带形区域内的电势分布。xyOϕ＝0ϕ＝0aϕ＝f(x)ϕ(x,y)解:半无限长带形区域内的电势分布是一个与z无关的二维场问题，故定解问题为分离变量,令代入上式,得由于时应该是三角函数的组合。？？即于是故综上,得通解得在直角坐标系中热传导方程

写为首先将坐标变量和时间变量分离，令四、三维形式方程的分离变量代入原方程有称为亥姆霍兹方程。令由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数。而且彼此独立，因此只有当每一项分别等于某一任意的分离常数时，上述等式才成立

代入方程有于是，得到其中

配上相应的齐次边界条件，即构成本

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论