北京市通州区2027届九年级数学第一学期期末检测试题含解析

北京市通州区2027届九年级数学第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，为线段上一点，与交与点，，交与点，交与点，则下列结论中错误的是（）A． B． C． D．2．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为（）A． B． C． D．3．如图，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC＝20°，那么∠ACB的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．70°4．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．（，），（，） B．（，），（，）C．（，），（，） D．（，），（，）5．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是()A． B． C．或 D．或6．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．(﹣3，2) B．(3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(3，﹣2)7．下列一元二次方程中两根之和为﹣3的是（）A．x2﹣3x+3＝0 B．x2+3x+3＝0 C．x2+3x﹣3＝0 D．x2+6x﹣4＝08．某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为多少元/千克？设售价为元/千克，根据题意所列不等式正确的是（）A． B．C． D．9．如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为（）A． B． C． D．510．一元二次方程的解是（）A．5或0 B．或0 C． D．011．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=1．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（1，1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）12．在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（）A．把投影灯向银幕的相反方向移动 B．把剪影向投影灯方向移动C．把剪影向银幕方向移动 D．把银幕向投影灯方向移动二、填空题（每题4分，共24分）13．将方程化成一般形式是______________．14．如图，在平面直角坐标系中，，则经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为__________；点坐标为，连接，直线与的位置关系是___________．15．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，用表示这三个数中最小的数，例如，.请结合上述材料，求_____.16．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.17．计算：=_____．18．如图，一次函数的图象交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数的图象于点，若，且的面积为2，则k的值为________三、解答题（共78分）19．（8分）深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为.（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的概率.20．（8分）（1）计算：．（2）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行.若正方形的边长为厘米，，求其投影的面积．21．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．22．（10分）如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．23．（10分）解一元二次方程24．（10分）如图，在菱形中，点是上的点，，若，，是边上的一个动点，则线段最小时，长为___________．25．（12分）在一次篮球拓展课上，，，三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：每一次传球由三人中的一位将球随机地传给另外两人中的某一人．例如：第一次由传球，则将球随机地传给，两人中的某一人．（1）若第一次由传球，求两次传球后，球恰好回到手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）（2）从，，三人中随机选择一人开始进行传球，求两次传球后，球恰好在手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）26．为了“城市更美好、人民更幸福”，我市开展“三城联创”活动，环卫部门要求垃圾按三类分别装袋、投放，其中类指废电池，过期药品等有毒垃圾，类指剩余食品等厨余垃圾，类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙两人各投放一袋垃圾．（1）甲投放的垃圾恰好是类的概率是；（2）用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角，故可进行判断.【详解】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，∴△PCF∽△BCP.∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，∴△APD∽△PGD.∵∠CPD=∠A=∠B，∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠CPD+∠C∴∠APG=∠BFP，∴△APG∽△BFP.故结论中错误的是A，故选A.此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.2、C【分析】根据相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵，，∴，∴，即，解得，的面积为，∴的面积为：，故选C．本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.3、D【分析】由AC为⊙O的直径，可得∠ABC＝90°，根据圆周角定理即可求得答案.【详解】∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝∠BDC＝20°，∴.故选：D.本题考查了圆周角定理，正确理解直径所对的圆周角是直角，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键.4、C【分析】如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、根据△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解决问题．【详解】解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、∵点A坐标（-2，1），点C纵坐标为4，∴AF=1，FO=2，AE=3，∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，∴∠EAC=∠AOF，∵∠E=∠AFO=90°，∴△AEC∽△OFA，，∴点C坐标，∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，∴CN=2，BN=1，BM=MN-BN=3，BM=AE=3，，∴点B坐标，故选C．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质，添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键，属于中考常考题型．5、D【分析】先利用因式分解法解方程得到所以，，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在中，，，作，则，利用勾股定理计算出，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．【详解】解：，或，所以，，I．当第三边长为6时，如图，在中，，，作，则，，所以该三角形的面积；II．当第三边长为10时，由于，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积，综上所述：该三角形的面积为24或．故选：D．本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．6、B【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），故选：B本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．7、C【分析】利用判别式的意义对A、B进行判断；根据根与系数的关系对C、D进行判断．【详解】A．△=(﹣3)2﹣4×3＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B．△=32﹣4×3＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C．方程x2+3x﹣3=0的两根之和为﹣3，所以C选项正确；D．方程x2+6x﹣4=0的两根之和为﹣6，所以D选项错误．故选：C．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了判别式的意义．8、A【分析】根据“为避免亏本”可知，总售价≥总成本，列出不等式即可.【详解】解：由题意可知：故选：A.此题考查的是一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键.9、C【解析】设，，所以，易证，利用相似三角形的性质可求出的长度，以及，再证明，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出的长度.【详解】解：设，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，设，，∴，∴，∴，∴，故选C.本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型.10、B【解析】根据因式分解法即可求出答案．【详解】∵5x2=x，∴x(5x﹣1)=0，∴x=0或x．故选：B．本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．11、A【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．【详解】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=1，∴点A的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，则点A′的坐标为（﹣1，1），再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（1，1），故选A．本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．12、B【分析】根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，据此分析判断即可．【详解】解：根据中心投影的特点可知，如图，当投影灯接近银幕时，投影会越来越大；相反当投影灯远离银幕时，投影会越来越小，故A错误；当剪影越接近银幕时，投影会越来越小；相反当剪影远离银幕时，投影会越来越大，故B正确，C错误；当银幕接近投影灯时，投影会越来越小；当银幕远离投影灯时，投影会越来越大，故D错误．

故选：B．此题主要考查了中心投影的特点，熟练掌握中心投影的原理和特点是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】先将括号乘开，再进行合并即可得出答案.【详解】x2-6x+4+x+1=0，.故答案为：.本题考查了一次二次方程的化简，注意变号是解决本题的关键.14、（2，0）相切【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．【详解】解：如图，作线段AB，CD的垂直平分线交点即为M，由图可知经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．

连接MC，MD，

∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，

又∵MC为半径，

∴直线CD是⊙M的切线．故答案为：（2，0）；相切．本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．15、【分析】找出这三个特殊角的三角函数值中最小的即可.【详解】，，∵∴故答案为：．本题考查了特殊角的三角函数值以及最小值等知识，解题的关键是熟特殊角的三角函数值．16、1．【详解】∵AB＝5，AD＝12，∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线∴BO＝6.5∵O是AC的中点，M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线∴OM＝2.5∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝1故答案为117、3【解析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【详解】=3，故答案为3【点睛】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．18、【解析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据AAS可证明△AOB≌△CDB，从而证得S△AOC=S△OCD，最后再利用k的几何意义即可得到答案.【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示，∵在△AOB与△CDB中，，∴△AOB≌△CDB（AAS），∴S△AOB=S△CDB，∴S△AOC=S△OCD，∵S△AOC=2，∴S△OCD=2，∴，∴k=±4，又∵反比例函数图象在第一象限，k>0，∴k=4.本题考查全等三角形的判定与性质，反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握判定定理及k的几何意义是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）（2）【分析】（1）直接利用概率公式可得；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为，故答案为：.（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分配到同一个项目组的结果数为3，所以小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为.本题主要考察概率，熟练掌握概率公式是解题关键.20、（1）；（2）．【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可；(2)作BE⊥CC1于点E，利用等腰直角三角形的性质求得的长即可求得BC的正投影的长，即可求得答案．【详解】(1)；(2)过点B作BE⊥CC1于点E，在中，，，∴，∵⊥，⊥，且BE⊥CC1，∴四边形为矩形，∴，∵，∴．本题主要考查了平行投影的性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，本题理解并掌握正投影的特征是解题的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．21、（1）见解析（2）见解析（1）．【解析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD．（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．（1）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．【详解】解：（1）证明：∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB．∴即AC2=AB•AD．（2）证明：∵E为AB的中点∴CE=AB=AE∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB∴∠DAC=∠ECA∴CE∥AD．（1）∵CE∥AD∴△AFD∽△CFE∴．∵CE=AB∴CE=×6=1．∵AD=4∴∴．22、（1）y=﹣x1+x；（1）证明见解析；（3）P（﹣，0）．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（1）先求出直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．再求出直线BD的表达式为y=x﹣1．最后求出交点坐标C，D即可；（3）先判断出C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可．【详解】解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线解析式为y=a（x﹣）1+1，将原点坐标（0，0）在抛物线上，∴0=a（）1+1∴a=﹣，∴抛物线的表达式为：y=﹣x1+x．（1）令y=0，得0=﹣x1+x，∴x=0（舍），或x=1∴B点坐标为：（1，0），设直线OA的表达式为y=kx．∵A（，1）在直线OA上，∴k=1，∴k=，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=x．∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y=x+b．∵B（1，0）在直线BD上，∴0=×1+b，∴b=﹣1，∴直线BD的表达式为y=x﹣1．由得交点D的坐标为（﹣，﹣3），令x=0得，y=﹣1，∴C点的坐标为（0，﹣1），由勾股定理，得：OA=1=OC，AB=1=CD，OB=1=OD．在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△OCD．（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，1），∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，∴，∴，∴PO=，∴点P的坐标为（﹣，0）．本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和全等，解答本题的关键是确定函数解析式．23、（1）x1＝1，x2＝3，（2）【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法求一元二次方程即可．【详解】（1）即∴或∴（2）本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法并灵活应用是解题的关键．24、【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x−3，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE