山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i，则z⋅z=(

)A.2 B.2 C.2i D.2.点2,1到抛物线x2=2yA.1 B.32 C.2 D.3.已知M表示集合M中的元素个数，若A=5，A∩B=3，A∪B=6，则BA.5 B.6 C.3 D.44.设a,b是非零向量，则“|a+b|=|A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知直线y=kx+b与曲线y=ex−1和y=lnx+1均相切，则A.1 B.2 C.e D.16.不全相等的正整数a,b,c,d构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2，则该组数据的极差为(

)A.1 B.2 C.3 D.47.由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1(玻璃厚度忽略不计)，注入体积为x(0<x<1)的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为Γ，液体形成的几何体记为Ω，则下列说法错误的是(

)A.Ω可能是正三棱锥 B.Γ不可能为直角三角形

C.当x=12时，Γ的面积最大值为334 D.当8.若a>0，则关于x的方程x2−cosx−A.2 B.3 C.4 D.不确定二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在锐角▵ABC中，则(

)A.sinA>cosB

B.cosA>sinB

C.sin10.已知点P，A，B，C均在半径为1的球O的表面上，且PO⊥平面ABC，则下列结论正确的有(

)A.三棱锥P−ABC为正三棱锥

B.若BA⊥CA，则平面PBC⊥平面ABC

C.▵ABC面积的最大值为334

D.三棱锥11.将1，2，3，…，2nn∈N∗,n≥3这2n个连续正整数随机分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为A1，最大数为An；B组最小数为BA.若n=3，则A3<B1的概率为110

B.若n=3，则A3−A1=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线y=x−3与双曲线C:x24−y2b13.已知函数fx=sinx+φ+cosx(φ>0)，若fx的最小值为14.已知集合A=x∈N∗|1≤x≤14，B⊆A，任取m，n，p∈B，m<n<p，都有m+p≠2n，则集合B中元素个数的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx(1)判断fx(2)讨论fx在区间−π,π上的零点个数．16.(本小题15分)在三棱柱ABC−A1B1C(1)证明：A1(2)求平面A1AC与平面ABC17.(本小题15分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，E的短轴长为4，离心率为53.点P(1)求E的方程；(2)证明：四边形ABNM的面积为定值．18.(本小题17分)盒内装有n张相同的卡牌，编号分别为1，2，3，…，n.从盒内每次不放回地取出一张卡牌，直至卡牌全部取出.具体规则如下：①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌；②第k次取卡(2≤k≤n)：若k号卡牌仍在盒内，则取出k号卡牌；否则，从盒内随机取出1张卡牌．(1)若n=6．(i)求第2次取出的是2号卡牌的概率；(ii)设第3次取出的卡牌编号为X，求X的分布列与数学期望；(2)求最后一次取出的是n号卡牌的概率．19.(本小题17分)已知数列A：a1，a2，…，an的各项均为正整数，且ak≤ak−1，k=2，3，…，n.定义变换T，T将数列A变换为数列TA：b1，b2，…，(1)若数列A：4，3，3，2，求TA，并求一个数列B，满足TB=A((2)记SA为数列A的各项之和，若TA=A(i)求a1(ii)求a2的最大值，并求出a2取得最大值时的所有满足条件的数列A．1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】213.【答案】π214.【答案】8

15.【答案】解：(1)fx为偶函数．

证明：fx的定义域为f−x所以fx(2)因为fx=cos由(1)得：fx为偶函数，所以只需研究0,π上零点个数，即可得到−π,π当x∈0,π2当x∈π2,π，cosx<0，且f0=cos当x→π，fx根据零点存在定理，fπ2>0，f在−π,−π2上也存在唯一的零点，又因为f0综上所述，fx在区间−π,π上的零点个数为3

16.【答案】解：(1)取AC中点为M，连接BM,A因为三棱柱ABC−A1B1C所以▵ABC和▵A1AC又MB,MA1⊂平面MBA1，且MB∩M又A1B⊂平面MBA(2)由(1)可知MB⊥AC,MA所以∠A1MB即为平面A1AC与平面ABC因为▵ABC、▵A1AC、▵A1在▵A1MB所以sin∠A1所以平面A1AC与平面ABC夹角的正切值为

17.【答案】解：(1)由题可知2b=4,b=2，ca由a2=b2+故E的方程为x2(2)由(1)可知A−3,0，B直线PA的方程为y=y0x0+3直线PB的方程为y=y0+2x0由(1)得A−3,0，B

则AN=2x所有AN⋅故四边形ABNM的对角线互相垂直，所以SABMN因为AN=2所以AN即SABNM=1

18.【答案】解：(1)(i)设“第一次取到2号牌”为事件A，“第二次取到2号牌”为事件B，则P故第2次取出的是2号卡牌的概率为56(ii)X=1,3,4,5,6，PX=1=16×1×14所以X的分布列为X13456P14111数学期望为E(2)记盒中装有编号1,2,⋯,n的n张卡牌时，最后一次取出的是n号卡牌的概率为Pn第1次取卡分为三类互斥事件：①第1次取出1号卡牌，概率为1n，后续依次取出2,3,⋯,n−1号卡牌，则最后一次取出的是n②第1次取出n号卡牌，概率为1n，则最后一次取出的不可能是n③第1次取出m号卡牌，2≤m≤n−1，概率为1n，第2,3,⋯,m−1次按规则取出2,3,⋯,m−1第m次在剩余n−m+1张卡牌中等概率抽取，该子问题等价规模为n−m+1的原型，所以Pn整理得nP同理对n−1可得：，两式相减可得：nP即Pn=P又n=2时，P2故对任意整数n≥2，Pn

19.【答案】解：(1)数列A：4，3，3，2，中a1=4，因为m=a1，设数列TA：b1，数列A中不小于1的项有4个，所以b1数列A中不小于2的项有4个，所以b2数列A中不小于3的项有3个，所以b3数列A中不小于4的项有1个，所以b4所以数列TA：4，4，3，1因为TB=A：4，3，3，2共4个元素，所以数列B的首项为根据题意数列B中不小于4的项有2个，不小于3的项有3个，不小于2的项有3个，不小于1的项有4个，由数列B各项均为正整数，且非递增数列，所以数列B：4，4，3，1．(2)(i)由题意知，TA中的最大项即为数列A的项数，结合TA=A故SA=i=1na又a1∈N注意到数列A:46,45,45,⋯,4544个,1，满足S所以存在数列A:46,45,45,⋯,4544个,1满足要求，所以a(ii)设a1=r，a2=s，则数列A共有r项，且有故SA由题意ak≤ak−1，k=2，3，…，n，故因为s∈N∗，SA若a1=509，a2