chapt1.3-1.4 解析基础函数

1.3解析函数

一、导数（微商）1.导数的定义

w=f(z)是D上的单值函数，若在D内某点z0

存在，并且与的方式无关，则称函数f(z)在z0点可导，并称该极限值为函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为举例:说明1)如果函数w=f(z)在区域D内的每一点可导，则称f(z)在区域D内可导.2)可导必定连续，连续不一定可导，如说明3)由实部和虚部连续可以判定复变函数连续,但由实部和虚部可导不能判定复变函数可导2.求导法则二、柯西黎曼条件1.可导的必要条件设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点z=x+iy可导，那么有逆命题不成立沿平行于x轴沿平行于y轴证明xyz0充分必要条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处满足2.导数的计算公式设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么3.极坐标下的Cauchy-Riemann条件xyz0

沿径向逼近零xyz0沿角向逼近零xyz0三、解析函数及性质

1.定义：

若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导,则称f(z)在点z0解析。若函数f(z)在区域D上每一点都解析，则称f(z)是区域D上的解析函数。注意：1)“函数f(z)在某点解析”，是指在该点的某一邻域内处处可导。在D上解析与在D上可导等价，在一点解析与在一点可导不等价。2)如果f(z)在点z0不解析，则称z0为f(z)的奇点。（1）若函数f(z)=u+iv在区域D上解析,则曲线族u(x,y)=C1,v(x,y)=C2在D上正交。2.解析函数的性质红:实部兰:虚部（2）若函数f(z)=u+iv在区域D上解析,则u,v分别为D上的调和函数[调和函数：如果函数H(x,y)在区域D上有二阶连续偏导数而且满足拉普拉斯方程，则H(x,y)为区域D上的调和函数]共轭调和函数（由C-R条件联系的函数)注：解析函数必定调和，但任意两调和函数不一定组成一解析函数（3）解析函数的实部和虚部通过C--R方程相互联系，并不独立，只要知道解析函数的虚部(或实部)，就可求出相应的实部(或虚部)。（4）解析函数具有保角性。例1.6：已知解析函数的实部u=x3-3xy2,f(0)=0,求该解析函数解：凑全微分法例1.7：已知解析函数f(z)的实部求其虚部，并完整表示整个函数f(z)作业:P154(1)(3),61.幂函数1.4常用初等解析函数解析区域：n>=0全平面n<0除z=0的全平面z=cplxgrid(30);colorbar('vert');cplxmap(z,z.^3);title('z^3');2.指数函数解析区域：全平面新性质：周期性

不一定大于零[x,y]=meshgrid(0:0.5:8,0:0.5:30);z=x+i*y;cplxmap(z,exp(z));title('exp(z)');xlabel('x');ylabel('y');z=5*cplxgrid(30);cplxmap(z,exp(z));title(‘exp(z)');xlabel('x');ylabel('y');3.三角函数解析区域：全平面新性质：不一定小于1

[x,y]=meshgrid(-15:0.5:15,-5:0.5:5);z=x+i*y;cplxmap(z,sin(z));title('sin(z)');xlabel('x');ylabel('y');[x,y]=meshgrid(-15:0.5:15,-5:0.5:5);z=x+i*y;cplxmap(z,cos(z));title('cos(z)');xlabel('x');ylabel('y');保留了周期性与奇偶性，但是不再具有有界性4.双曲函数解析区域：全平面新性质：周期性

[x,y]=meshgrid(-5:0.5:5,-15:0.5:15);z=x+i*y;cplxmap(z,sinh(z));title('sh(z)');xlabel('x');ylabel('y');[x,y]=meshgrid(-5:0.5:5,-15:0.5:15);z=x+i*y;cplxmap(z,cosh(z));title('ch(z)');xlabel('x');ylabel('y');5.对数函数解析区域：每个单值分支(函数定义域内)新性质：多值函数一般只考虑单值分支

z=cplxgrid(30);w=log(z);fork=0:3w=w+i*2*pi;surf(real(z),imag(z),imag(w),re