chapt8.2 二阶常微分方程的幂级数解法

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§8.2二阶常微分方程的幂级数解法一、基本概念

拉普拉斯方程波动方程输运方程连带勒让德方程勒让德方程贝塞尔方程球贝塞尔方程特殊函数方程用其他坐标系对数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程。它们大多是二阶线性常微分方程,这向我们提出求解带定解条件的二阶线性常微分方程定解问题。线性二阶常微分方程

其中为复变数，

为选定的点，为复常数。所谓幂级数解法，就是在某个任意点的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，然后将该幂级数代入原方程确定系数。幂级数解法幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论。求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题。定义常点奇点

系数函数p(z)和q(z)

在选定的z0点的邻域上是解析的，则点z0叫作方程的常点。

z0点是函数p(z)和q(z)的奇点，则点z0叫作方程的奇点。

1．方程的常点和奇点概念2.常点邻域上的幂级数解定理定理1

若方程的系数关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有下面的定理。和为点的邻域中的解析函数，

则方程在这圆中存在唯一的解析解

满足初始条件

。故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数。

既然线性二阶常微分方程在常点的邻域上存在唯一的解析解，

其中，为待定系数。

幂级数解法的步骤：

第一步：将级数解代入常微分方程，合并同幂项；

第二步：合并同幂项，令各项系数为零，找出系数递推关系；

第三步：最后用已给的初值来确定各个系数

从而求得确定的级数解。

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